? 江蘇省海安市李堡中學(xué) 姜國(guó)生

鄭毓信教授在文獻(xiàn)[1]中圍繞“就題論道”列舉了三個(gè)實(shí)例,娓娓道來(lái),以小見(jiàn)大,深入淺出,筆者深受教益．該文中的“案例1”筆者在教學(xué)中也恰好遇到過(guò),但當(dāng)時(shí)沒(méi)有這樣深的認(rèn)識(shí),所以決定利用一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課對(duì)這道題讓學(xué)生“再認(rèn)識(shí)”,教師“再講評(píng)”.以下梳理該案例的教學(xué)記錄,并跟進(jìn)教學(xué)思考,提供研討．

1 教學(xué)案例

例題有甲、乙、丙三種貨物,若購(gòu)甲貨物2件,乙貨物4件,丙貨物1件,共需90元;若購(gòu)甲貨物4件,乙貨物10件,丙貨物1件,共需110元．若甲、乙、丙三種貨物各購(gòu)1件,共需多少元?

師：同學(xué)們,這道例題我們?cè)谥霸?jīng)遇到過(guò),當(dāng)時(shí)不少同學(xué)都感覺(jué)比較困難,只有幾個(gè)同學(xué)做出來(lái)了,后來(lái)還投影過(guò)他們的解法,但由于時(shí)間原因,沒(méi)有深究下去．今天我們專(zhuān)門(mén)抽一節(jié)課的時(shí)間,深入研究一下這道例題的解法．先請(qǐng)一個(gè)同學(xué)來(lái)回顧一下是如何解這道題的?

生1：設(shè)購(gòu)甲貨物一件需x元,乙貨物一件需y元,丙貨物一件需z元,根據(jù)題意,列方程組

①

②

②-①,得2x+6y=20,用含y的式子表示x,則x=-3y+10.

②-①×2,得2y-z=-70,用含y的式子表示z,則z=2y+70.

所以x+y+z=(-3y+10)+y+(2y+70)=80.

故甲、乙、丙三種貨物各購(gòu)一件共需80元．

師：很好!請(qǐng)生2來(lái)說(shuō)說(shuō),你能看懂生1的解法嗎?你覺(jué)得他成功解題的關(guān)鍵是哪一步或哪幾步?

生2：看懂了!關(guān)鍵是用含y的式子分別表示出x,z,然后代入x+y+z中恰好能消去y,得到數(shù)值80!

師：很好!那么,我們是否可以用含z的式子來(lái)表示出x,y,再代入x+y+z中求解呢?

(學(xué)生經(jīng)過(guò)幾分鐘演算之后,也算出了一樣的結(jié)果,教師進(jìn)行了投影展示.)

師：剛才的思路可看成是“各個(gè)擊破”,如果著眼于“x+y+z”這個(gè)整體,能否直接變形求出x+y+z的值呢?

生3：可以.由①×3-②,得2x+2y+2z=160,即x+y+z=80．

師：很好!看來(lái)“①×3-②”這一步很關(guān)鍵,直接得到2x+2y+2z的值,就可以看出答案了!沿著生3的這種整體眼光,能否將原方程組中的兩個(gè)方程也分別變形出“x+y+z”呢?大家嘗試一下!

(不到三分鐘,生4發(fā)現(xiàn)了思路,手舉得很高!)

師：非常好!請(qǐng)一個(gè)同學(xué)再講講生4的這種有創(chuàng)意的解法．(另外一個(gè)學(xué)生復(fù)述一遍思路.)

現(xiàn)在,讓我們?cè)倬毩?xí)一道同類(lèi)題和一道變式題,鞏固一下上面的解法．

練習(xí)1(同類(lèi)題)甲、乙、丙三種貨物,購(gòu)甲3件,乙7件,丙1件,共需300元,購(gòu)甲4件,乙10件,丙1件共需400元.求購(gòu)甲、乙、丙各一件共需多少元?

教學(xué)記錄：多數(shù)學(xué)生很快就完成了解答,且正確率很高,做得快的學(xué)生還用了幾種不同的方法．

教學(xué)反思：以上教學(xué)活動(dòng)用了二十五分鐘左右,彌補(bǔ)了之前講評(píng)太快的遺憾,讓學(xué)生加深了對(duì)這道例題的印象．課后還有學(xué)生在“錯(cuò)題本”上以“數(shù)學(xué)寫(xiě)作”的形式梳理了這道例題,說(shuō)明學(xué)生對(duì)這樣的教學(xué)活動(dòng)還是很有興趣的．這也提醒筆者,今后遇到經(jīng)典問(wèn)題時(shí),要舍得花時(shí)間讓教學(xué)和講評(píng)“慢下來(lái)”,特別是有多種解法的,要鼓勵(lì)學(xué)生充分表達(dá)、交流各自的解法,然后從解法的繁簡(jiǎn)、是否有推廣運(yùn)用的價(jià)值、是否自然等角度進(jìn)行評(píng)析,讓學(xué)生學(xué)會(huì)比較、善于比較,以達(dá)到對(duì)一類(lèi)問(wèn)題的深刻理解．

