? 哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院 宋 丹

弗賴登塔爾認(rèn)為“數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí)”.數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部以及數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系非常重要,數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化使得數(shù)學(xué)教學(xué)有輪有廓,更利于學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的培養(yǎng).

要想更好地用系統(tǒng)論的方法對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行組織安排,教師應(yīng)采用問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo),讓學(xué)生圍繞問題獲取真知,促使學(xué)生更好地感悟數(shù)學(xué)概念本質(zhì),發(fā)展思維,激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.

1 教材分析

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)函數(shù)內(nèi)容的主干知識(shí),二次函數(shù)的學(xué)習(xí)不僅進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的掌握,也常與其他模塊的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行綜合應(yīng)用,也為構(gòu)建學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)體系奠定良好的基礎(chǔ)[1].

2 學(xué)情分析

二次函數(shù)是在一次函數(shù)后,繼續(xù)進(jìn)行深入學(xué)習(xí)的內(nèi)容,且二次函數(shù)作為概念新授課,需要學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般抽象、概括并定義二次函數(shù)概念的過程,因此對(duì)學(xué)生的探索、推理能力有較高的要求.

3 教學(xué)目標(biāo)

(1)認(rèn)識(shí)二次函數(shù),認(rèn)識(shí)二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng),列出二次函數(shù)關(guān)系式,并求出函數(shù)自變量的取值范圍.

(2)經(jīng)歷獨(dú)立思考和小組合作,學(xué)會(huì)從知識(shí)的整體性出發(fā)多角度看待問題,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的科學(xué)精神.

4 教學(xué)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：情境引入,溫故知新.

圖1

如圖1,河源新豐江音樂噴泉,號(hào)稱“亞洲第一高噴泉”,泉水在空中呈曲線運(yùn)動(dòng)落回地面,在水珠的運(yùn)動(dòng)曲線上,水珠距離地面的豎直高度h與水珠的水平移動(dòng)距離x之間有什么關(guān)系[2]?通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),我們一起解開這個(gè)謎題吧.

設(shè)計(jì)意圖：弗賴登塔爾認(rèn)為,教育應(yīng)該扎根于現(xiàn)實(shí).利用噴泉作為探究對(duì)象,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述問題的能力,促使學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界.

環(huán)節(jié)2：自主探究+引入概念.

圖2

問題1正方體的六個(gè)面是全等的正方形(如圖2),設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x,表面積為y,顯然對(duì)于x的每一個(gè)確定的值,y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng),即y是x的函數(shù),它們的具體關(guān)系可以表示為______.

預(yù)設(shè)：y=6x2(記為①).

圖3

問題2如圖3所示,多邊形所有對(duì)角線條數(shù)t與多邊形的邊數(shù)n是否具有函數(shù)關(guān)系?

師：如果多邊形有n條邊,那么你能計(jì)算出這個(gè)多邊形有多少個(gè)頂點(diǎn)么?如果從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),你能作多少條對(duì)角線?

預(yù)設(shè)：n;n-3.

追問：n邊形的對(duì)角線總數(shù)______.

師：通過②式可以得到多邊形對(duì)角線的條數(shù)t與邊數(shù)n之間存在函數(shù)關(guān)系.在n的取值范圍內(nèi),對(duì)于每一個(gè)確定的n值,都有唯一確定的t值與之相對(duì)應(yīng),所以t是n的函數(shù).

問題3某鞋襪工廠的一款新型球鞋今年的年產(chǎn)量是20件,計(jì)劃今后兩年提高生產(chǎn)量.如果設(shè)定每年在上一年的基礎(chǔ)上增加x倍,那么兩年后球鞋的生產(chǎn)量y將隨x的值而確定,你能確定y是x的函數(shù)嗎?

師：球鞋今年的生產(chǎn)量是20件,你能分別求出一年后和兩年后的產(chǎn)量嗎?并寫出y與x之間的關(guān)系式.

預(yù)設(shè)：20(1+x);20(1+x)2;y=20(1+x)2,即y=20x2+40x+20(記為③).

師：通過③式,我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于任一確定的x的值,都有唯一確定的y值與之對(duì)應(yīng),所以可以確定y是x的函數(shù).

問題4函數(shù)①②③有什么共同點(diǎn)?

(學(xué)生以小組形式進(jìn)行討論并總結(jié).)

追問1：請(qǐng)認(rèn)真觀察三個(gè)函數(shù)的解析式,并填表1.

預(yù)設(shè)：表1中三個(gè)函數(shù)的自變量與因變量分別為x,y;n,t;x,y.

