劉 煬,寧少甫,胡紹東,李文波

(合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,合肥 230041)

0 引言

非圓齒輪的設(shè)計(jì)方法主要有解析法、折算齒形法、包絡(luò)法等[1-4]。解析法通過嚙合角函數(shù)求解非圓齒輪的齒廓方程,其齒廓精度與齒廓采樣點(diǎn)間距及數(shù)量有關(guān),計(jì)算量較大。折算齒形法將每個(gè)輪齒位置處的節(jié)曲線近似為標(biāo)準(zhǔn)直齒輪分度圓,確定每點(diǎn)曲率中心并通過曲率半徑的大小繪制對(duì)應(yīng)的齒廓,其計(jì)算量較小,根據(jù)劉永平等[1]發(fā)現(xiàn),解析法和折算齒形法的誤差不超過2%,故折算齒形法對(duì)于非圓齒輪設(shè)計(jì)方面的廣泛性較強(qiáng)。包絡(luò)法模擬范成法加工齒輪的原理生成齒廓,其生成的齒廓精度和齒輪或滾刀刀具的精度及包絡(luò)的步長相關(guān),生成齒廓的過程較為復(fù)雜。

相比于圓柱斜齒輪,非圓斜齒輪同樣擁有傳動(dòng)平穩(wěn)、重合度大、承載能力強(qiáng)等特點(diǎn)。非圓斜齒輪的設(shè)計(jì)方法主要有兩種:折算齒形法和包絡(luò)法。前者是在此方法設(shè)計(jì)非圓斜齒輪端面的基礎(chǔ)上,通過基圓半徑參數(shù)和螺旋角確定每個(gè)齒的螺旋線,最終通過CAD建模完成非圓斜齒輪的建模并利用3D打印技術(shù)生成非圓斜齒輪[5-6];后者可以看作是非圓齒輪毛坯和滾刀刀具之間的切削運(yùn)動(dòng)生成非圓斜齒輪齒廓,通過非圓斜齒輪與滾刀刀具之間的嚙合關(guān)系可以得到非圓齒輪的齒廓方程進(jìn)而完成非圓斜齒輪設(shè)計(jì)[7]。二者方法各有側(cè)重,折算齒形法設(shè)計(jì)思路簡單,但三維建模重復(fù)性工作強(qiáng),滿足于精度較低的情況;包絡(luò)法更側(cè)重于制造生產(chǎn),常用于要求精度較高的場合。

本文以折算齒形法為核心,詳細(xì)梳理非圓斜齒輪的建模方法。同時(shí),本文首次利用漸開螺旋面方程重新構(gòu)造新的非圓斜齒輪“螺旋線”-截交線,完成建模。最后,對(duì)非圓斜齒輪模型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真,檢查主、從動(dòng)輪的嚙合及干涉情況,以驗(yàn)證模型的合理性。

1 非圓齒輪的基本理論

1.1 非圓齒輪的節(jié)曲線相關(guān)參數(shù)設(shè)計(jì)

圖1 主、從動(dòng)輪節(jié)曲線

主、從動(dòng)輪的節(jié)曲線極坐標(biāo)表達(dá)式[8]分別為:

(1)

(2)

式中:n1、n2為主、從動(dòng)輪的階數(shù),n為主、從動(dòng)輪階數(shù)的反比,n=n2/n1;k1、k2為主、從動(dòng)輪偏心率,A1、A2為主、從動(dòng)輪長半軸長。

當(dāng)主動(dòng)輪的基本參數(shù)確定時(shí),從動(dòng)輪的相關(guān)基本參數(shù)確定。主、從動(dòng)輪的基本參數(shù)關(guān)系為:

(3)

(4)

(5)

1.2 非圓齒輪的相關(guān)校驗(yàn)

非圓齒輪的校驗(yàn)包括壓力角校驗(yàn)、根切校驗(yàn)和凹凸性校驗(yàn)[8]。三者的校驗(yàn)公式分別為:

(6)

式中:α為齒形角,i12為主、從動(dòng)輪傳動(dòng)比函數(shù),α12L為主動(dòng)輪(i=1)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),左側(cè)齒廓工作的壓力角且保證α12L≤65°。