2 關(guān)于習(xí)題講評(píng)的一些思考

2.1 注重待講習(xí)題的深入思考

目前,在一線教學(xué)中習(xí)題講評(píng)課還是占有較大的比例,學(xué)生的作業(yè)、練習(xí)很多都需要集中講評(píng),在講評(píng)前教師要有進(jìn)行深入思考．具體來(lái)說(shuō),如果只是滿足于答案的核對(duì)或一種技巧性步驟的分享,則學(xué)生可能當(dāng)時(shí)能看懂思路,學(xué)會(huì)了一種解法步驟,但是時(shí)間一長(zhǎng),遇到稍有變式的同類(lèi)問(wèn)題,可能仍然沒(méi)有思路．這也是很多學(xué)生常常感慨“上課聽(tīng)懂了,但一遇到同類(lèi)問(wèn)題仍然不會(huì)做”的原因．正如鄭毓信教授在文獻(xiàn)[1]中給我們的教研啟示一樣,當(dāng)我們對(duì)要講評(píng)的習(xí)題進(jìn)行備課時(shí),要深入思考：這道習(xí)題有哪些不同的思路?這些思路的解題念頭從而來(lái)而?怎樣才能自然而然地想到這些思路?怎樣把這些解題方法傳遞、分享給學(xué)生?等等．當(dāng)然,還要善于站在學(xué)生的立場(chǎng),弄清學(xué)生已有了哪些知識(shí)、方法的積累,從近期曾經(jīng)練習(xí)過(guò)、講評(píng)過(guò)的習(xí)題中找到同類(lèi)習(xí)題或體現(xiàn)類(lèi)似方法的習(xí)題,引發(fā)學(xué)生的解題共鳴.這些都是擬講評(píng)習(xí)題前進(jìn)行深入思考的一些角度．

2.2 重視經(jīng)典問(wèn)題的深度教學(xué)

文獻(xiàn)[2]記錄了我國(guó)著名數(shù)學(xué)家李大潛院士“懷念徐質(zhì)夫老師”的一段往事,讓李院士印象深刻的是中學(xué)階段徐質(zhì)夫老師非常注意經(jīng)典問(wèn)題的深度教學(xué)．這對(duì)我們開(kāi)展習(xí)題講評(píng)提供了非常有益的視角,即應(yīng)該十分重視經(jīng)典問(wèn)題的深度教學(xué)．具體來(lái)說(shuō),中學(xué)階段有很多經(jīng)典問(wèn)題(或習(xí)題),它們多數(shù)出現(xiàn)在教材例題和習(xí)題中．筆者有一個(gè)比較好識(shí)別經(jīng)典問(wèn)題的方式,那就是在教材例題或習(xí)題中出現(xiàn)兩次或以上的同類(lèi)問(wèn)題往往是經(jīng)典問(wèn)題,或者圍繞教材例習(xí)題進(jìn)行變式的中考題往往也是經(jīng)典問(wèn)題．把這些經(jīng)典問(wèn)題搜集起來(lái),特別是將同類(lèi)問(wèn)題梳理在一起開(kāi)展解題教學(xué)是很有必要的．那么,如何圍繞這些經(jīng)典問(wèn)題開(kāi)展深度教學(xué)呢?筆者有以下一些做法：比如,先聽(tīng)學(xué)生分享各自的不同解法,然后讓學(xué)生對(duì)比不同解法的優(yōu)劣,從而在比較中學(xué)習(xí)、掌握好的解法;再如,在解法反思環(huán)節(jié),讓學(xué)生辨析不同解法的關(guān)鍵步驟,或者找出(或分離)線條較多的幾何問(wèn)題中的基本圖形,促進(jìn)學(xué)生對(duì)這些基本圖形及變式的深刻理解．

2.3 精心預(yù)設(shè)同類(lèi)習(xí)題及變式

除上文教學(xué)實(shí)錄中提到的“一個(gè)學(xué)生講解思路之后,請(qǐng)另一個(gè)學(xué)生復(fù)述解法”之外,為了取得較好的講評(píng)效果,同類(lèi)練習(xí)的反饋也非常必要．這就要求我們?cè)谡n前備課,搜集或改編同類(lèi)練習(xí).同類(lèi)練習(xí)可以反饋學(xué)生的知識(shí)掌握情況,又可以提升學(xué)生解題信心．當(dāng)然,為了防止優(yōu)秀學(xué)生“空轉(zhuǎn)”(對(duì)于一些同類(lèi)問(wèn)題反復(fù)訓(xùn)練),還需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的變式與拓展,以訓(xùn)練學(xué)生創(chuàng)造性思維,激發(fā)學(xué)生的解題智慧．筆者認(rèn)為,還應(yīng)該重視選編“形異質(zhì)同”問(wèn)題進(jìn)行訓(xùn)練．具體來(lái)說(shuō),上文中教學(xué)實(shí)錄的最后,提供了兩道練習(xí)題,其中“練習(xí)1”屬于“形同質(zhì)同”問(wèn)題,只是簡(jiǎn)單改變了數(shù)字,問(wèn)題實(shí)際背景、解法思路與原來(lái)的“例題”基本一致;而“練習(xí)2”則屬于“形異質(zhì)同”問(wèn)題,拿掉了實(shí)際問(wèn)題背景,在解題方法上需要恰當(dāng)變形,運(yùn)用整體眼光進(jìn)行處理．

3 寫(xiě)在后面

本文是閱讀我國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家鄭毓信教授一篇“接地氣”的文獻(xiàn)引發(fā)的教學(xué)記錄與思考,對(duì)于筆者來(lái)說(shuō)受益很多.比如,今后應(yīng)該如何深入研究經(jīng)典問(wèn)題;如何給學(xué)生答疑解惑;如何在解題教學(xué)中從“就題論題”到“就題論道”;如何切實(shí)將閱讀的文獻(xiàn)、理論學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化到教學(xué)實(shí)踐中;等等．當(dāng)然,筆者的這些認(rèn)識(shí)還很膚淺,期待更多的同行閱讀文獻(xiàn),積極實(shí)踐,交流經(jīng)驗(yàn)．