伍秀娟

在新課改落實(shí)背景下，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)重視對(duì)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)。教師應(yīng)帶著前瞻性思維與先進(jìn)教學(xué)理念，圍繞學(xué)生全方位發(fā)展需要，將枯燥知識(shí)轉(zhuǎn)換為立體與直觀的形式，確保與學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律相符合，從而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。因此，教師應(yīng)探索多途徑激活數(shù)學(xué)課堂，拓展?jié)B透幾何直觀意識(shí)的途徑，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)實(shí)踐和積極反思，讓學(xué)生在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂上碰撞出思維的火花?；诖耍恼乱浴爸本€與圓的位置（1）”為例，通過(guò)直觀教學(xué)對(duì)學(xué)生視覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)與觸覺(jué)等多感官進(jìn)行有效刺激，幫助學(xué)生快速吃透所學(xué)知識(shí)并創(chuàng)新運(yùn)用知識(shí)去解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。

一、古詩(shī)引題，探究位置關(guān)系

（一）創(chuàng)設(shè)意境，引入新知

教師利用多媒體等設(shè)備播出《使至塞上》的古詩(shī)詞視頻，創(chuàng)設(shè)出塞外壯美的意境。學(xué)生看到何為“長(zhǎng)河落日?qǐng)A”，感受太陽(yáng)與地平線的關(guān)系。

教師：（1）這些自然現(xiàn)象和數(shù)學(xué)有什么關(guān)系呢？（2）你能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？（3）你可以說(shuō)出詩(shī)句中所描繪的幾何圖形嗎？

學(xué)生觀察太陽(yáng)落山的照片并開(kāi)始思考位置變化情況，回答：直線與圓。

教師：你發(fā)現(xiàn)這個(gè)自然現(xiàn)象中直線與圓的關(guān)系有哪幾種？

學(xué)生：直線與圓的關(guān)系。

教師：現(xiàn)在我們來(lái)研究一下直線與圓的位置關(guān)系。

（設(shè)計(jì)意圖：借助動(dòng)態(tài)視頻直觀展現(xiàn)位置關(guān)系的變化情況，通過(guò)提問(wèn)實(shí)現(xiàn)教師與學(xué)生互動(dòng)，使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活化、直觀化，成功滲透幾何直觀意識(shí)。）

（二）引導(dǎo)啟發(fā)，探究關(guān)系

教師設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單任務(wù)：（1）回顧邊陲大漠的雄奇景象，在練習(xí)本上畫(huà)一個(gè)圓，將直尺的上邊緣視為地平線；（2）上下移動(dòng)直尺，感受直尺的上邊緣與圓之間的位置關(guān)系變化。

教師：（1）在移動(dòng)過(guò)程中，直線與圓的位置關(guān)系發(fā)生了什么變化，可以分為哪幾種？（2）你是如何分類(lèi)的？請(qǐng)大膽說(shuō)一說(shuō)。

學(xué)生會(huì)從直線與圓的位置關(guān)系入手，說(shuō)出直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，開(kāi)始初步形成直線與圓相離、相切與相交的概念。

教師隨之布置下一個(gè)任務(wù)：繪制出直線與圓的不同位置關(guān)系，學(xué)生會(huì)根據(jù)公共點(diǎn)的多少完成繪制。教師邀請(qǐng)學(xué)生用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言去描述圖案中直線與圓的位置關(guān)系。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題讓學(xué)生認(rèn)識(shí)直線與圓的位置變化，了解三種不同的位置關(guān)系。教師利用之后的繪圖任務(wù)直觀地展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，讓知識(shí)與問(wèn)題一目了然。）

二、任務(wù)驅(qū)動(dòng)，明確數(shù)量關(guān)系

（一）回顧知識(shí)，判定位置

教師首先帶領(lǐng)學(xué)生回顧舊知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外，圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。教師結(jié)合知識(shí)點(diǎn)“只有一個(gè)交點(diǎn)”判斷直線與圓的位置關(guān)系有相離、相切與相交。歸納知識(shí)點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系可以用公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判斷。

學(xué)生以小組形式自由探討直線與圓的位置為什么有相離、相切與相交，并總結(jié)，教師通過(guò)PPT展示出直線與圓的相交、相切、相離等重要知識(shí)點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)通過(guò)圓的d和r來(lái)判定二者關(guān)系，將位置關(guān)系判定為與圓的d和r相結(jié)合，從而了解位置與大小之間存在的關(guān)系。