(7)

(8)

式中:ni=1時(shí),齒輪為1階橢圓齒輪,肯定無內(nèi)凹。

1.3 非圓斜齒輪的螺旋線改進(jìn)

在圓柱斜齒輪中,將齒廓曲面與分度圓柱面相交得到的螺旋線投影到分度圓所在平面上,螺旋線和分度圓重合。依據(jù)折算齒形法,在確定非圓斜齒輪的螺旋線時(shí),需要計(jì)算每個(gè)輪齒位置處的曲率中心坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的分度圓半徑,確定輪齒處的螺旋線。

1.3.1 非圓斜齒輪螺旋線的缺陷

由于每個(gè)輪齒處節(jié)曲線的曲率不同,對(duì)應(yīng)的螺旋線偏向有所差異。如圖2所示,將螺旋線投影至節(jié)曲線所在平面上,在節(jié)曲線ρ曲率較小處a1,螺旋線L1偏內(nèi);在節(jié)曲線ρ曲率較大處a2,螺旋線L2偏外。故由螺旋線生成的斜齒偏向不均,對(duì)非圓斜齒輪嚙合性能影響較大,有必要對(duì)非圓斜齒輪螺旋線進(jìn)行改進(jìn)。

圖2 投影面上螺旋線和節(jié)曲線關(guān)系示意圖

1.3.2 漸開螺旋面的特點(diǎn)

如圖3所示,在相對(duì)坐標(biāo)系σ1x1y1z1上,當(dāng)發(fā)生面KMN沿著半徑為rb的基圓柱面Rb作純滾動(dòng)時(shí),其上面的一條與基圓柱上母線JKN呈夾角為基圓柱螺旋角βb的斜直線KM展成的曲面ABCDE為漸開螺旋面,斜直線KM與基圓柱母線JKN的交點(diǎn)K形成的路徑ABC為基圓柱螺旋線,且斜直線KM與基圓柱螺旋線ABC始終保持相切。

圖3 漸開螺旋面形成原理

根據(jù)周建軍、肖揚(yáng)等[9-10]研究,以任意一個(gè)空間平面z1=C(C為任意常數(shù))截取漸開螺旋面,則二者的交線為漸開線。對(duì)于圓柱斜齒輪,當(dāng)C=0時(shí),截得的漸開線AE即為斜齒輪端面的漸開線;C=B(B為齒寬)時(shí),截得的漸開線是斜齒輪另一端面的漸開線。基圓柱對(duì)應(yīng)分度圓r形成的柱面和漸開螺旋面ABCDE截得的空間曲線A′C′即為斜齒輪的螺旋線。

在相對(duì)坐標(biāo)系σ1x1y1z1上,漸開螺旋面的曲面參數(shù)方程為:

(9)

式中:p=rbtanβb,βb為基圓柱螺旋角,rb=σ1N為基圓半徑,φ為發(fā)生面KMN在基圓柱上滾動(dòng)時(shí),其與基圓柱相交的切線KN在基圓柱上劃過的角度;PK=u,由基圓柱螺旋線ABC與PK的切點(diǎn)K到漸開螺旋面上任一點(diǎn)P的線段;KN=pφ,螺旋上升運(yùn)動(dòng)中轉(zhuǎn)過角度φ時(shí)切點(diǎn)K上升的距離。

1.3.3 非圓斜齒輪的螺旋線求解

為克服非圓斜齒輪的螺旋線偏向不均問題,擬確定一節(jié)曲線柱面,使其與漸開螺旋面ABCDE相交,截得的交線為空間曲線A″C″,其不再是螺旋線,稱此曲線為截交線,之后不再贅述。將截交線A″C″投影至節(jié)曲線所在平面上,其與節(jié)曲線重合,解決了螺旋線偏向不均問題。下面將對(duì)截交線A″C″進(jìn)行求解,求解步驟為:

