單文霞

教師將建模思想應用到小學數(shù)學教學中，是《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課標》）所提倡的。但是，《新課標》僅提出“發(fā)展學生建模能力”“課內數(shù)學建模解決問題”等教學要求，并未提供確切的教學思路。此背景下，不少教師空有將建模思想用于小學數(shù)學教學中的想法，卻缺乏科學、合理的應用方案，導致建模思想在小學數(shù)學教學中的應用效果不如預期。研究建模思想在小學數(shù)學教學中的應用策略，可以豐富現(xiàn)有研究成果，同時為一線教師提供更多實踐教學的創(chuàng)新思路。小學數(shù)學教師有必要基于建模思想的理論研究內容、實際教學經驗進行相關研究，為教學工作的優(yōu)化提供理論支持。

建模思想的本質在于通過建構數(shù)學模型的方式將實際問題轉化為數(shù)學問題，繼而解出答案，建模過程如圖1所示。

建模思想應用教學的關鍵在于處理實際問題與數(shù)學問題之間的關系。具體教學中，小學數(shù)學教師應當遵循教育規(guī)律，按照深入淺出、循序漸進的教學原則開展系列教學活動，引導學生感知、假設、抽象、應用數(shù)學模型，逐漸強化學生的模型意識。本文將結合北師大版六年級下冊“圓柱與圓錐”課程教學案例，分析建模思想在小學數(shù)學教學中的具體應用策略。

一、通過創(chuàng)設情境引導學生感知模型

由簡單到復雜、由具象到抽象是學生思維發(fā)展的基本規(guī)律。按照學生的思維發(fā)展規(guī)律開展教學活動，有利于學生逐級探索數(shù)學知識本質，促進其對建模思想的領悟與吸收。教學情境以教學主題為中心，借助音頻、視頻、文字等工具集中顯示生活化場景、游戲化場景，實現(xiàn)對數(shù)學教學內容的具象化。教師可以在課上創(chuàng)設教學情境，借助情境引導學生感知現(xiàn)實生活與數(shù)學知識的具體關聯(lián)，同時指導學生感知情境內容中蘊藏的數(shù)學模型，為培養(yǎng)學生的建模思想奠定基礎。比如，在“圓柱與圓錐”一課教學中，教師可以借助生活中常見的物體創(chuàng)設生活情境，在情境中滲透數(shù)學模型內容，讓學生經歷應用數(shù)學知識描述現(xiàn)實物體的過程，使學生對建構數(shù)學模型形成初步認識。

【情境導入】炎炎夏日，吃冰淇淋是最消暑的。你喜歡吃的冰淇淋是什么口味的？它的形狀是怎樣的？你能描述一下嗎？

【情境呈現(xiàn)】利用多媒體課件出示不同形狀的冰淇淋圖片（見圖2）。

【情境延伸】左邊的冰淇淋是什么形狀的，有什么特點？右邊的冰淇淋是什么形狀的，有什么特點？這些冰淇淋的形狀可以用平面圖形表示，還是用立體圖形表示？什么樣的立體圖形可以表示這些冰淇淋的形狀？

這樣，通過口頭描述、圖片展示的方式為學生創(chuàng)設生動的生活化教學情境，并為學生展現(xiàn)利用數(shù)學幾何知識抽象現(xiàn)實事物特征的過程，讓學生在情境中學會從數(shù)學的角度抽象出現(xiàn)實事物的數(shù)學特征，從而激發(fā)學生的建構模型意識。

二、通過提出問題驅動學生架設模型

數(shù)學模型的建構過程并不簡單，需要學生先分析數(shù)學問題的基本特征，只有應用數(shù)學知識將現(xiàn)實問題轉化為數(shù)學問題，才能建構數(shù)學模型、求解數(shù)學模型。由此可以推斷，數(shù)學建模思維的發(fā)展具有遞進性。教師把握學生思維發(fā)展特征，按照具體順序提出啟發(fā)性教學問題，可以逐步指導學生轉化問題、建構模型、解決模型，促進學生對建模思想本質的體會與理解。以“圓柱與圓錐”一課教學為例，為使學生在課程學習過程中學會架設數(shù)學模型的方式方法，教師可以依次提出以下問題，驅動學生架設模型。