追問2：這些函數(shù)有什么共同點(diǎn)?它們和以前學(xué)習(xí)的一次函數(shù)一樣嗎?能否寫出它的一般形式?

預(yù)設(shè)：每一個(gè)函數(shù)自變量的最高次數(shù)為2.

二次函數(shù)的定義：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù),叫做二次函數(shù).

問題5二次函數(shù)有沒有其他特殊表示形式呢?

(學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)展開討論,并進(jìn)行總結(jié).)

二次函數(shù)的特殊形式：

(1)當(dāng)a,c≠0,b=0時(shí),y=ax2+c.(不存在一次項(xiàng).)

(2)當(dāng)a,b≠0,c=0時(shí),y=ax2+bx.(不存在常數(shù)項(xiàng).)

(3)當(dāng)a≠0,b=0,c=0時(shí),y=ax2.(只含二次項(xiàng).)

設(shè)計(jì)意圖：章建躍提出“概念教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷概括的過程”,引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)定義二次函數(shù)的過程,掌握二次函數(shù)的本質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與概括能力.

環(huán)節(jié)3：練習(xí)鞏固,突破難點(diǎn).

例下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有______.

(學(xué)生進(jìn)行自主思考并回答問題.)

預(yù)設(shè)：①⑤⑥.

教師協(xié)助學(xué)生改正錯(cuò)誤并總結(jié)運(yùn)用定義判斷一個(gè)函數(shù)是否為二次函數(shù)的步驟：

(1)首先將函數(shù)解析式調(diào)整為等號(hào)左側(cè)為因變量、右側(cè)為自變量的表達(dá)式的形式;

(2)判斷函數(shù)解析式能否轉(zhuǎn)化成整式;

(3)判斷自變量的最高次數(shù)是否為2;

(4)判斷二次項(xiàng)系數(shù)是否不等于0.

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生觀察、辨別和發(fā)現(xiàn)問題的能力,以及合作探究意識(shí)和語言表達(dá)能力,提高學(xué)生計(jì)算和推理能力.

環(huán)節(jié)4：總結(jié)反思.

(1)我們是如何開展本節(jié)課的學(xué)習(xí)的?

(2)什么是二次函數(shù)?二次函數(shù)解析式對(duì)系數(shù)、次數(shù)有什么要求?

設(shè)計(jì)意圖：通過回顧、總結(jié)、檢驗(yàn)學(xué)生的認(rèn)知情況,培養(yǎng)概括能力;梳理本節(jié)課的探究思路和研究方法,明確本節(jié)課學(xué)習(xí)重點(diǎn),突破二次函數(shù)學(xué)習(xí)難點(diǎn),初步掌握函數(shù)的學(xué)習(xí)方法.

5 教學(xué)反思

全美數(shù)學(xué)教育研究中心提出：“學(xué)生要在理解中學(xué)習(xí).”本節(jié)課屬于概念新授課,教師往往采取“重應(yīng)用”“輕講解”的教學(xué)模式,但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不能采取“告知”的形式,否則學(xué)生會(huì)很難理解二次函數(shù)的“一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系”.因此,本文中采用問題驅(qū)動(dòng)模式引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)問題中自主構(gòu)建二次函數(shù)的概念,促進(jìn)學(xué)生加深數(shù)學(xué)理解.教師結(jié)合學(xué)生已有的一次函數(shù)的基礎(chǔ),以問題驅(qū)動(dòng)作為主線展開教學(xué);利用探究式學(xué)習(xí)引導(dǎo)學(xué)生抽象、概括二次函數(shù)的定義;結(jié)合多個(gè)現(xiàn)實(shí)問題的解決,培養(yǎng)學(xué)生類比的數(shù)學(xué)思想;通過例題訓(xùn)練,強(qiáng)化知識(shí)的應(yīng)用,提高學(xué)生數(shù)學(xué)辨別和運(yùn)算能力;引導(dǎo)學(xué)生合作交流,總結(jié)學(xué)習(xí)二次函數(shù)的重要性,促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)系統(tǒng)性學(xué)習(xí)觀念.

史寧中教授指出,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該由“點(diǎn)”走向“團(tuán)”,從零散走向集合,這樣的教學(xué)才不能稱為應(yīng)試之教.在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中,始終貫徹建立數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的思想,在學(xué)生學(xué)習(xí)一次函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上,類比一次函數(shù)與二次函數(shù),使學(xué)生理解一一對(duì)應(yīng)的現(xiàn)實(shí)意義,進(jìn)而總結(jié)出二次函數(shù)的定義.