步驟1:依據(jù)圖3,將絕對(duì)坐標(biāo)系σxyz固定在非圓斜齒輪回轉(zhuǎn)中心O,將相對(duì)坐標(biāo)系σ1x1y1z1擴(kuò)展為σjxjyjzj(j代表輪齒標(biāo)號(hào),即第j個(gè)輪齒)并固定在非圓斜齒輪端面處輪齒的曲率中心cj處。

步驟2:求得第j個(gè)輪齒對(duì)應(yīng)處的曲率中心在坐標(biāo)系σxyz中的向量表示。

設(shè)節(jié)曲線上第j個(gè)輪齒處對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為(θj,ρj(θj),0),通過變換得到曲率中心cj在絕對(duì)坐標(biāo)系σxyz下的坐標(biāo)cj(=σσj)為:

(10)

(11)

式中:rj(θj)表示第j個(gè)輪齒處的曲率半徑,nj(θj)表示第j個(gè)輪齒處的法線方程傾斜角。

同理可求得其他輪齒得其他輪齒的曲率中心坐標(biāo)得到曲率中心坐標(biāo)集合矩陣C3×z=(c1…cj…cz),其中z為齒數(shù)且j≤z。

步驟3:根據(jù)式(9)參數(shù)方程求其向量形式,即所求的第j個(gè)輪齒處漸開螺旋面(ABCDE)j的向量方程表示為:

pj=σjP=(xj(φj),yj(φj),zj(φj))T

(12)

其參數(shù)方程形式為:

(13)

式中:pj=rbjtanβb,rbj為第j個(gè)輪齒對(duì)應(yīng)的基圓半徑。

同理可求得其他輪齒漸開螺旋面的向量集合矩陣P3×z=(p1…pj…pz)。

步驟4:將第j個(gè)輪齒處的漸開螺旋面(ABCDE)j在絕對(duì)坐標(biāo)系σxyz中表示并寫出節(jié)曲線柱面方程。

依據(jù)圖3,漸開螺旋面(ABCDE)j在絕對(duì)坐標(biāo)系σxyz中表示為:

oj=σP=cj+pj

(14)

根據(jù)式(10)～式(14),oj具體表示為:

(15)

其函數(shù)形式為:

Fj(xj(θj,φj,uj),yj(θj,φj,uj),zj(φj,uj))=0

(16)

經(jīng)過上述分析,所有的漸開螺旋面的向量集合矩陣O3×z=(o1…oj…oz)表示為:

O3×z=C3×z+P3×z

(17)

又根據(jù)式(1),平面節(jié)曲線ρ(θ)的直角坐標(biāo)柱面方程為:

(18)

其函數(shù)形式為:

F(x(θ),y(θ),z(θ))=0

(19)

可通過式(18)計(jì)算出輪齒在節(jié)曲線處的直角坐標(biāo)為T3×z=(t1…tj…tz)。

將式(16)和式(19)化簡并聯(lián)立得到第j個(gè)輪齒的截交線一般方程Gj(θj,φj,uj,θ,ρ(θ))為:

(20)

G=(G1…Gj…Gz)

(21)

2 高階非圓斜齒輪的建模過程

2.1 非圓斜齒輪的基本參數(shù)設(shè)置

非圓斜齒輪主動(dòng)輪的主要參數(shù)如表1所示。從動(dòng)輪的相關(guān)參數(shù)需要根據(jù)主動(dòng)輪參數(shù)及凹凸性校驗(yàn)確定從動(dòng)輪的階數(shù)n2,偏心率k2、z2和中心距a。

表1 主動(dòng)輪基本參數(shù)表

從動(dòng)輪無內(nèi)凹的最大階數(shù)n2為[8]:

(22)

式中:floor()函數(shù)為向下取整函數(shù)。

經(jīng)式(22)計(jì)算得到n2max=6,選擇適中的計(jì)算量,確定從動(dòng)輪階數(shù)為n2=3。

通過式(2)計(jì)算得到從動(dòng)輪偏心率k2=0.050 508。

通過式(3)計(jì)算得到中心距a=130.197 mm。

根據(jù)式(4)求得的節(jié)曲線周長滿足關(guān)系I2=n2I1,故為使從動(dòng)輪齒數(shù)z2均布于整個(gè)節(jié)曲線周長,其齒數(shù)滿足z2=n2z1=63。從動(dòng)輪的參數(shù)如表2所示。