問題1：有一圓柱體瓷質茶葉罐，高為30厘米，底面直徑為10厘米。張媽媽準備用毛線為茶葉罐編織一個毛線套，以免茶葉罐被磕碰。你能為張媽媽提供怎樣的編制方案？

問題2：張媽媽至少要準備多少毛線？

問題3：你有怎樣的計算方案？如何用數(shù)學語言表示？

以上三個問題的難度逐級遞增，且抽象程度也在逐漸升高?；谏鲜鰡栴}鏈，教師可以組織學生討論，并引導學生在討論過程中架設數(shù)學模型，解答實際問題。比如，教師可按照以下師生對話案例指導學生架設數(shù)學模型。

【師生對話案例】

師：張媽媽至少要準備多少毛線的問題可以轉化為什么問題？

生1：可以轉化為求茶葉罐表面積的問題。

師：那么如何求茶葉罐的表面積呢？

生2：茶葉罐是一個圓柱體，由兩個底面和一個側面構成，分別求出二者的面積之后求和即可。

生3：題目給出了茶葉罐底面的直徑，利用圓的面積公式S=πr2直接計算出茶葉罐底面積即可。

師：那怎么計算茶葉罐的側面積呢？

生4：將茶葉罐的側面展開，觀察茶葉罐側面的圖形是什么，再利用求面積的公式計算茶葉罐的側面積。

師：但是展開茶葉罐的側面積就意味著破壞了茶葉罐，這與張媽媽的預期不符。

生5：我們可以按照茶葉罐的規(guī)格應用紙板制作一個一模一樣的圓柱體，之后展開圓柱體的側面觀察其側面形狀，再利用數(shù)學公式計算側面積即可。

在這一案例中，教師以引導的方式不斷提出問題，引導學生將求準備毛線數(shù)量的問題轉化為求茶葉罐表面積的問題，將求茶葉罐表面積的問題轉化為求高為30厘米、底面直徑為10厘米的圓柱體表面積的問題，讓學生在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，嘗試用數(shù)學方法解答問題的過程中完成對數(shù)學模型的架設，在潛移默化的過程中實現(xiàn)對學生建模思想的有效培養(yǎng)。

三、通過合作歸納組織學生抽象模型

建構數(shù)學模型的關鍵在于明確問題的主要特征。在小學數(shù)學教學階段，部分事物的數(shù)學特征較為明顯，可直接通過肉眼觀察發(fā)現(xiàn)，另外一部分事物的數(shù)學特征則較為隱蔽，需要應用推理、抽象的方式分析數(shù)學特征。為了讓學生基于事物的主要特征建構數(shù)學模型，教師有必要在課上組織教學活動，通過指導學生合作討論、交流抽象出事物的本質特征，為學生建構數(shù)學模型提供相應參考。比如，在“圓柱與圓錐”一課教學中，為使學生在課上自主抽象圓柱體表面積、圓柱體積、圓錐體積數(shù)學模型，教師可以在課上組織合作討論活動，指導學生抽象出數(shù)學模型。

1.抽象圓柱體表面積數(shù)學模型。在此活動中，教師為學生提供圓柱體模型，讓學生聯(lián)想計算圓柱體表面積的過程，形成基本的計算思路，即：先計算出圓柱體兩個底的底面積，之后計算出圓柱體的側面積，將底面積與側面積相加得到圓柱體的表面積。之后，教師可為圓柱體模型的關鍵數(shù)據(jù)賦值，并指導學生討論，如：假設這一圓柱體的高為h，底面半徑為r，那么這個圓柱體的表面積可表示為什么？假設這一圓柱體的高為h，底面直徑為d，那么這個圓柱體的表面積可表示為什么？在提出不同假設的過程中引導學生用數(shù)學符號表示圓柱體表面積公式，如S圓柱體=2πr2+2πrh，S圓柱體=１/2πd2+πdh等，使學生在分析、計算、表達的過程中完成圓柱體表面積公式的模型建構任務。

