夏文華，田智鯤，劉蘭初，王祝君

（湖南工程學院計算科學與電子學院，湖南湘潭 411104）

引言

為主動應對新一輪科技革命與產業(yè)變革，2017年2 月以來，教育部積極推進新工科建設，從而延伸出了新工科這一教學理念。新工科背景下產生的新專業(yè)或專業(yè)升級改造對數(shù)學知識、方法、思維和能力提出了更高的要求。高等數(shù)學是工科類院校大一學生面臨的第一門，也是最重要的一門數(shù)學課程，更是后續(xù)專業(yè)課程的基礎，其重要性不言而喻。高等數(shù)學的教學研究與創(chuàng)新已提升到國家戰(zhàn)略高度，［1］也是新工科建設與實施的核心內容。

2020 年5 月教育部印發(fā)《高等學校課程思政建設指導綱要》，［2］要求把思政教育貫穿到人才培養(yǎng)體系中，全面推進高校課程思政建設，發(fā)揮好每門課程的育人作用，提高高校人才培養(yǎng)水平。因此，如何有效地開展好課程思政正成為我國大學課程改革領域的熱點。課程思政已成為新時代振興本科教育與提高人才培養(yǎng)能力的重要著力點。

數(shù)學作為一門自然科學，其所蘊含的思政元素常常被忽略。事實上，在高等數(shù)學課程中蘊含了豐富的思政元素，作為工科類院校學生必修的一門基礎理論課程，還具有課時多以及覆蓋面廣的特點，是很好的課程思政實踐陣地。因此，面對新形勢新要求，基于新工科背景，構建融入思政元素的高等數(shù)學教學體系，培養(yǎng)德才兼?zhèn)涞母咚刭|創(chuàng)新型人才，是新時代對高等數(shù)學課程教育提出的必然要求。

近幾年來，越來越多的教育專家和學者投身于大學數(shù)學課程思政的研究，并且取得了豐富的成果。［3-15］有的以大學數(shù)學課程群為整體研究對象（包括：高等數(shù)學、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計）。如：李廣玉等從大學數(shù)學課程思政構建的現(xiàn)狀及必要性出發(fā)，給出了較為全面的大學數(shù)學課程思政構建路徑；［6］孫和軍等強調了課程思政映射和融入點的案例。［7］有的從其他數(shù)學類課程入手。如：楊威等人以線性代數(shù)為例，從課程思政頂層體系設計理念出發(fā)，給出了課程思政的具體案例；［8］王璐、蘇玉華等人就如何將課程思政植入數(shù)學建模和概率論與數(shù)理統(tǒng)計等課程中進行了深入的探討。［9-10］

對如何在高等數(shù)學中開展課程思政教育，學界現(xiàn)在也有一些研究成果。有的從高等數(shù)學中的某一概念或某一章為例，［11-12］介紹如何開展課程思政教學。

綜上所述，課程思政從開始實施以來，絕大多數(shù)教師從思想意識上已經充分認識到課程思政的重要性。有關高等數(shù)學課程思政的成果正不斷涌現(xiàn)，但這些成果以個別案例的方式闡述高等數(shù)學課程某些知識點的思政點和具體方法為主，對高等數(shù)學課程的特點分析不夠深入透徹，思政點切入時機與融入課程的方法提及較少。

基于此，本文從新工科高等數(shù)學的教學目標、內容及特點出發(fā)，討論高等數(shù)學課程思政的切入方法和融入方式，著重分析如何行之有效地將高等數(shù)學課程與思政相融合，真正做到內容及教法“顯隱結合”。

一 整合思政元素，明晰育人功能

每一門課程都有其自身的特點及育人功能。新工科背景下高等數(shù)學的課程思政，應以高等數(shù)學課程為載體，以學生為主體，根據(jù)工科學生的特點，注重邏輯思辨與探索實踐相結合，匠心筑夢與人文熏陶相結合，多角度、多手段、多方式地挖掘和融入思政元素。以思政為引領，完善育人方式和內容，實現(xiàn)新工科背景下鑄魂育人、立德樹人的目標。根據(jù)育人功能將高等數(shù)學課程中所融入和呈現(xiàn)的思政元素進行歸類，大體分為四類（圖1），做到在課程思政的過程中育人功能盡量具體、全面、多樣化。

