冶存良，楊賀緒，郝 杰，鞏云鵬

（1.寧夏理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，寧夏 石嘴山 753000；2.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110819；3.內(nèi)蒙古一機(jī)集團(tuán)宏遠(yuǎn)電器股份有限公司，內(nèi)蒙古 包頭 014030）

1 引言

在能源危機(jī)和環(huán)境污染問(wèn)題的日益嚴(yán)重的態(tài)勢(shì)下，大力發(fā)展純電動(dòng)汽車(chē)成為解決能源危機(jī)和環(huán)境污染問(wèn)題的重要途徑［1］。因此，電動(dòng)汽車(chē)在世界范圍內(nèi)得到了廣泛注和迅速發(fā)展。

而電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)作為純電汽車(chē)的核心部件，其性能好壞與整車(chē)性能及駕乘品質(zhì)密切相關(guān)［2］。因?yàn)椴煌谌加推?chē)中內(nèi)燃機(jī)通過(guò)扭轉(zhuǎn)減振器連接變速器，純電汽車(chē)電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的電機(jī)與減速齒輪直接通過(guò)半軸連接［3］，即電機(jī)負(fù)載端波動(dòng)通過(guò)軸直接傳遞給齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，且由于其傳動(dòng)軸和聯(lián)軸器具有一定的柔性，從而易引起整體傳動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。

因此，電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的建模和振動(dòng)控制變得越來(lái)越重要［4-5］。

對(duì)于電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，一般采用伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)和控制［6］。許多學(xué)者對(duì)此開(kāi)展了一系列研究。文獻(xiàn)［7］基于建立的雙慣量模型，研究了電驅(qū)動(dòng)在齒輪摩擦轉(zhuǎn)矩、電機(jī)轉(zhuǎn)矩和負(fù)載轉(zhuǎn)矩的激勵(lì)下，不同控制方法隨電機(jī)轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩影響。文獻(xiàn)［8］將傳動(dòng)系統(tǒng)扭振響應(yīng)轉(zhuǎn)化為車(chē)輛加速度，采用PID控制器對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)抑制；文獻(xiàn)［9］提出了一種考慮轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速和溫度三參數(shù)耦合的控制策略，可以降低電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的能耗和轉(zhuǎn)矩波動(dòng)。文獻(xiàn)［10］針對(duì)現(xiàn)有電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制技術(shù)未考慮電動(dòng)汽車(chē)能耗的問(wèn)題，提出了一種基于優(yōu)化加速度曲線(xiàn)的電動(dòng)汽車(chē)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制策略。考慮到在實(shí)際電機(jī)控制系統(tǒng)中，控制策略仍以主動(dòng)控制的PI控制為主。使用PI控制器對(duì)雙慣量系統(tǒng)進(jìn)行控制時(shí)一般是將負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量視為恒定，然后設(shè)計(jì)控制器參數(shù)［11］，但考慮到汽車(chē)在不同行駛路況下電機(jī)負(fù)載端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，因此具有時(shí)變特性的負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量會(huì)對(duì)控制器的控制效果產(chǎn)生較大影響［12］。而采用被動(dòng)控制策略中自適應(yīng)陷波濾波器方法雖能滿(mǎn)足不同姿態(tài)的諧振抑制，但面臨使用的算法復(fù)雜且計(jì)算量大的問(wèn)題。

針對(duì)因傳動(dòng)系統(tǒng)柔性及負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)變特性導(dǎo)致的傳統(tǒng)固定參數(shù)控制策略對(duì)電機(jī)負(fù)載端扭振抑制效果差與傳動(dòng)精度低的問(wèn)題。建立了電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)雙慣量模型，分析了不同負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量下系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。使用基于模型的陷波濾波器與改進(jìn)控制結(jié)構(gòu)的控制策略進(jìn)行優(yōu)化，并給出了參數(shù)設(shè)計(jì)過(guò)程。最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了方法的有效性。

2 電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

純電車(chē)輛的電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)主要由電機(jī)、傳動(dòng)系統(tǒng)和車(chē)輪負(fù)載組成。其中驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中連接部件的柔性會(huì)導(dǎo)致連接軸的彈性變形，從而導(dǎo)致電機(jī)負(fù)載端的轉(zhuǎn)矩波動(dòng)及傳動(dòng)精度降低。此外，在面對(duì)到不同路況時(shí)，電機(jī)受負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)變的影響，易導(dǎo)致齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)，進(jìn)而會(huì)干擾電機(jī)的輸出精度和汽車(chē)NVH性能。由文獻(xiàn)［13］可知，由一個(gè)代表電機(jī)端的慣量和一個(gè)代表電機(jī)端輸出連接的變速箱（包括變速器和減速器）和差速器及車(chē)體的慣量所構(gòu)成的雙慣量系統(tǒng)即可描述電動(dòng)車(chē)輛驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的主要低頻振動(dòng)特性。

