? 浙江省杭州市富陽區(qū)鹿山中學(xué) 鄭曉華? 浙江省杭州市富陽區(qū)郁達(dá)夫中學(xué) 陳建國

1 基本情況分析

新課教學(xué)主要達(dá)成的是課時(shí)目標(biāo),即使是采用整體的方式呈現(xiàn),也只是結(jié)構(gòu)性的扼要陳述的一些數(shù)學(xué)對(duì)象,當(dāng)它被單獨(dú)分析時(shí),會(huì)喪失一部分整體的性質(zhì).這恰恰體現(xiàn)了復(fù)習(xí)課的重要地位.復(fù)習(xí)課顯然不是“可有可無”“舊事重提”的課,而是需要教師站在知識(shí)的更高位,對(duì)學(xué)生所學(xué)知識(shí)進(jìn)行研究、比較,尋找相互之間的聯(lián)系和區(qū)別,在單元整體觀下進(jìn)行再構(gòu)造,將原本分散、彼此分割的知識(shí)聯(lián)成一個(gè)統(tǒng)一的整體,使學(xué)生能在復(fù)習(xí)中獲得系統(tǒng)性的體驗(yàn).

2 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

2.1 知識(shí)回溯,喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)

課前檢測(cè)：

(1)矩形具有而一般的平行四邊形不具有的特征是( ).

A．有一個(gè)角是直角 B．對(duì)邊相等

C．對(duì)角相等 D．對(duì)角線互相平分

(2)菱形具有而一般的平行四邊形不具有的特征是( ).

A．對(duì)角線相等 B．鄰邊相等

C．對(duì)角相等 D．對(duì)角線互相平分

(3)菱形的兩條對(duì)角線長分別為6 cm和8 cm,它的邊長是( )cm.

A．10 B．8 C．5 D．6

設(shè)計(jì)意圖：通過前測(cè),喚醒學(xué)生對(duì)本節(jié)課復(fù)習(xí)的主題內(nèi)容相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的記憶,便于教師了解學(xué)生對(duì)特殊的平行四邊形知識(shí)的掌握情況.

2.2 動(dòng)手操作,凸顯學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)

已知線段AB的垂直平分線MN,P為MN上一點(diǎn)(在線段AB外),連結(jié)AP和BP.

下面是圓圓和芳芳分別在圖中作出四邊形的步驟.

圓圓：第1步,以過點(diǎn)P且平行于AB的直線為對(duì)稱軸,將△APB進(jìn)行翻折,得到△DPC,如圖1.

第2步,連接BC,AD,得到四邊形ABCD.

圖1

圖2

芳芳：如圖2,將△APB以AB為對(duì)稱軸翻折,得到△ABP′,得到四邊形AP′BP.

問題1請(qǐng)根據(jù)圓圓和芳芳的步驟作出圖形.

追問1：作出的四邊形是哪一類特殊的四邊形?請(qǐng)說明理由.

追問2：能否借助軸對(duì)稱性來梳理矩形、菱形特有的性質(zhì)?

師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)要求分別作圖,并對(duì)所作的圖形進(jìn)行猜想,利用定義和判定進(jìn)行合理判斷,嘗試用軸對(duì)稱性梳理矩形、菱形特有的性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生在動(dòng)手操作中回顧矩形、菱形的定義和判定,體會(huì)矩形、菱形(整體)與等腰三角形(局部)具有一致的軸對(duì)稱性.

2.3 感受優(yōu)勢(shì),激活學(xué)生的學(xué)習(xí)視角

圖3

(1)如圖3,已知矩形ABCD,BE=CE,則下列結(jié)論中正確的是______.

①AE=DE;

②∠BAE=∠CDE;

③BA=BE;

④△ABE≌△DCE.

圖4

(2)如圖4,菱形ABCD中,E為對(duì)角線BD上與B,D不重合的一點(diǎn),連結(jié)EA,EC,你能得到哪些結(jié)論?

