陳昊男,孟范偉,王重輝

(東北大學(xué)秦皇島分?？刂乒こ虒W(xué)院,秦皇島 066000)

0 引言

音圈電機(jī)因?yàn)榫哂薪Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、響應(yīng)速度快、便于控制等優(yōu)點(diǎn)而廣泛應(yīng)用于精密伺服系統(tǒng)中。然而在這類系統(tǒng)中,系統(tǒng)性能往往會(huì)受到機(jī)械諧振、負(fù)載擾動(dòng)、工況變化等因素的影響,因此需要設(shè)計(jì)控制器提高系統(tǒng)的抗干擾能力及魯棒性來減小這些因素帶來的不良影響[1]。

為了提高精密伺服控制系統(tǒng)的性能,國內(nèi)外學(xué)者展開了廣泛的研究。CHEN等[2]將復(fù)合非線性反饋控制應(yīng)用于精密伺服系統(tǒng),不僅實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的快速響應(yīng),還有效增加了閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼比,減少線性部分引起的超調(diào)。GUO等[3]提出了一種復(fù)位最優(yōu)控制律,相較于傳統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)控制而言,設(shè)計(jì)過程大幅簡(jiǎn)化,并且明顯改善了精密伺服系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。HAWWA等[4]提出了一種非線性PID控制方案用于設(shè)計(jì)伺服控制器,利用非線性函數(shù)的微分作用調(diào)節(jié)系統(tǒng)阻尼,有效改善了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間并提高了抗干擾性能。白姍等[5]提出一種遞歸型互補(bǔ)滑模控制器實(shí)現(xiàn)音圈電機(jī)的位置控制,有效的增加了系統(tǒng)的響應(yīng)速度并抑制了抖振效果。BASHASH等[6]提出了一種頻域數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制設(shè)計(jì)方法用于防止后奈奎斯特頻率諧振模態(tài)混疊,有效提升了系統(tǒng)的跟蹤性能。然而這些控制方法大多并未考慮模型參數(shù)攝動(dòng)的情況,從而無法保證攝動(dòng)系統(tǒng)的魯棒性能與抗干擾能力。

為此本文提出了一種基于相位穩(wěn)定的魯棒控制策略,用于抑制系統(tǒng)的機(jī)械諧振與輸入干擾,并在模型參數(shù)出現(xiàn)攝動(dòng)的情況下保證系統(tǒng)的魯棒性能。

1 被控對(duì)象模型

對(duì)于硬盤驅(qū)動(dòng)器單級(jí)磁頭定位系統(tǒng)而言,主要通過音圈電機(jī)(VCM)驅(qū)動(dòng)磁頭進(jìn)行定位實(shí)現(xiàn)讀寫操作。理想的音圈電機(jī)模型本質(zhì)上可以看作一個(gè)雙積分器[7],但如果考慮其主導(dǎo)諧振模態(tài),則音圈電機(jī)的機(jī)械模型如式(1)所示。

(1)

式中:ξmi為諧振模態(tài)的阻尼比,ωmi為諧振模態(tài)的固有頻率,ki為諧振模態(tài)的殘差。

對(duì)于音圈電機(jī)模型還需要考慮其電路模型的特性,電路模型一般在低頻段具有穩(wěn)定的幅值與相位特性[8],因此可以近似為一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié),如式(2)所示。

(2)

式中:ωe為電路系統(tǒng)的帶寬。

同時(shí),在精密伺服控制系統(tǒng)中,一般無法忽略時(shí)間延遲的影響[9],因此將這部分時(shí)間延遲建模如式(3)所示。

Pd(s)=e-Tds

(3)

式中:Td為延遲時(shí)間。

綜上所述,音圈電機(jī)模型包含了機(jī)械模型特性,電路模型特性及時(shí)間延遲特性,傳遞函數(shù)如式(4)所示。

P(s)=Pm(s)Pe(s)Pd(s)

(4)

模型參數(shù)的選取由文獻(xiàn)[8]中的硬盤驅(qū)動(dòng)器基準(zhǔn)模型給出,具體參數(shù)如表1所示。

表1 音圈電機(jī)模型具體參數(shù)

2 魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

控制系統(tǒng)框圖如圖2所示。圖中,P(s)是被控對(duì)象,C(s)是用于穩(wěn)定回路的控制器,F(s)是用于補(bǔ)償機(jī)械諧振的濾波器,df是轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng),e是位置誤差信號(hào)。

圖1 被控對(duì)象頻率響應(yīng)