圖1 高等數(shù)學課程中思政元素的類別及育人功能

圖1 的四類思政元素都可通過高等數(shù)學課程的教學過程挖掘、融入和呈現(xiàn)。思政元素的挖掘、融入和呈現(xiàn)方式是落實課程思政的關鍵，難度大的是還要做到顯隱結合，令教師感到非常困難。顯隱結合就是將顯性教育方式與隱性教育方式相結合，發(fā)揮協(xié)同效應，相輔相成，實現(xiàn)優(yōu)勢互補，使思政教育真正達到內化于學生的心靈、外化于學生行為的目的。［15］對高等數(shù)學課程來說，傳授學生高等數(shù)學課程的數(shù)學知識、培養(yǎng)學生的數(shù)學能力是本課程的顯性教育目的，而通過本課程的學習進行思政教育實現(xiàn)價值塑造是隱性教育目的。再者，思政教育的方式又存在顯性的教育方式（如愛國主義宣講或標語等）和隱性的教育方式（如情景式的電影片段等）。顯隱結合可以從兩個角度來進行：教學內容的顯隱結合（即隱性元素顯化、顯性元素隱形），教學手段的顯隱結合（即顯性思政方式與隱性思政方式結合使用）。

二 挖掘隱性元素，顯化課程思政

挖掘出高等數(shù)學課程蘊含的隱性思政元素（即課程中自帶的思政元素），并將其顯化。高等數(shù)學為學生培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)抽象思維和邏輯思維能力。高等數(shù)學課程思政中有一個重要的部分：練思維——培養(yǎng)學生的科學思維和科學方法，這就是高等數(shù)學課程蘊含的也是自帶的隱性思政元素。教師可以采用顯化訓練的方式，通過高等數(shù)學的學習強化學生哲學思辨、邏輯思辨能力。

高等數(shù)學是由17 世紀后微積分學、較深入的代數(shù)學、幾何學以及它們之間的交叉內容所形成的一門基礎學科。本科教育中的高等數(shù)學課程包括極限、微積分、微分方程、空間解析幾何與級數(shù)。高等數(shù)學具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性。哲學是對世界基本和普遍問題研究的學科，是關于世界觀的理論體系。自古以來許多數(shù)學家同時也是哲學家（如亞里士多德、笛卡爾、萊布尼茨等），也有許多數(shù)學問題由哲學家提出（如“羅素悖論”“芝諾悖論”等），這些哲學問題推動了數(shù)學的發(fā)展。無窮的概念引進數(shù)學領域，是高等數(shù)學的重要特征?，F(xiàn)實世界的各種事物都以有限的形式出現(xiàn)，無窮是對它們的共同本質的一種概括。教師應將哲學與數(shù)學緊密聯(lián)系起來，深入挖掘高等數(shù)學課程中所蘊含的哲學思想并將其顯化，使之相互融通。如：在極限過程、級數(shù)求和過程中，變量的變化是無止境的，極限值及級數(shù)的和就是量變到質變的唯物辯證思想的體現(xiàn)；積分中所采用的“大化小”“常代變”“整體與局部”都是對立統(tǒng)一的辯證關系的體現(xiàn)；所有公式在舉一反三的運用中（如兩個重要極限的一般形式、微分公式和積分公式的一般形式等）以及實際應用問題（如定積分應用、重積分應用等）都需要強調“抓住本質與核心”；在結論或定理分析及推導過程中往往會經歷“直觀觀察—猜測—抽象—驗證”這一過程。這些都屬于高等數(shù)學課程內容中所蘊含的辯證唯物主義的哲學思想或科學方法的具體示例，屬于隱性思政元素。

對這一類隱性思政元素，教師在最初幾章的教學中需要將其挖掘出來并顯化，讓學生明白辯證唯物主義思想及科學方法在高等數(shù)學中如散落星辰般無處不在。但是隨著顯化次數(shù)的累加，到了第六章以后，教師可以讓學生自己去挖掘、總結并歸類，以考驗學生是否已經具備了正確的哲學觀、辯證思維和科學方法。

三 優(yōu)化內容教法，實現(xiàn)思政融合

課程思政實施過程中最大的困難是課程與思政元素的融合。思政方式是否合理，教師講解是否順暢，學生是否樂于接受，課程與思政是“水乳交融”還是“兩層皮”，是很多教師面臨的難題。這就需要根據(jù)課程內容、專業(yè)需求及學生特點，挖掘思政元素，搜集時政案例，尋找思政契機，融入思政元素，優(yōu)化甚至重組課程內容，以實現(xiàn)課程與思政相融合。

（一）顯隱結合育情懷，樹價值

科學精神可以通過數(shù)學史和數(shù)學家的故事傳達，科學方法可以在高等數(shù)學的證明、計算、講解中逐步培養(yǎng)和深入，然而高等數(shù)學課程思政中最難也最重要的是育情懷和樹價值。如何在數(shù)學課堂中進行愛國主義教育，既不影響課程的邏輯順序及進程，又能讓學生欣然接受，是筆者在實踐教學中一直不斷嘗試改進的重點，并且獲得了一些經驗體會。