教師通過(guò)多媒體展示出圖文，再次強(qiáng)調(diào)直線與圓相交、相切、相離的關(guān)系，并鼓勵(lì)學(xué)生思考、理解“只有一個(gè)交點(diǎn)”的含義。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)設(shè)問(wèn)方式，用問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生有效復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行，通過(guò)小組探究為后續(xù)探究新的位置關(guān)系夯實(shí)牢固基礎(chǔ)。）

（二）設(shè)計(jì)任務(wù)，獨(dú)立思考

教師設(shè)計(jì)任務(wù)，讓學(xué)生探究直線與圓的位置關(guān)系及對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。

任務(wù)布置：任務(wù)1：在移動(dòng)直尺的操作中，直線與圓的位置關(guān)系發(fā)生了一些變化，請(qǐng)對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行描述。任務(wù)2：回顧點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，探討移動(dòng)點(diǎn)時(shí)距離開(kāi)始變化，那么圓的半徑保持不變。在此前提下，移動(dòng)直線會(huì)有什么情況發(fā)生？任務(wù)3：在這種情況下，什么量不變？

學(xué)生回顧上一環(huán)節(jié)的移動(dòng)操作，思考位置關(guān)系的變化特點(diǎn)，大膽嘗試用數(shù)量關(guān)系完成描述，同時(shí)獨(dú)立思考并結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系變化情況，猜想直線在移動(dòng)時(shí)到底是什么量在變化，理解并會(huì)用數(shù)量之間關(guān)系描述相離、相切與相交的關(guān)系。

教師以理解“切線”概念中“唯一”的含義為中心，引導(dǎo)學(xué)生積極思考并判斷，增設(shè)操作實(shí)驗(yàn)，通過(guò)裁剪、拼接、折疊等不同操作驗(yàn)證學(xué)生的想法，明確重要數(shù)量關(guān)系，即相切時(shí)直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)。

（設(shè)計(jì)意圖：教師考慮到部分學(xué)生困難較大，提出問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生找到正確的思考方向，同時(shí)通過(guò)動(dòng)手操作與猜想的結(jié)合促進(jìn)學(xué)生的直覺(jué)發(fā)展。）

三、講練結(jié)合，直觀分析

（一）課堂設(shè)疑，逆向思考

設(shè)疑講解直線與圓的位置關(guān)系可轉(zhuǎn)換為點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，通過(guò)探討明確D（垂足）與⊙O的三種位置關(guān)系，設(shè)R、r（R＞r）為兩圓的半徑，d為圓心距，那么，直線和圓相離時(shí)，d＞r；直線和圓相切時(shí)，d=r；直線和圓相交時(shí)，d＜r。

教師設(shè)問(wèn)“之前了解位置關(guān)系可以對(duì)d與r的大小關(guān)系進(jìn)行有效判定，那么反過(guò)來(lái)，能否做出判定”。學(xué)生與同桌交流、分享看法，驗(yàn)證用d與r的大小關(guān)系來(lái)判定位置關(guān)系，如垂足與圓之間有位置關(guān)系，可以通過(guò)d＜r、d=r、d＞r來(lái)判定。

教師引導(dǎo)歸納：直線與⊙O的關(guān)系為d＞r時(shí)，二者的關(guān)系為相離；d＜r時(shí)，直線與⊙O的關(guān)系為相交；d=r時(shí)，直線與⊙O的關(guān)系為相切?；趯W(xué)生對(duì)位置關(guān)系的逆向思考，教師提出總結(jié)性問(wèn)題：（1）本節(jié)課你收獲了什么？（2）你還有哪些疑惑沒(méi)有解決？

學(xué)生總結(jié)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)方式解釋直線動(dòng)態(tài)過(guò)程。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂設(shè)疑問(wèn)方式引導(dǎo)學(xué)生逆向思考，掌握何為“互逆”，體會(huì)到判定位置關(guān)系需使用這種“互逆”關(guān)系，從而在腦中構(gòu)建“互逆”全過(guò)程。）

（二）關(guān)系轉(zhuǎn)化，拓展思維

應(yīng)用直線與圓的位置關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題，探討垂足的點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，D（垂足）和⊙O之間所形成的3種關(guān)系其實(shí)就是直線與圓的位置關(guān)系，即直線和圓相離時(shí)，d＞r；直線和圓相切時(shí)，d=r；直線和圓相交時(shí)，d＜r。