圖2 系統(tǒng)控制框圖

設(shè)計(jì)的控制器需要包含以下特性:具有積分特性用于構(gòu)成Ⅰ型伺服系統(tǒng);穩(wěn)定剛體模態(tài)的相位超前特性;補(bǔ)償一階振動(dòng)模態(tài)的相位滯后;降低具有不穩(wěn)定相位條件的二階振動(dòng)模態(tài)的增益。同時(shí),反饋控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)應(yīng)滿足如表2所示的性能指標(biāo)。

表2 期望性能指標(biāo)

2.1 相位穩(wěn)定控制器設(shè)計(jì)

在伺服控制中使用增益穩(wěn)定設(shè)計(jì)的方法來抑制機(jī)械諧振會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的相位特性大幅衰減,因此采用改善系統(tǒng)“第二相位裕度”的方法來抑制機(jī)械諧振[10]。第二相位裕度一般在系統(tǒng)的幅值頻率特性多次穿越0 dB線時(shí)定義,其示意圖如圖3所示。

圖3 第二相位裕度

定義1:奈奎斯特曲線第一次穿出單位圓時(shí)的交點(diǎn)定義為A,原點(diǎn)為O,第二相位裕度即線段OA與負(fù)實(shí)軸的夾角。

二次穿越點(diǎn)A與(-1,j0)點(diǎn)的距離為:

d1=|L(jω)-(-1)|

(5)

式中:L為系統(tǒng)的開環(huán)特性。

如果系統(tǒng)的第二相位裕度過小,則d1也同樣會(huì)變得很小,這將會(huì)使得系統(tǒng)靈敏度函數(shù)的幅值|1/(1+L(jω))|變大,從而導(dǎo)致系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)出現(xiàn)峰值,且系統(tǒng)的響應(yīng)曲線也將出現(xiàn)振蕩。

由此可以看出,相位穩(wěn)定設(shè)計(jì)就是在保持一定的系統(tǒng)帶寬的同時(shí),通過改善系統(tǒng)的第二相位裕度來避免上述情況的發(fā)生。

為了使控制器具有積分特性并且可以穩(wěn)定剛體模態(tài)的相位超前特性,選擇使用比例積分-超前(PI-Lead)控制器[11-12]。PI-Lead控制器的形式為一個(gè)PI控制器與一個(gè)一階超前補(bǔ)償器串聯(lián),式(6)為PI-Lead控制器的廣義表達(dá)式。

(6)

式中:Kc是控制器增益,ωcn1是PI-Lead控制器從積分特性變成比例特性的轉(zhuǎn)折頻率,ωcn2是PI-Lead控制器從比例特性變成微分特性的轉(zhuǎn)折頻率,ωcd是PI-Lead控制器從微分特性變成比例特性的轉(zhuǎn)折頻率。各參數(shù)的選擇規(guī)則如下:

ωcn1:決定控制器積分特性強(qiáng)弱的參數(shù)。增大ωcn1時(shí),積分特性增強(qiáng),但相位裕度隨之減少。該參數(shù)調(diào)整應(yīng)滿足當(dāng)轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)df為階躍函數(shù)時(shí)響應(yīng)也能足夠快的收斂。

ωcn2:決定控制器比例特性強(qiáng)弱的參數(shù)。增大ωcn2時(shí),能夠降低比例特性頻段的靈敏度函數(shù)增益,但相位裕度隨之減少。調(diào)整該參數(shù)使得低頻范圍內(nèi)的靈敏度函數(shù)增益盡量降低。

ωcd:決定控制器微分特性強(qiáng)弱的參數(shù)。增大ωcd時(shí),相位裕度增加,但幅值裕度減少。調(diào)整該參數(shù)使得相位裕度、幅值裕度滿足性能要求。

Kc:是決定帶寬的參數(shù)。在設(shè)置ωcn1,ωcn2和ωcd之后,調(diào)節(jié)增益Kc以滿足系統(tǒng)帶寬的性能要求。

同時(shí)設(shè)計(jì)低通濾波器Flp(s)形式為:

(7)

參數(shù)ωlp是用于確定反饋控制器的奈奎斯特頻率附近的增益的參數(shù)。由于使用雙線性變換,因此設(shè)定ωlp大于奈奎斯特頻率并對(duì)該參數(shù)進(jìn)行調(diào)整以保證系統(tǒng)在奈奎斯特頻率附近的增益足夠小。

綜上所述,相位穩(wěn)定控制器的傳遞函數(shù)為:

(8)

為了使控制器具有積分特性并且可以穩(wěn)定剛體模態(tài)的相位超前特性,將控制器參數(shù)選擇為:

(9)

為了補(bǔ)償一階振動(dòng)模態(tài)的相位滯后并降低具有不穩(wěn)定相位條件的二階振動(dòng)模態(tài)的增益,選擇設(shè)計(jì)如下改進(jìn)形式的雙T型陷波濾波器[13]:

(10)

補(bǔ)償一階振動(dòng)模態(tài)相位滯后的陷波濾波器Fnt1(s)設(shè)計(jì)為式(11)。

(11)

降低具有不穩(wěn)定相位條件的二階振動(dòng)模態(tài)增益的陷波濾波器Fnt2(s)設(shè)計(jì)為式(12)。

(12)

將陷波濾波器Fnts(s)設(shè)置為兩個(gè)陷波濾波器的串聯(lián)形式,即Fnts(s)=Fnt1(s)Fnt2(s)。最后,可得反饋控制器為Cd(s)=Cps(s)Fnts(s)。

2.2 基于魯棒性能條件的控制器參數(shù)優(yōu)化

在伺服控制系統(tǒng)中,公差、溫度等因素都有可能會(huì)導(dǎo)致被控對(duì)象模型的參數(shù)出現(xiàn)攝動(dòng)[14]。魯棒性就意味著系統(tǒng)抵御這種攝動(dòng)帶來的不確定性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響的能力。

被控對(duì)象P(s)的兩種參數(shù)攝動(dòng)情況如表3所示。圖4與圖5顯示了反饋控制系統(tǒng)在模型出現(xiàn)參數(shù)攝動(dòng)時(shí)的靈敏度函數(shù)幅值響應(yīng)及Nyquist曲線。

圖4 攝動(dòng)系統(tǒng)靈敏度幅值頻率響應(yīng)

圖5 攝動(dòng)系統(tǒng)Nyquist曲線 圖6 攝動(dòng)系統(tǒng)的幅相頻率響應(yīng)

表3 被控對(duì)象參數(shù)攝動(dòng)

由圖4及圖5可知,在被控對(duì)象發(fā)生參數(shù)攝動(dòng)時(shí)控制系統(tǒng)仍然穩(wěn)定,但此時(shí)靈敏度函數(shù)的H∞范數(shù)超過7.5 dB,因此不滿足期望設(shè)計(jì)指標(biāo),需要根據(jù)魯棒性能條件調(diào)整控制器參數(shù)來保證參數(shù)攝動(dòng)情況下系統(tǒng)仍滿足設(shè)計(jì)需求。

為了保證攝動(dòng)系統(tǒng)的魯棒性能,根據(jù)魯棒性能條件對(duì)反饋控制器Cd(s)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。下面對(duì)魯棒性能的幅值條件與相位條件進(jìn)行推導(dǎo)。

假設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不確定性Δs包含在標(biāo)稱對(duì)象Pn中,僅將非結(jié)構(gòu)不確定性Δus作為乘法不確定性給出,則標(biāo)稱對(duì)象Pn可表示為:

Pn(jω)=(1+Δs(jω))P0(jω)

(13)

式中:P0是被控對(duì)象中不包含不確定性的部分。

系統(tǒng)標(biāo)稱開環(huán)傳遞函數(shù)Ln可表示為:

Ln(jω)=Pn(jω)Cd(jω)

(14)

系統(tǒng)的魯棒性能條件為[15]:

(15)

式中:W1為魯棒性能權(quán)函數(shù),W3為不確定性權(quán)函數(shù)。

整理式(15)可得:

(16)

對(duì)Ln使用歐拉變換并代入式(16)可得:

(17)

求解式(17)中的cos(∠Ln(jω))可得系統(tǒng)魯棒性能的相位條件:

cos(∠Ln(jω))>Q(jω),?ω

(18)

式中:

(19)

求解式(17)中的|Ln(jω)|可得系統(tǒng)魯棒性能的幅值條件。

(20)

根據(jù)式(18)與式(20)驗(yàn)證使用控制器Cd(s)時(shí)控制系統(tǒng)的魯棒性能,可知系統(tǒng)在5 883.7～5 938.8 Hz,6 489.5～6 643.3 Hz及7 302.7～7 343.22 Hz三個(gè)頻率范圍內(nèi)不滿足魯棒性能條件式(15),因此需要調(diào)整控制器參數(shù)以滿足系統(tǒng)的魯棒性能要求。