問題2你是通過什么方法得到這些結(jié)論的?

追問1：能否利用它們的軸對(duì)稱性來解決?

追問2：矩形中點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)是誰?點(diǎn)E呢?AE呢?∠BAE呢?

追問3：若DE=BE,還能得到什么結(jié)論?

追問4：根據(jù)上述問題1～2,借助軸對(duì)稱性,能得到哪些等量關(guān)系?對(duì)后續(xù)解決其他問題有什么啟示?

生1：通過軸對(duì)稱,可得相等的線段、相等的角、全等的三角形.凡是對(duì)稱的圖形,都是全等圖形.

生2：后續(xù)在解決軸對(duì)稱圖形的問題時(shí),可以借助軸對(duì)稱性,快速判斷它們的等量關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：通過問題1～2,幫助學(xué)生鞏固特殊平行四邊形的軸對(duì)稱性,體會(huì)其在解決問題中的優(yōu)越性,激活學(xué)生的思維,從軸對(duì)稱的視角與方法來看待問題,為后續(xù)解決問題打下基礎(chǔ).

2.4 驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)化,提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力

圖5

例題如圖5所示,菱形ABCD的面積為20,AB=5,AE⊥CD于點(diǎn)E,連接BD,交AE于點(diǎn)F.連接CF,記△AFD的面積為S1,△BFC的面積為S2,則S1∶S2=______.

問題3由已知條件,你能得到哪些結(jié)論?

追問1：如何計(jì)算兩個(gè)三角形的面積比?

追問2：如何求同一直線上的兩條線段的比?

思路1：通過對(duì)稱,聚焦相似三角形,解決問題.

部分學(xué)生依據(jù)菱形的軸對(duì)稱性,將△BFC的面積轉(zhuǎn)化為△BFA的面積,進(jìn)而得到S1∶S△BFA=DF∶BF.利用△BFA∽△DFE,得到DF∶BF=DE∶AB,從而求出S1∶S2.

思路2：通過對(duì)稱,聚焦兩三角形的面積.

部分學(xué)生依據(jù)菱形的軸對(duì)稱性,將△BFC的面積轉(zhuǎn)化為△BFA的面積,以△BFA和△AFD的公共邊作為底,高分別為AB和DE,從可求出S1∶S2.

思路3：通過對(duì)稱,聚焦直角三角形,解決問題.

部分學(xué)生利用菱形的軸對(duì)稱性,將△AFD的面積轉(zhuǎn)化為△CFD的面積.由對(duì)稱性,得AF=CF,∠DAE=∠DCF.依據(jù)題干中的條件,可得AE=4,CE=2,由勾股定理或銳角三角函數(shù),可分別求得EF與AF的值.

思路4：通過對(duì)稱,聚焦角平分線,解決問題.

部分學(xué)生利用菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角,得到SDFE∶S△DFA=FE∶AF=DE∶AD,從而求得結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：通過問題驅(qū)動(dòng),激發(fā)學(xué)生的思維,在小組討論的過程中,找到各種思路的共同點(diǎn).感受軸對(duì)稱變換在特殊平行四邊形中的運(yùn)用,學(xué)會(huì)將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題進(jìn)行解決.同時(shí),回顧解決三角形問題的常用方法,提升學(xué)生的推理、運(yùn)算能力.

問題4如果將例題中的菱形的邊長和面積條件都去掉,添加“∠ADC=α”,保留“AE⊥CD于點(diǎn)E,連接BD,交AE于點(diǎn)F.連接CF,記△AFD的面積為S1,△BFC的面積為S2”,是否還能求S1∶S2?

追問1：α確定時(shí),菱形的形狀確定嗎?剛才的方法是否還適用?

追問2：S1與S2的比值與哪個(gè)條件有關(guān)?

追問3：如果去掉“AE⊥CD”,設(shè)DE∶CE=k,能否求S1∶S2?