雙慣量模型，左邊慣量為動(dòng)力系統(tǒng)慣量，它表示傳動(dòng)軸前所有慣量的等效慣量，如圖1所示。

圖1 雙慣量模型Fig.1 A Two-Arm PTLIR Crossing Obstacle

簡(jiǎn)化減速裝置，將其中嚙合的齒輪視為彈性體，其嚙合工況等效為扭轉(zhuǎn)剛度Ks的彈簧和阻尼Cs并聯(lián)，經(jīng)過(guò)減速器傳動(dòng)連接到右側(cè)車(chē)輪等效慣量。

基于圖中的模型，可以得到如式（1）所示的雙慣量模型的動(dòng)力學(xué)方程。

由于阻尼較小，忽略處理后作拉氏變換［8］，繪制出的雙慣量模型的系統(tǒng)框圖，如圖2 所示。并進(jìn)一步推導(dǎo)出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，如式（2）所示。

圖2 雙慣量模型系統(tǒng)框圖Fig.2 Block Diagram of the Two-Inertia System

分析可知，幅頻特性主要與兩端慣量和傳動(dòng)軸剛度有關(guān)?？紤]到在不同路況下車(chē)輛變速，系統(tǒng)的負(fù)載慣量會(huì)變化，從而導(dǎo)致車(chē)輛傳動(dòng)系統(tǒng)扭振。

以慣量比R=JL/JM表示不同路況下不同的負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，仿真不同負(fù)載慣量下系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，如圖3所示。

圖3 不同負(fù)載慣量下的頻率響應(yīng)圖Fig.3 Frequency Response Distribution Under Different Load Inertia

由圖可知θM與ωM均會(huì)受負(fù)載慣量大小的變化而變化；且較大的負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相比較小的更容易引起振動(dòng)，影響汽車(chē)的NVH性能。

3 基于陷波濾波器改進(jìn)的控制策略

3.1 基于模型的陷波濾波器設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)的電機(jī)固定增益的控制策略，在負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)變量發(fā)生變化時(shí)無(wú)法保證很好的動(dòng)態(tài)性能，其主要原因是系統(tǒng)特征方程的變化會(huì)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性造成影響，導(dǎo)致機(jī)械諧振［14］。此外，電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中連接部件的柔性會(huì)導(dǎo)致連接軸的彈性變形，進(jìn)一步導(dǎo)致電機(jī)端和負(fù)載端的轉(zhuǎn)矩波動(dòng)及傳動(dòng)精度降低。

若將式（2）傳遞函數(shù)表示為慣性環(huán)節(jié)與二階振蕩環(huán)節(jié)兩部乘的形式，如式（3）、式（4）所示。其中，式左的慣性環(huán)節(jié)可視為剛性部分。右邊二階振蕩環(huán)節(jié)引入的共軛復(fù)根會(huì)引起系統(tǒng)的諧振，所以可將其視為柔性連接部分。

若在傳統(tǒng)PI控制策略框圖的前向通道引入式（5）、式（6）所示的基于模型的陷波濾波器，如圖4 所示。對(duì)原控制結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)，則相比于原特征方程，其更簡(jiǎn)單且不受參數(shù)影響，理論上可以更好控制諧振［15］。

圖4 加入陷波器系統(tǒng)的控制框圖Fig.4 Control Block Diagram of the System with Notch Filter

此時(shí)系統(tǒng)的特征方程，如式（7）、式（8）所示。

由于自然角頻率與阻尼系數(shù)與系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能密切相關(guān)［14］，進(jìn)一步分析加入H1與H2的后系統(tǒng)自然角頻率ω與阻尼系數(shù)ξ的變化。其結(jié)果，如圖5與圖6所示。由圖可知，加入陷波濾波器后自然角頻率ω與阻尼系數(shù)ξ變化均較小，其中H2的陷波濾波器表現(xiàn)更好。

圖5 加入不同陷波器后系統(tǒng)阻尼系數(shù)的變化圖Fig.5 The Variation Diagram of System Damping Coefficient After Adding Different Notch Filters

圖6 加入不同陷波器后系統(tǒng)自然角頻率的變化圖Fig.6 Variation Diagram of Natural Angular Frequency of the System After Adding Different Notch Filters