出示例題：在△ABC中，C為圓心，半徑為r，∠A為45°，AC長(zhǎng)度為4，你能確定半徑為r的圓與直線AB之間有位置關(guān)系嗎？學(xué)生結(jié)合新舊知識(shí)找到d與r，再完成d或r值的計(jì)算，通過(guò)d與r的大小關(guān)系去判斷位置關(guān)系。學(xué)生對(duì)位置關(guān)系判定有一定掌握后，教師開(kāi)展變式訓(xùn)練，如結(jié)合上題，△ABC的AC為4，∠A為45°，以r為半徑繪制一個(gè)圓，思考當(dāng)r滿足條件，⊙O與AB邊的關(guān)系是相離/相切/相交。

（設(shè)計(jì)意圖：靈活運(yùn)用學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生能跳出思維定式獲得新知識(shí)與新技能。學(xué)生站在多元角度去觀察、思考、分析與驗(yàn)證，形成轉(zhuǎn)化思想，提升學(xué)生的幾何直觀能力。）

四、布置作業(yè)，評(píng)價(jià)分析

（一）設(shè)計(jì)作業(yè)，鞏固知識(shí)

作業(yè)類(lèi)型主要有必做與選做，其中學(xué)生的知識(shí)能力可以通過(guò)必做題的正確率來(lái)體現(xiàn)，學(xué)生潛能的激發(fā)是在選做題中體現(xiàn)。教師設(shè)計(jì)鞏固練習(xí)、變式訓(xùn)練、常規(guī)作業(yè)等類(lèi)型，增加提升能力的探究式作業(yè)。

例如，在Rt△ABC中（如圖1所示），已知AC為3 cm，BC為4 cm，∠C為直角，AB與半徑r與圓的位置關(guān)系是什么？教師錄制短視頻講解探究作業(yè)，并繪制思維導(dǎo)圖，引導(dǎo)學(xué)生拓展思維。

（設(shè)計(jì)意圖：在必做題中，有填空、選擇、應(yīng)用題等內(nèi)容；在選做題中，有變式訓(xùn)練題可以提升學(xué)生的能力。教師通過(guò)短視頻拓寬學(xué)生的知識(shí)層面，讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中獲得能力的提升。）

（二）及時(shí)點(diǎn)評(píng)，適時(shí)鼓勵(lì)

教師恰當(dāng)使用鼓勵(lì)語(yǔ)“說(shuō)到點(diǎn)子上了”“表達(dá)得很好”“我欣賞你的想法”“老師都想不出更好的方法”去表?yè)P(yáng)課堂上表現(xiàn)好的學(xué)生。針對(duì)集中出現(xiàn)的問(wèn)題，教師可以詳細(xì)講解并有效指導(dǎo)學(xué)生。適時(shí)安慰：針對(duì)不盡如人意的情況，教師要做到及時(shí)鼓勵(lì)，可以運(yùn)用“再讀一遍題”“還差一點(diǎn)點(diǎn)就對(duì)了”“你的思路沒(méi)錯(cuò)”等鼓勵(lì)語(yǔ)。

（設(shè)計(jì)意圖，通過(guò)點(diǎn)評(píng)與鼓勵(lì)對(duì)學(xué)生進(jìn)行有效激勵(lì)，使其愿意表達(dá)。教師通過(guò)針對(duì)性指導(dǎo)讓學(xué)生突破難點(diǎn)，借助作業(yè)給予學(xué)生思考與鍛煉的空間。）