表2 從動(dòng)輪基本參數(shù)表

2.2 輪齒的位置確定

對(duì)于非圓斜齒輪,由于其節(jié)曲線曲率半徑不相等,嚙合的輪齒必須一一配對(duì),確保非圓斜齒輪的正常運(yùn)轉(zhuǎn)。

根據(jù)吳序堂等[8]研究,當(dāng)齒輪的階數(shù)ni=1時(shí),齒輪齒數(shù)zi一般設(shè)計(jì)為奇數(shù),規(guī)定主動(dòng)輪節(jié)曲線長軸的一端應(yīng)為輪齒,所對(duì)的另一端應(yīng)為齒槽,從動(dòng)輪相反;當(dāng)齒輪的階數(shù)ni=2時(shí),齒輪齒數(shù)zi應(yīng)滿足zi=4C+2(C為正整數(shù));當(dāng)ni>2時(shí),齒輪齒數(shù)zi=niC1(C1為奇數(shù))。根據(jù)圖1所示,在嚙合過程中,起始嚙合處應(yīng)從圖1處的節(jié)曲線相切處開始計(jì)算。最終,輪齒的位置分布如圖4所示,“·”點(diǎn)代表輪齒位置。

圖4 主、從動(dòng)輪的輪齒分布圖

2.3 計(jì)算曲率半徑及曲率中心位置

通過式(7)、式(10)和式(11)可分別計(jì)算出每個(gè)輪齒對(duì)應(yīng)的曲率半徑R1×z=(r1…rj…rz)和曲率中心坐標(biāo)矩陣C3×z=(c1…cj…cz)。圖5展示了在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中,主、從動(dòng)輪的曲率半徑變化,圖5中“·”點(diǎn)代表以確定輪齒位置處的曲率半徑。

(a) 主動(dòng)輪曲率半徑化圖 (b) 從動(dòng)輪曲率半徑變化圖圖5 曲率半徑變化圖

如圖5所示,主、從動(dòng)輪曲率半徑呈周期性、對(duì)稱性變化?？筛鶕?jù)此變化對(duì)齒廓進(jìn)行對(duì)稱操作以增加非圓斜齒輪建模效率。

2.4 計(jì)算其他參數(shù)

RB1×z=R1×zcosαt

(23)

(24)

(25)

(26)

由于在2.5節(jié)建模環(huán)節(jié)通過方程式繪制漸開線時(shí),漸開線的展角起點(diǎn)是輪齒中心處,并未在齒根處,故通過式(24)計(jì)算其旋轉(zhuǎn)角度,根據(jù)漸開線的展角方向確定其旋轉(zhuǎn)方向。

在建模環(huán)節(jié)中,端面齒廓沿著截交線進(jìn)行路徑掃掠時(shí),需要扭轉(zhuǎn)角度以避免其端面漸開線齒廓形狀變化。主動(dòng)輪(i=1)是右旋,扭轉(zhuǎn)角度為正;從動(dòng)輪(i=2)是左旋,扭轉(zhuǎn)角度為負(fù)。

2.5 非圓斜齒輪建模

將表1、表2及上述計(jì)算涉及的相關(guān)參數(shù)在excel中進(jìn)行整合,利用中望3D的批量提取變量操作,將數(shù)據(jù)導(dǎo)入,完成建模前的準(zhǔn)備工作。

2.5.1 相關(guān)曲線的繪制及坐標(biāo)點(diǎn)、直線的繪制

將數(shù)據(jù)導(dǎo)入中望3D后,依次點(diǎn)擊“線框-曲線-方程式”,輸入節(jié)曲線方程,由于節(jié)曲線相關(guān)參數(shù)已導(dǎo)入,直接輸入式(27)并點(diǎn)擊確定即可。

(27)