分別將2種結(jié)構(gòu)的陷波濾波器加入控制系統(tǒng)中，驗(yàn)證陷波濾波器的作用效果。得到負(fù)載端轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)角的階躍響應(yīng)仿真結(jié)果，如圖7、圖8所示。由圖可知，相比未加陷波濾波器，加入陷波器后驅(qū)動(dòng)電機(jī)的角速度和位移的階躍響應(yīng)在振動(dòng)幅值與次數(shù)上均有一定減弱；其中加入陷波濾波器H2的在最大超調(diào)量、振蕩次數(shù)、調(diào)整時(shí)間等響應(yīng)性能指標(biāo)上均更佳。此結(jié)果符合圖5、圖6中ξ、ω的變化規(guī)律。

圖8 加陷波濾波器后的轉(zhuǎn)角階躍響應(yīng)Fig.8 Step Response of Angular with Notch Filter

此外，加入陷波濾波器后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，效果類(lèi)似驅(qū)動(dòng)剛性負(fù)載的響應(yīng)表現(xiàn)，即減小了受負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)變的影響。

3.2 改進(jìn)后控制系統(tǒng)的理論分析

考慮到控制結(jié)構(gòu)的變化，原來(lái)控制器參數(shù)設(shè)計(jì)過(guò)程不再適用。此外，跟蹤滯后會(huì)降低控制精度，需對(duì)原有的控制策略進(jìn)行改進(jìn)，以實(shí)現(xiàn)更便捷地進(jìn)行控制。

在精度較高的伺服控制中，常使用前饋控制使系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的理論值為1，實(shí)現(xiàn)輸出完全復(fù)現(xiàn)輸入，從而提高系統(tǒng)的控制精度。改進(jìn)后系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)框圖，如圖9所示。相比于原有的控制結(jié)構(gòu)增加了以下3個(gè)參數(shù)：前饋增益參數(shù)1為Kf1、前饋增益參數(shù)2為Kf2、調(diào)整參數(shù)增益為Ka。根據(jù)控制框圖得到位置環(huán)從轉(zhuǎn)角θM到給定轉(zhuǎn)角值θ*的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，如式（9）所示。

圖9 改進(jìn)后的控制系統(tǒng)框圖Fig.9 Improved Control Cystem Block Diagram

其中，分子分母具體表達(dá)式如下式所示。

由式（9）可知，若固定前饋增益參數(shù)為式（10）、式（11）形式，則會(huì)使傳遞函數(shù)分子與分母相等，可在理論上實(shí)現(xiàn)輸出完全復(fù)現(xiàn)輸入。

此時(shí)系統(tǒng)的特征方程式，如式（14）所示。

根據(jù)卡爾公式法，求出p與q，如式（15）、式（16）所示。根據(jù)p、q表達(dá)式求得多項(xiàng)式方程的判別式，如式（17）所示。

因判別式大于0，可得特征方程有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)特征根與一個(gè)實(shí)數(shù)特征根。其中兩個(gè)共軛特征根，如式（18）所示。

將高階系統(tǒng)化為一階、二階環(huán)節(jié)的組合，則特征方程中兩個(gè)共軛特征根可表示為二階系統(tǒng)特征方程根的形式，如式（19）所示。

得到極點(diǎn)與實(shí)軸夾角θ表達(dá)式，如式（20）所示。

如式（21）所示為超調(diào)量的計(jì)算表達(dá)式。

3.3 改進(jìn)后控制系統(tǒng)的控制器參數(shù)設(shè)計(jì)

根據(jù)改進(jìn)后系統(tǒng)的控制框圖，得到速度環(huán)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，如式（22）所示。

進(jìn)一步求得傳遞函數(shù)的幅頻特性表達(dá)式，如式（23）所示。

根據(jù)截止頻率定義與相位裕度性質(zhì)，可得式（24），結(jié)合式（23），先得到速度控制器參數(shù)Ksp、Tsi的表達(dá)式，如式（25）所示。

式中：ωso—速度開(kāi)環(huán)的截止頻率；γso—相位裕度。

由改進(jìn)后系統(tǒng)的控制框圖，計(jì)算位置環(huán)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，如式（26）所示。