五、教學(xué)反思

（一）鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑，巧用合作探究

數(shù)學(xué)課堂中，教師在導(dǎo)入環(huán)節(jié)使用繪制圖形的方法，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖理解位置關(guān)系變化的具體情況，通過(guò)畫(huà)圖的方式使圖形間的位置關(guān)系直觀化。在動(dòng)手與觀察過(guò)程中，學(xué)生成功積累操作經(jīng)驗(yàn)，憑借扎實(shí)基礎(chǔ)完成位置關(guān)系的判斷，助推學(xué)生幾何直觀能力的提升。教師還需要鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑，使得部分學(xué)生不僅通過(guò)移動(dòng)看到三種關(guān)系，也會(huì)讓直尺穿進(jìn)圓心，從而形成另一種關(guān)系，思考這一關(guān)系是否合理。那么，教師應(yīng)對(duì)學(xué)生的質(zhì)疑做到鼓勵(lì)與尊重，積極回答其提出的個(gè)性化問(wèn)題。除此之外，教師應(yīng)善用合作探究，引導(dǎo)學(xué)生在小組方式下從公共點(diǎn)個(gè)數(shù)入手，理解“只有一個(gè)交點(diǎn)”的內(nèi)涵，讓導(dǎo)入與啟發(fā)環(huán)節(jié)幫助學(xué)生完成位置關(guān)系概念的歸納。

（二）夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，增加猜想訓(xùn)練

在日常教學(xué)中，教師還需要夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)，注意反思教學(xué)不足，要結(jié)合想象觀察法、討論法、類(lèi)比歸納法等多種方法理解“切線”概念中“唯一”的含義，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動(dòng)空間想象力去總結(jié)切線性質(zhì)定理，用語(yǔ)言與幾何兩種方式描述，夯實(shí)其理論基礎(chǔ)，從而讓其直覺(jué)獲得發(fā)展，形成幾何直觀能力。在該環(huán)節(jié)，教師還可以增加一些猜想訓(xùn)練，通過(guò)直覺(jué)思維培養(yǎng)強(qiáng)化學(xué)生的直觀洞察力。在學(xué)生完成直觀猜想后，開(kāi)展合用探討活動(dòng)對(duì)其想法逐步論證，驗(yàn)證猜想是否正確，不僅培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木?，還提高其幾何直觀能力。如在第二環(huán)節(jié)探索位置關(guān)系時(shí)，教師將數(shù)形結(jié)合思想滲透思考過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生利用圖形來(lái)解決問(wèn)題，不僅會(huì)使用公共點(diǎn)個(gè)數(shù)判定位置關(guān)系，還能運(yùn)用幾何法與代數(shù)法完成相應(yīng)的判定。

（三）做好歸納概括，明確位置關(guān)系

教師可以通過(guò)講練結(jié)合的方式培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識(shí)，讓學(xué)生富有發(fā)散思維去探討問(wèn)題。學(xué)生在遇到不能輕易解決的問(wèn)題時(shí)，可以轉(zhuǎn)換思考角度，在獨(dú)立思考無(wú)法找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)時(shí)，可以主動(dòng)尋求同學(xué)的幫助，以共同探討與共享的方式獲得知識(shí)，以提高獲取知識(shí)的效率。教師還能?chē)@學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生從逆向位置進(jìn)行思考，以使其獲得發(fā)展思維能力。學(xué)生隨之總結(jié)出直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)總結(jié)概念性?xún)?nèi)容，如相交、相切與相離的概念。學(xué)生也可以用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)方式解釋直線動(dòng)態(tài)過(guò)程，在歸納概括前提下持續(xù)提高幾何直觀能力。在完成歸納總結(jié)環(huán)節(jié)后，教師帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)位置關(guān)系進(jìn)行靈活運(yùn)用，讓學(xué)生能夠找到知識(shí)的應(yīng)用技巧，可以輕松實(shí)現(xiàn)舉一反三的效果。

（四）落實(shí)因材施教，豐富作業(yè)類(lèi)型

作業(yè)可以實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用，讓學(xué)生在做題中獲得解題的成就感，有利于學(xué)生釋放潛能。在上述作業(yè)環(huán)節(jié)，教師能針對(duì)性引導(dǎo)學(xué)生，但未考慮分層設(shè)計(jì)作業(yè)，所以應(yīng)落實(shí)因材施教，豐富作業(yè)類(lèi)型。那么，在作業(yè)設(shè)計(jì)之前，教師要做好學(xué)生能力層次劃分，如結(jié)合學(xué)生日常課堂互動(dòng)、練習(xí)完成情況、實(shí)踐活動(dòng)參與情況劃分三個(gè)層次，作業(yè)設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)每個(gè)層次。作業(yè)設(shè)計(jì)要包括鞏固練習(xí)、變式訓(xùn)練、常規(guī)作業(yè)等類(lèi)型。在變式作業(yè)中，發(fā)散學(xué)生思維，使其抓住d=r時(shí)直線與圓的位置關(guān)系，從而學(xué)以致用。

編輯：趙文靜