設(shè)計(jì)意圖：將問題從特殊推廣到一般,感受解決問題方法的不變性,引導(dǎo)學(xué)生在具體問題中學(xué)會(huì)抓住問題的本質(zhì),在特殊的平行四邊形問題中提升解決三角形問題的能力.

圖6

挑戰(zhàn)：如圖6所示,在正方形ABCD中,點(diǎn)G在BC的延長線上運(yùn)動(dòng),線段AG與對(duì)角線BD交于點(diǎn)H,設(shè)CG∶BC=k,△ADH和以點(diǎn)C,H,D,G為頂點(diǎn)的四邊形的面積分別為S1和S2,求S2∶S1(用含k的代數(shù)式表示).

問題5你打算如何求S2∶S1?

追問1：直接求有困難,能否轉(zhuǎn)化?

過點(diǎn)H作HE⊥DC于點(diǎn)E,具體轉(zhuǎn)化過程如圖7所示.

圖7

2.5 引領(lǐng)梳理,拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)深度

(1)等腰三角形與矩形、菱形有什么聯(lián)系?

(2)借助軸對(duì)稱的視角研究特殊的四邊形,從定性分析,可以得到哪些關(guān)系?

(3)利用軸對(duì)稱性,可以采用什么方法解決特殊的四邊形的問題?

軸對(duì)稱視角下“特殊的平行四邊形”復(fù)習(xí)課的教學(xué)內(nèi)容如圖8所示.

圖8

3 教學(xué)思考

所謂深度學(xué)習(xí),就是指在教師的引領(lǐng)下,學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題,全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程[1].筆者通過本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)與課堂實(shí)踐,對(duì)復(fù)習(xí)課教學(xué)有如下思考與理解.

3.1 知識(shí)結(jié)構(gòu)化

數(shù)學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部,無法一眼看穿,研究過程中,需要著眼于它與相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系,在運(yùn)動(dòng)變化過程中掌握它.深度學(xué)習(xí)主張教學(xué)內(nèi)容以內(nèi)在結(jié)構(gòu)的方式構(gòu)成學(xué)習(xí)單元.無論是新課與復(fù)習(xí)課都主張追尋知識(shí)內(nèi)在的邏輯,通過單元整體的方式展開.這就提醒教師備課時(shí)要關(guān)注知識(shí)的邏輯起點(diǎn),抓住知識(shí)內(nèi)在的邏輯關(guān)系.復(fù)習(xí)課是對(duì)知識(shí)進(jìn)行有序的梳理、聯(lián)系、拓展,將原本零落分散、彼此分割的知識(shí)組成一個(gè)個(gè)統(tǒng)一的整體.比如,一個(gè)數(shù)學(xué)問題可以有多種表征,代數(shù)形式或幾何形式,新授課上對(duì)二者往往有傾向性,而復(fù)習(xí)課中就可以將二者有機(jī)結(jié)合.課堂上,設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)幕顒?dòng),讓學(xué)生主動(dòng)、自然地構(gòu)建知識(shí)圖譜,獲得解決綜合性問題的能力.此類復(fù)習(xí)對(duì)學(xué)生而言,仍屬于一種具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題,是一種創(chuàng)造性活動(dòng).

3.2 方法再認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)方法的認(rèn)識(shí)需要借助解題,但并不是“題海戰(zhàn)術(shù)”.《禮記·學(xué)記》中有云：“道而弗牽,強(qiáng)而弗抑,開而弗抑.”幾何教學(xué)中的方法較代數(shù)而言,缺乏程序性,很難用具體的步驟來描述,在鍛煉學(xué)生思維的同時(shí),也加大了學(xué)習(xí)難度.學(xué)習(xí)解決幾何問題的方法,需要學(xué)生在過程中不斷思考、頓悟、再創(chuàng)造,這就要求教師依據(jù)學(xué)生的思維路徑,有序地呈現(xiàn)學(xué)生解決問題的過程、想法,在學(xué)生思維受阻時(shí),給予及時(shí)的追問,幫助學(xué)生找到思路受阻原因,而不是直接強(qiáng)行告知結(jié)果.