其中，分子與分母具體表達(dá)式可見(jiàn)于式（10）與式（27）。

計(jì)算開(kāi)環(huán)幅頻特性表達(dá)式，如式（28）所示。

其中，D與E具體表達(dá)式，如式（29）、式（30）所示。

結(jié)合式（25）、式（28）與式（31），最后求得位置環(huán)控制器參數(shù)Kpp表達(dá)式，如式（32）所示。

4 實(shí)例仿真及結(jié)果分析

通過(guò)上述參數(shù)設(shè)計(jì)過(guò)程，獲得控制器參數(shù)，如表1所示。令Kf1=0，取不同的Ka值，改進(jìn)后電機(jī)負(fù)載的轉(zhuǎn)角階躍響應(yīng)結(jié)果，如圖10所示。

圖10 改進(jìn)后系統(tǒng)的轉(zhuǎn)角階躍響應(yīng)圖Fig.10 The Displacement Step Response Diagram of the Improved System

由圖可知，隨著Ka變大，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)角階躍響應(yīng)的調(diào)整時(shí)間變短，系統(tǒng)更快進(jìn)入穩(wěn)態(tài)；同時(shí)Ka取不同的值并未影響系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量，與上文理論分析一致。由于實(shí)際中前饋的微分環(huán)節(jié)總是含有慣性的，所以實(shí)際中即使按照式（12）、式（13）設(shè)計(jì)參數(shù)，仍可能無(wú)法實(shí)現(xiàn)傳遞函數(shù)絕對(duì)為1，與理論存在差距。令Ka=2.5，Kf1設(shè)置為不同值，仿真位移階躍響應(yīng)，如圖10所示?？梢缘玫剑琄f1取不同的值會(huì)導(dǎo)致超調(diào)量的不同；比較不同數(shù)值下的響應(yīng)可知，相較于未加前饋，加入前饋會(huì)使得系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快。所以在實(shí)際中選擇Kf1=1無(wú)法獲得理想效果時(shí)可根據(jù)需要通過(guò)改變前饋參數(shù)Kf1，調(diào)整超調(diào)量，提高響應(yīng)速度。

為驗(yàn)證改進(jìn)后的系統(tǒng)的控制精度，在配置表1 的控制參數(shù)后，選用調(diào)整增益參數(shù)Kf1=1。當(dāng)給定目標(biāo)位移發(fā)生函數(shù)為正弦函數(shù)并選擇不同的Ka時(shí)，不同負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量下位移跟蹤誤差曲線(xiàn)，如圖11所示。

圖11 Ka變化時(shí)位移跟蹤誤差曲線(xiàn)Fig.11 Displacement Tracking Error Curveas Ka Changes

對(duì)比其他研究使用傳統(tǒng)PI控制策略的跟蹤誤差曲線(xiàn)［14］，改進(jìn)后的控制策略在負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化情況下誤差均更小，控制精度更高；同時(shí)在不同參數(shù)中Ka的值越大，響應(yīng)越快，跟蹤誤差也越小，與前述理論分析一致；并且在負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化情況下的位移跟蹤誤差曲線(xiàn)是一致的，驗(yàn)證了陷波濾波器的作用。

當(dāng)選用前饋增益參數(shù)Ka=2.5，仍選擇正弦信號(hào)作為給定目標(biāo)轉(zhuǎn)角發(fā)生函數(shù)，當(dāng)Kf1取不同值時(shí)，不同負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量下跟蹤誤差，如圖12所示。

圖12 Kf1變化時(shí)位移跟蹤誤差曲線(xiàn)Fig.12 Displacement Tracking Error Curve as Kf1 Changes

即當(dāng)選擇Kf1=1 時(shí)的控制效果最好，與前述理論分析一致；同樣，受負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)變影響下系統(tǒng)跟蹤誤差曲線(xiàn)也是一致的。

5 結(jié)論

（1）設(shè)計(jì)了一種基于模型的陷波濾波器，可以減弱電動(dòng)汽車(chē)的電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的連接軸柔性與電機(jī)負(fù)載端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)變導(dǎo)致齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)及傳動(dòng)精度降低的問(wèn)題。

（2）針對(duì)加入陷波器后的控制結(jié)構(gòu)，提出了一種通過(guò)加入前饋與調(diào)整增益進(jìn)行調(diào)整的控制策略。其中，調(diào)整Ka可縮短系統(tǒng)調(diào)整時(shí)間，調(diào)整Kf1可降低振動(dòng)幅值、提高響應(yīng)速度，相比傳統(tǒng)方法，此方法需要配置的參數(shù)更少，控制的精度更高。

（3）研究成果可用于諸如機(jī)器人關(guān)節(jié)及其他應(yīng)用電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)領(lǐng)域的振動(dòng)抑制中。