解 昊，王林濤，鄭首坤

（大連理工大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

1 引言

架空纜道是由支撐和運載設(shè)備組成的一種便利的高空運輸工具［1］。與傳統(tǒng)地面運輸工具相比，架空纜道具有適應(yīng)性好、運輸效率高、機械化，自動化程度高等優(yōu)點。因此，架空纜道在我國的煤炭、冶金、農(nóng)林、旅游等地形復(fù)雜行業(yè)得到了日益廣泛的應(yīng)用。

架空纜道的核心設(shè)備—索卡是由內(nèi)索卡，外索卡，主軸，彈簧裝置，銷軸，摩擦板，輔助輪和行走輪組成，作為連接鋼絲繩和吊箱的部件，在架空纜道中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，如圖1所示。由于我國的架空纜道設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)并不完善，設(shè)計人員只能參考以往經(jīng)驗選用過大的安全系數(shù)，容易造成過設(shè)計降低纜道的經(jīng)濟性。因此，有必要在滿足強度、穩(wěn)定性條件下對索卡進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。

圖1 索卡結(jié)構(gòu)Fig.1 Rope Clip Structure

針對索卡的結(jié)構(gòu)設(shè)計國內(nèi)有如下研究。文獻［2］設(shè)計了一種雙側(cè)同心螺旋彈簧脫掛索卡，并利用有限元法對結(jié)構(gòu)關(guān)鍵部位進行校核。文獻［3］對國外四桿機構(gòu)索卡進行改進，并驗證了新結(jié)構(gòu)的可行性。文獻［4］對重力式索卡進行優(yōu)化，解決工程中遇到的問題，并利用有限元法驗證了新結(jié)構(gòu)的強度和穩(wěn)定性。文獻［5］提出了一種鉸桿增力機構(gòu)索卡，并利用MATLAB 對該結(jié)構(gòu)的夾緊力進行優(yōu)化。這里把研究重點放在索卡的核心部件—內(nèi)索卡和外索卡，探究在滿足設(shè)計規(guī)范的前提下，對結(jié)構(gòu)進行減重優(yōu)化。

傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題主要是借助有限元仿真來完成，雖然通過此方法可以獲得精確的優(yōu)化結(jié)果，但也存在耗時過長導(dǎo)致效率較低的問題［6］。在此背景下，工程中經(jīng)常用易于計算的代理模型來解決這種復(fù)雜的黑箱問題［7］。在代理模型研究方面，目前已經(jīng)發(fā)展了包括多項式響應(yīng)面（RSM），Kriging 函數(shù)，徑向基函數(shù)（RBF），支持向量回歸（SVR）等多種代理模型方法。Kriging模型由于對高維非線性問題具有良好的近似能力和獨特的誤差估計被越來越多地應(yīng)用在工程中［8］。下文將分為建立參數(shù)及有限元模型，構(gòu)建Kriging模型以及優(yōu)化求解三個部分進行敘述。

2 建立參數(shù)及有限元模型

2.1 參數(shù)模型

利用建模軟件建立索卡核心部件的三維模型。如圖2所示。圖中分別為內(nèi)索卡、外索卡、鋼絲繩和輪襯。在滿足裝配條件的前提下對內(nèi)索卡選取18個參數(shù)，對外索卡選取16個參數(shù)，有6組參數(shù)存在關(guān)聯(lián)，最終作為獨立變量的參數(shù)共有28個。設(shè)計變量的基本信息，如表1所示。

表1 設(shè)計變量Tab.1 Design Variables

圖2 索卡三維模型Fig.2 3D Diagram of Rope Clip

2.2 有限元模型

2.2.1 載荷分析

索卡的載荷來自三個方面：吊箱的重力，彈簧力，風(fēng)載。吊箱自重（含索卡）為7080N，最多允許承載8人，每人約重740N。彈簧通過預(yù)壓縮安裝在索卡上用于提供夾緊力，防止吊廂在爬坡時發(fā)生下滑。