3.3 經(jīng)驗(yàn)多遷移

復(fù)習(xí)課上題不在多,而在于精.選擇典型的例題,引導(dǎo)學(xué)生掌握研究問題的一般套路.用運(yùn)動(dòng)變化的眼光,對(duì)所研究的內(nèi)容進(jìn)行“特殊化”“一般化”,或者用“類比”等方式,對(duì)問題進(jìn)行再開發(fā),設(shè)置便于學(xué)生經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”的過程性問題.不僅在變換形式中挖掘問題的本質(zhì),同時(shí),在成功與失敗的體驗(yàn)中“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”.學(xué)生能夠?qū)⑦@種潛移默化的思考習(xí)慣、解決問題的一般方法遷移到獨(dú)立解決新問題中.這樣的經(jīng)驗(yàn)還能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題.長此以往,數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生而言不再是枯燥的解題,而是像科學(xué)家一樣在探究問題.

3.4 思想需浸潤

數(shù)學(xué)思想方法需要“言傳身教”,需要將其蘊(yùn)藏在一系列具體的教學(xué)內(nèi)容中.學(xué)習(xí)應(yīng)該從什么角度來研究,如何研究,如何拓展研究,課堂上讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、猜想、聯(lián)想、類比、合情推理等分析、解決問題的過程,還原數(shù)學(xué)家探索、發(fā)現(xiàn)事物內(nèi)在規(guī)律的過程.讓學(xué)生感受前后知識(shí)的學(xué)習(xí)中,研究路徑和思想方法的一致性.思考如何將一個(gè)新問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題.特殊的平行四邊形的復(fù)習(xí)中,可通過中心對(duì)稱視角、軸對(duì)稱視角來復(fù)習(xí)矩形、菱形;通過旋轉(zhuǎn)對(duì)稱視角來復(fù)習(xí)正方形.始終不變的是將特殊的四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題.由此可見,轉(zhuǎn)化、化歸等數(shù)學(xué)思想潛移默化地貫穿課堂始終.

3.5 思維要發(fā)展

教之道在于“度”,學(xué)之道在于“悟”.教會(huì)學(xué)生舉一反三地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí),用相同的“套路”解決不同的問題.學(xué)生的思維要發(fā)展,教師的問題串設(shè)計(jì)尤為重要.一是情境創(chuàng)設(shè)中的問題串設(shè)計(jì)要由淺入深、循序漸進(jìn)、相互關(guān)聯(lián),目的是引發(fā)學(xué)生的興趣,幫助學(xué)生快速理清已有的知識(shí)結(jié)構(gòu).二是在思維的難點(diǎn)處設(shè)計(jì)具有啟發(fā)性的問題串,在相互交流中捋清學(xué)生的思維路徑,通過問題驅(qū)動(dòng)加以點(diǎn)撥,啟發(fā)并提高學(xué)生的思維.三是在小結(jié)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)相應(yīng)的問題串,通過問題串引導(dǎo)學(xué)生再次回顧基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).給學(xué)生充分的思考時(shí)間,讓他們帶著問題思考,有邏輯地探究.

筆者通過本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)與展示,以期實(shí)現(xiàn)教師對(duì)中考復(fù)習(xí)教學(xué)的改進(jìn)、思考,精準(zhǔn)、有效地進(jìn)行復(fù)習(xí)教學(xué).當(dāng)然,由于本人水平有限,教學(xué)過程中還有很多可待商榷之處,希望以此起到拋磚引玉的功效,期待更多的數(shù)學(xué)教育有識(shí)之士提出教學(xué)建議,共享數(shù)學(xué)課堂的深度教學(xué).