2.抽象圓柱體體積數(shù)學模型。在此活動中，教師可以先指導學生回顧圓錐體體積探究過程，并抽象出圓柱體體積的求解過程。在此過程中，教師可復制圓柱體的關鍵數(shù)據(jù)，如：假設一圓柱體高為h，底面半徑為r，那么它的體積可表示為什么？假設以圓柱體高為h，底面積為S，那么它的體積可表示為什么？在討論活動中指導學生用字母表示數(shù)抽象圓柱體體積的計算公式，由此歸納出V圓柱=πr2×h、V圓柱=Sh等圓柱體體積計算公式。

3.抽象圓錐體體積數(shù)學模型。在此活動中，教師可以為學生提供圓錐體模型、量筒、圓柱體模型、自來水等實驗工具，讓學生根據(jù)相應工具討論圓錐體體積探索過程。之后，教師再用字母表示數(shù)提出具體問題，引導學生在討論過程中抽象出圓錐體體積計算模型：假設圓錐體的高為h，底面半徑為r，那么它的體積該如何表示？提出問題引導學生從數(shù)學抽象的角度出發(fā)計算圓錐體的體積，從而完成對圓錐體體積計算模型的抽象：圓錐體體積計算模型為V圓錐體=1/2πr2h。

這樣，在組織學生合作回顧課程探究內容、總結數(shù)學計算規(guī)律、用字母代替數(shù)表示問題結果的過程中引領學生說出圓柱體的表面積、體積計算模型以及圓錐體的體積計算模型，進一步鍛煉學生的抽象建模能力。

四、通過評價反饋增強學生的模型意識

教師應用系統(tǒng)、客觀的評價體系為學生的學習情況做出評價，診斷出學生的學習問題，并為學生的未來學習與發(fā)展做出指導。在進行建模思想的應用教學后，教師應當根據(jù)建模思想的應用教學要求設計與之配套的教學評價體系，確保教學評價內容貼合學生建模思想發(fā)展情況，確保學生能夠在接受評價的過程中感悟自身學習發(fā)展方面的不足，從而調整自身的學習行為。為此，教師可以分析建模思想應用的構成要素，并針對不同能力設計評價行為指標，為建模思想應用教學的評價工作提供參考（見表1）。

以行為指標表作為評價參考，確保教學評價內容能夠契合學生建模思想生成、發(fā)展的學習需求。以北師大版六年級下冊“圓柱與圓錐”一課的建模思想應用教學為例，教師可著眼于數(shù)學建模思想應用子能力完善教學評價標準，為學生的模型建構行為、模型建構結果做出評價。

教師可著眼于學生建立現(xiàn)實模型的能力設計三級評價標準：①不能基于現(xiàn)實問題提出建模猜想或提出了錯誤的建模猜想；②可以基于現(xiàn)實問題提出建模猜想，但猜想不符合實際情況，或不可用于構建數(shù)學模型；③可以基于現(xiàn)實問題提出建模猜想，并且提出的猜想可被用于建構數(shù)學模型。其中，一級評價標準為“不合格”，二級評價標準為“合格”，三級評價標準為“優(yōu)秀”。通過指出學生在建構現(xiàn)實模型表現(xiàn)的優(yōu)劣情況，使學生能夠對照相應的評價標準反思自身的模型建構行為，指導學生根據(jù)具體評價有意識地調整自身的模型建構行為，不斷優(yōu)化學生的建構能力。

五、結語

教學實踐表明，將建模思想應用到小學數(shù)學課程教學，對于激發(fā)學生的抽象意識，培養(yǎng)學生的模型觀念，提高學生的應用能力均有促進作用。建模思想的滲透應用應當遵循基本的教學規(guī)律。為此，教師有必要做好建模思想應用教學的目標設計、內容組織工作，靈活選用恰當?shù)慕虒W方法滲透建模思想，并落實配套評價，筑牢學生的建模思想。

編輯：陳鮮艷