風(fēng)載總是作用于吊箱上且與運動方向相反。具體的載荷信息及作用位置，如表2所示。

表2 載荷信息Tab.2 Load Information

2.2.2 建立有限元模型

將圖2中的參數(shù)模型導(dǎo)入ANSYS Workbench進行靜力學(xué)和模態(tài)分析。鋼絲繩在線路中被視為柔性體，因此定義為各向異性材料，模型各部位的材料，如表3 所示。對模型進行網(wǎng)格劃分，內(nèi)、外索卡由于形狀復(fù)雜故采用8mm 四面體網(wǎng)格，危險部位用1mm網(wǎng)格進行加密，鋼絲繩和輪襯采用8mm六面體網(wǎng)格，共生成單元數(shù)108051，節(jié)點數(shù)246645。鋼絲繩與內(nèi)、外索卡的夾口設(shè)為摩擦接觸，摩擦系數(shù)0.3。輪襯與外索卡同樣設(shè)為摩擦接觸，摩擦系數(shù)0.1。建立與內(nèi)索卡耦合的遠端點來模擬吊箱，將吊箱重力與風(fēng)載施加到遠端點。鋼絲繩在線路中的張緊力為350kN，經(jīng)過輪襯時會發(fā)生1°的彎曲。將載荷施加到模型對應(yīng)位置，約束輪襯上端面和鋼絲繩中面，有限元模型及分析結(jié)果，如圖3所示。

表3 材料屬性Tab.3 Material Properties

圖3 有限元模型及分析結(jié)果Fig.3 Finite Element Model and Analysis Results

3 構(gòu)建代理模型

在優(yōu)化過程中，使用有限元模型迭代求得最優(yōu)解往往耗時較長，效率極低。因此，有必要建立內(nèi)索卡和外索卡的代理模型?？紤]到高維非線性的擬合能力和精度分析，因此選擇構(gòu)建Kriging代理模型。

首先需要建立樣本空間（S，y）s，其中S=[x(1)，x(2)，…，x(n)]T，表示抽樣獲得的n組設(shè)計變量；ys=[y(x(1))，y(x(2))，…，y(x(n))]T，表示每組設(shè)計變量對應(yīng)的有限元仿真響應(yīng)值。Kriging模型［8-9］是一種插值模型，其插值結(jié)果為已知樣本函數(shù)響應(yīng)值的線性加權(quán)：

為計算權(quán)系數(shù)引入假設(shè)：將未知函數(shù)看成是某個高斯靜態(tài)隨機過程的具體體現(xiàn)。靜態(tài)隨機過程定義如下：

式中：β0—Y（x）的數(shù)學(xué)期望；Z（x）—均值為0，方差為σ2的高斯分布。樣本空間中變量間的相關(guān)性可以表示為：

基于上述假設(shè)，可計算出Kriging模型最優(yōu)加權(quán)系數(shù)ω，使得預(yù)測的均方差

最小，并滿足預(yù)測的無偏估計性：

利用拉格朗日乘數(shù)法求得模型的預(yù)測值和均方差：

式中：F—各元素均為1的列向量；

最后通過求解最大似然函數(shù)公式獲得θ和σ2完成模型的構(gòu)建：

為了保證Kriging模型有較高的精度，應(yīng)使訓(xùn)練樣本盡量充滿樣本空間。在此，利用最優(yōu)拉丁超立方篩選600個訓(xùn)練樣本，利用拉丁超立方篩選500個測試樣本。以預(yù)測值和真實值的相關(guān)系數(shù)r2作為衡量模型精度的標(biāo)準(zhǔn)，通常要求r2≥0.95。

最終，構(gòu)建出內(nèi)索卡和外索卡的質(zhì)量、最大應(yīng)力、一階固有頻率和二階固有頻率的Kriging模型，六個模型預(yù)測值和真實值的對比情況，如圖4 所示。從結(jié)果可以看出，六個模型均滿足r2≥0.95的精度要求。

圖4 Kriging模型Fig.4 Kriging Surrogate Model

4 優(yōu)化結(jié)果

4.1 優(yōu)化方程

代理模型構(gòu)建完成后即可進行后續(xù)的優(yōu)化工作。內(nèi)、外索卡的材料選用合金鋼35CrMnSiA，屈服強度為1280MPa，根據(jù)設(shè)計規(guī)范取安全系數(shù)為1.35得到材料的許用應(yīng)力［σ］=948MPa，要保證內(nèi)索卡最大應(yīng)力σN和外索卡最大應(yīng)力σW不超過許用應(yīng)力［σ］。纜道在運行時會使鋼絲繩產(chǎn)生激振響應(yīng)，這種周期性的激振頻率f=3.2962Hz［5］。