標(biāo)稱對(duì)象Pn及參數(shù)攝動(dòng)后對(duì)象的頻率響應(yīng)如圖6所示。為了抑制諧振頻率下的振動(dòng)的影響,將性能加權(quán)函數(shù)W1在頻率為4 kHz以上時(shí)設(shè)置為-3 dB,在頻率為4 kHz以下時(shí)設(shè)置為-7.5 dB。考慮到奈奎斯特頻率附近存在的不確定性,不確定性權(quán)函數(shù)W3在頻率為9 kHz以上時(shí)設(shè)置為12 dB,在9 kHz以下為-40 dB。

根據(jù)不滿足魯棒性能條件的頻率范圍,對(duì)反饋控制器Cd(s)的參數(shù)作如下調(diào)整。調(diào)整式(6)中的參數(shù)ωcd以增加在高頻區(qū)域內(nèi)控制器的相位超前量;調(diào)整式(11)的ωn參數(shù)用于降低5.92 kHz附近的幅值;調(diào)整式(12)的ωn參數(shù)用于降低7.3 kHz附近的幅值。

調(diào)整后的控制器CpsR(s),陷波濾波器FntR1(s)與FntR2(s)如式(21)所示。

(21)

(22)

(23)

將陷波濾波器FntsR(s)設(shè)置為兩個(gè)陷波濾波器的串聯(lián)形式,即FntsR(s)=FntR1(s)FntR2(s)。則魯棒控制器變?yōu)镃dR(s)=CpsR(s)FntsR(s)。

3 仿真分析

使用魯棒控制器CdR(z)=CpsR(z)FntsR(z)進(jìn)行仿真,其中CpsR(z)通過對(duì)CpsR(s)雙線性離散化得出,FntsR(z)通過對(duì)FntsR(s)匹配z變換離散化得出,并設(shè)置采樣時(shí)間Ts=5×10-5s。

控制器參數(shù)優(yōu)化前后系統(tǒng)的性能指標(biāo)如表4所示,可以看出控制器參數(shù)優(yōu)化后,第二相位裕度提升了8.1%,其它性能指標(biāo)略有下降但仍滿足性能要求。

表4 控制系統(tǒng)性能

圖7顯示了系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應(yīng),經(jīng)過控制三階模態(tài)的幅值得到了有效的抑制。圖8顯示了系統(tǒng)的Nyquist軌跡,從圖8可以看出系統(tǒng)的一階與二階諧振模態(tài)的奈奎斯特軌跡遠(yuǎn)離(-1,j0)點(diǎn),保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖7 系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應(yīng) 圖8 改進(jìn)后的系統(tǒng)Nyquist曲線

圖9與圖10顯示了改良后系統(tǒng)的靈敏度與補(bǔ)靈敏度的幅值頻率響應(yīng)。從圖中可以看出靈敏度函數(shù)幅值在工作頻段內(nèi)滿足|W1Sn<1|,補(bǔ)靈敏度函數(shù)幅值在工作頻段內(nèi)滿足|W3Tn<1|,因此滿足魯棒性能條件(15),同時(shí)系統(tǒng)的一階與二階諧振模態(tài)的靈敏度幅值均小于0 dB,說明系統(tǒng)具有魯棒性能。

圖9 攝動(dòng)系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)幅值頻率響應(yīng) 圖10 攝動(dòng)系統(tǒng)的補(bǔ)靈敏度函數(shù)幅值頻率響應(yīng)

接著,使用平均值為0.01 N、最大振幅為0.005 N的隨機(jī)信號(hào)作為轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)df對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真。圖11表示了輸出y的時(shí)間響應(yīng),由于控制器所具有的積分特性,在0.05 s時(shí)控制量y達(dá)到目標(biāo)值r附近。圖12為通過離散傅立葉變換(DFT)求出的振幅頻譜的頻率響應(yīng),由圖11及圖12可知,控制系統(tǒng)可以有效抑制各諧振模態(tài)的振動(dòng)。

圖11 輸出y的時(shí)間響應(yīng) 圖12 振幅頻譜頻率響應(yīng)

4 結(jié)論

為了解決傳統(tǒng)增益穩(wěn)定設(shè)計(jì)方法中出現(xiàn)的系統(tǒng)相位特性衰減與輸入擾動(dòng)出現(xiàn)振蕩的問題,本文提出了一種相位穩(wěn)定設(shè)計(jì)方法,通過引入第二相位裕度有效抑制系統(tǒng)機(jī)械諧振。針對(duì)模型的參數(shù)攝動(dòng)通過魯棒性能條件優(yōu)化控制器參數(shù),滿足了系統(tǒng)的魯棒性能要求。