通過偏移命令,分別繪制齒頂曲線和齒根曲線,偏移量分別為ha(向外)和hf(向內(nèi))。應(yīng)再繪制一條基準(zhǔn)為齒根曲線、偏移量足夠小(0.5 mm)向內(nèi)的布爾曲線,以便建模最后實(shí)現(xiàn)齒根曲線拉伸操作時(shí)可實(shí)現(xiàn)布爾加操作。

通過點(diǎn)的繪制命令,在其變量瀏覽器中分別選擇曲率中心坐標(biāo)C3×z=(c1…cj…cz)和輪齒心坐標(biāo)T3×z=(t1…tj…tz),完成相關(guān)點(diǎn)的繪制。最后繪制所有對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)(cj,tj)控制的直導(dǎo)線集合L,其結(jié)果如圖6所示。

圖6 從動(dòng)輪相關(guān)點(diǎn)、線的繪制

2.5.2 漸開螺旋面繪制及截交線、漸開線的獲取

根據(jù)圖3,漸開螺旋面的形成的主要幾何曲線包括基圓柱螺旋線ABC和斜直線KM,其繪制過程步驟為:

步驟1:繪制輪齒基圓柱螺旋線集合HLrb。繪制基圓柱螺旋線時(shí),選擇輪齒對(duì)應(yīng)軸位置(曲率中心位置C)、對(duì)應(yīng)起點(diǎn)(輪齒位置T)、對(duì)應(yīng)基圓半徑(RB)螺旋線高度(S/2)和螺距(S),完成基圓柱螺旋線繪制。

步驟2:繪制斜直線KM集合OL所在草繪平面集合PF。以基圓柱螺旋線遠(yuǎn)處端點(diǎn)為定位點(diǎn),以對(duì)應(yīng)直導(dǎo)線集合L所指方向?yàn)槠矫鎧軸(平面法線方向),完成建立定位點(diǎn)處基圓柱螺旋線的切平面集合PF,單個(gè)輪齒切平面繪制如圖7所示。

圖7 單個(gè)輪齒處基圓柱螺旋線、切平面的繪制

步驟3:繪制斜直線KM集合OL。以步驟3繪制的切平面集合PF為草繪平面,再以基圓柱螺旋線遠(yuǎn)處端點(diǎn)為起始點(diǎn)繪制斜直線KM,使其與基圓柱螺旋線相切,斜直線長度適中,最終的繪制效果如圖8所示,其夾角為基圓柱螺旋角βb數(shù)值,驗(yàn)證了繪制方法的正確性。

圖8 單個(gè)螺旋線斜直線KM 圖9 單個(gè)漸開螺旋面繪制

步驟4:繪制漸開螺旋面集合HF。以斜直線KM集合OL為輪廓,以對(duì)應(yīng)基圓柱螺旋線集合HLrb為路徑進(jìn)行掃掠得到漸開螺旋面集合HF,其單個(gè)漸開螺旋面繪制效果如圖9所示。

步驟5:截取漸開螺旋面集合HF至齒寬B內(nèi),拉伸節(jié)曲線為曲面,節(jié)曲線柱面和漸開螺旋面集合HF的相交曲線即為1.3節(jié)所求的截交線G。底平面與漸開螺旋面集合HF的相交曲線即為端面一側(cè)的漸開線,如圖10所示。

圖10 截交線、漸開線的獲取

2.5.3 端面齒廓及斜齒的繪制

對(duì)曲率中心坐標(biāo)C建立局部坐標(biāo)系,令x軸指向其對(duì)應(yīng)直導(dǎo)線L方向。建立輪齒處節(jié)曲線的法平面SF。在此坐標(biāo)系上對(duì)生成的左側(cè)漸開線旋轉(zhuǎn)ROT1角度并鏡像對(duì)稱,鏡像面為SF,生成完整的漸開線繪制。最后對(duì)其進(jìn)行修剪,完成漸開線齒廓INV的繪制,如圖11所示。