為了避免共振，設(shè)計中要求固有頻率與激振頻率應(yīng)相差15%到20%。因此規(guī)定一階固有頻率f1和二階固有頻率f2均不超過0.85f或不低于1.15f。綜上所述，以內(nèi)索卡和外索卡的總質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化方程可以表示為：

式中：x—設(shè)計變量組成的向量，共28個元素；xD、xU—變量的下限和上限。

4.2 優(yōu)化求解

優(yōu)化方程確立后，需要選擇合適的優(yōu)化算法對方程求解。為了獲得高精度的全局最優(yōu)解，這里選用MIGA（多島遺傳算法）與NLPQL（非線性二次規(guī)劃）相結(jié)合的優(yōu)化算法［10］。MIGA 是對并行分布遺傳算法的改進，具有優(yōu)良的全局求解能力。同時，NLPQL具有很強的局部搜索能力和搜索效率。

在Isight中將兩種算法結(jié)合，首先應(yīng)用MIGA 定位目標(biāo)極值在設(shè)計空間中所處的區(qū)域，再應(yīng)用NLPQL對該區(qū)域進行精確尋優(yōu)，以獲得最終優(yōu)化結(jié)果。

優(yōu)化目標(biāo)和約束的收斂過程，如圖5所示。分為MIGA全局尋優(yōu)和NLPQL局部尋優(yōu)兩部分。

圖5 優(yōu)化過程收斂曲線Fig.5 Convergence Curve of Optimization

可以看出，優(yōu)化目標(biāo)收斂于33.16kg，g1中的σN收斂于947.96MPa，g2中σW的收斂于625.51MPa，g3收斂于-18.87，g4收斂于-19.36。優(yōu)化過程的初始值和最終結(jié)果，如表4所示。

從表中可以看出，經(jīng)過MIGA求解之后，與初始值相比內(nèi)索卡應(yīng)力減少了9.51%，外索卡應(yīng)力增加了5.54%，一階固有頻率約束增加了40.01%，二階固有頻率約束增加了39.15%，內(nèi)、外索卡的總質(zhì)量增加了4.47%，從42.54kg變?yōu)?4.44kg。經(jīng)過NLPQL求解之后，與初始值相比內(nèi)索卡應(yīng)力減小了8.8%，外索卡應(yīng)力減小了6.32%，一階固有頻率約束增加了20.42%，二階固有頻率約束增加了19.72%，內(nèi)、外索卡的總質(zhì)量減少了22.05%，從42.54kg變?yōu)?3.16kg，減輕了9.38kg。

將優(yōu)化后得到的設(shè)計變量取值代入有限元模型進行分析，計算仿真結(jié)果與優(yōu)化響應(yīng)值的相對誤差具體，如表5所示。驗證優(yōu)化過程的準(zhǔn)確性。可以看出，NLPQL優(yōu)化結(jié)果的相對誤差分別為0.21%，5.27%，-0.37%，-0.31%和0.03%。雖然外索卡應(yīng)力的相對誤差偏高，但結(jié)果顯示，約束g2已經(jīng)大大遠離約束邊界，不會因為誤差造成約束失效。綜上所述，Kriging模型精度較高，優(yōu)化結(jié)果可靠。

表5 誤差分析Tab.5 Error Analysis

5 結(jié)論

這里以內(nèi)索卡和外索卡的總質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)，通過建立Kriging 代理模型來解決有限元仿真優(yōu)化效率低的問題，利用MIGA和NLPQL相結(jié)合的優(yōu)化算法來獲得高精度的全局最優(yōu)解。優(yōu)化結(jié)果顯示，索卡總質(zhì)量減輕了22.05%，Kriging模型與有限元模型的最大相對誤差為5.27%，說明代理模型可以有效代替有限元模型來解決工程中的優(yōu)化問題。