圖11 漸開線齒廓 圖12 斜齒的繪制

圖13 主、從動(dòng)輪模型

以漸開線齒廓INV為掃掠輪廓,以截交線G為掃掠路徑,以ROT2為扭曲角度,生成掃掠實(shí)體,最后進(jìn)行多邊形陣列,生成完整的斜齒。

2.5.4 非圓斜齒輪的收尾工作

以節(jié)曲線進(jìn)行拉伸,拉伸長度為齒寬B,執(zhí)行布爾加運(yùn)算,使其與斜齒成為整體。最后對(duì)齒根處倒圓角并進(jìn)行多邊形陣列,繪制軸孔,完成高階非圓斜齒輪的建模,主動(dòng)輪建模同方法。

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析

建模完成后需要對(duì)非圓斜齒輪進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析,以檢查非圓齒輪副是否干涉及滿足要求的變傳動(dòng)比傳動(dòng)。將中望3D建立的模型導(dǎo)入Creo中,并按照要求添加轉(zhuǎn)動(dòng)副及相關(guān)約束,完成主、從動(dòng)輪的裝配。由于非圓斜齒輪傳動(dòng)比呈函數(shù)形式,無法使用一般齒輪副進(jìn)行連接,故擬對(duì)主、從動(dòng)輪分別添加不同的伺服電動(dòng)機(jī)作為驅(qū)動(dòng)源,使主、從動(dòng)輪按照各自的電機(jī)參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng),并檢查此過程中的干涉情況[11]。設(shè)置主動(dòng)輪為轉(zhuǎn)速為ω1=60 °/s,即主動(dòng)輪按照此轉(zhuǎn)速勻速轉(zhuǎn)動(dòng);從動(dòng)輪轉(zhuǎn)速應(yīng)按照式(28)進(jìn)行計(jì)算,即根據(jù)傳動(dòng)比函數(shù)i12及ω1,從動(dòng)輪按照函數(shù)形式進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)。

(28)

驅(qū)動(dòng)源設(shè)置完成后運(yùn)行,并利用Creo的全局碰撞檢測功能對(duì)運(yùn)行數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,當(dāng)齒輪副嚙合區(qū)域出現(xiàn)紅色區(qū)域時(shí),即發(fā)生干涉。在對(duì)非圓斜齒輪進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真分析時(shí),發(fā)現(xiàn)其整體運(yùn)轉(zhuǎn)性能良好,但部分輪齒出現(xiàn)顏色區(qū)域,即模型存在微小的干涉情況,需要解決干涉問題。

對(duì)于非圓齒輪,解決干涉的方法主要有修正齒形和調(diào)整中心距等。本實(shí)例通過適當(dāng)調(diào)整中心距解決了干涉問題。相比標(biāo)準(zhǔn)中心距a=130.197 mm,調(diào)整后的中心距a′=130.658 mm能完全規(guī)避干涉問題,其中心距增量不超過0.36%,滿足大部分應(yīng)用場合。

4 結(jié)論

(1) 由于繪制非圓斜齒輪的參數(shù)數(shù)量過多,需要利用MATLAB的強(qiáng)大計(jì)算功能處理其相關(guān)參數(shù),再利用中望3D的excel參數(shù)批量導(dǎo)入操作,大大節(jié)省非圓斜齒輪的繪制時(shí)間;

(2)本文采用漸開螺旋面和節(jié)曲線柱面的相交曲線(截交線)替代傳統(tǒng)的輪齒螺旋線,有效地解決了傳統(tǒng)螺旋線因偏向不均問題,一定程度上減少輪齒的干涉率并增強(qiáng)其重合度。通過推導(dǎo)證明了截交線的合理性,并通過建模證明其可行性;

(3)針對(duì)非圓斜齒輪進(jìn)行CAD建模時(shí),詳細(xì)描述了基于折算齒形法的高階非圓斜齒輪建模過程,對(duì)于大部分非圓斜齒輪和非圓直齒輪建模有重要的借鑒意義;

(4)利用Creo的全局碰撞檢測裝置檢查非圓斜齒輪的干涉情況,通過調(diào)整中心距解決其干涉問題,其調(diào)整增量不超過0.36%,證明模型滿足大部分應(yīng)用場合,對(duì)于后期研究非圓斜齒輪的嚙合剛度有重要意義。