家國情懷的植入可以用隱性方式，用視頻或圖片呈現(xiàn)。從歷史發(fā)展及實際應用出發(fā)，通過實證案例、實際背景或現(xiàn)象，結合數(shù)學史和數(shù)學家的故事，情境式或問題牽引式引入，以故事形式呈現(xiàn)家國情懷和科學精神。

如介紹導數(shù)的定義時，以介紹中國高鐵偉大成就的視頻開啟課程，教師并不需要特意說什么，從視頻中學生自然能感受中國高鐵的迅猛發(fā)展及在世界的影響力，民族自豪感自會油然而生，利用視頻可以很自然地進行愛國主義熏陶。視頻播放完之后，教師只需根據(jù)視頻內容，如由車廂內電子顯示屏顯示的當前速度引導學生關注瞬時速度問題，由高鐵快速通過彎道的畫面引導學生注意高鐵快速轉彎時所要關注的行進路線的切線問題，自然完成從育情懷到課程內容的過渡。在講解定積分應用時，從蘇軾和李清照贊海棠的詩詞入手，用優(yōu)美的圖片展示中國古典園林建筑中常用的十字海棠型的窗欞、地鋪及門洞等，引導學生聯(lián)想日常生活中常見的十字海棠型的造景或物品，再過渡到十字海棠圖形的面積問題，在弘揚傳統(tǒng)文化的同時也做到人文科學與自然科學的融合，同時也培養(yǎng)學生將實際問題抽象簡化為數(shù)學問題的能力。在講解可降階的高階微分方程時，利用天問一號的發(fā)射視頻引入第二宇宙速度的模型，順便介紹中國航天事業(yè)的輝煌成就，該部分內容處于課堂教學的拓展應用環(huán)節(jié)，教師不用擔心插入視頻影響課程的連貫性。其實，學生在經過一個多小時的緊張學習和持續(xù)的邏輯思辨之后，觀看視頻恰好能起到放松心情、調節(jié)課堂氛圍的作用。在應用“大化小、常代變、近似和、求極限”的方法計算艦載機著艦的滑行距離時，選用中國遼寧號航母艦載機殲-15 著艦的視頻簡單介紹中國航海飛行技術的發(fā)展現(xiàn)狀，讓學生了解艦載機著艦的難度及阻攔索的重要性。讓學生在鞏固定積分定義的同時，了解我國的軍事發(fā)展現(xiàn)狀，了解自強自立發(fā)展科技的重要性，培育工科學生的科技報國之心。

這種具有實際背景、思政元素且與課程內容相關的視頻或圖片，能夠很好地契合“00 后”學生的喜好。愛國主義的教育或科學精神的傳遞會很自然，學生很容易受圖片或視頻氛圍的感染，油然而生愛國之心，從而達到育人目標。所以，播放圖片或視頻之后，教師并不需要特意提及或過分強調愛國主義和科學精神。重點要放在如何將所展示的圖片及視頻內容與課程內容盡量做到銜接自然，完成思政與課程內容的融合與過渡，通過優(yōu)化課程內容達到立德樹人的目標。

（二）加強數(shù)學軟件的使用，增強學生應用數(shù)學的能力

借助數(shù)學軟件如Mathematica、Matlab或GeoGebra展示動圖，幫助學生理解幾何圖形的結構（如空間解析幾何部分的各種二次曲面的空間圖形）或者引導學生觀察、猜測結論，理解定義或定理的幾何意義（如導數(shù)的幾何意義、微分中值定理的結論和幾何意義）。有時候需要調整知識講解流程，教師需要熟練利用數(shù)學軟件優(yōu)化教法。這種方式比傳統(tǒng)的講述方式更能培養(yǎng)學生的獨立思考能力和抽象能力。由于教師在教學中大量使用了數(shù)學軟件，也能讓學生認識到數(shù)學軟件的重要性，對工科學生來說也是將數(shù)學用起來的重要手段。所以教師不僅可以使用數(shù)學軟件幫助學生理解課程知識，還可以通過課后探究任務讓學生掌握一些數(shù)學軟件的使用方法，或者利用計算機語言編程解決一些問題。如講完定積分定義之后，可以要求學生編程計算曲邊梯形的面積，［11］讓學生掌握應用計算機語言解決數(shù)學問題，通過改變分割點的賦值自己體會曲邊梯形計算中所蘊含的有限與無限、直與曲、大與小的辯證統(tǒng)一關系，實現(xiàn)知識傳授、能力培養(yǎng)、價值塑造三位一體的育人目標。

（三）“P+H”方式重構課程內容，多種思政元素相融合

在高等數(shù)學的教學過程中，常采用以問題為牽引的教學方式，這種方式貫穿高等數(shù)學的教學始末。而數(shù)學中問題的產生要么有實際應用背景，要么有歷史淵源。所以，將問題與相關背景結合，一方面更能吸引學生，另一方面能讓學生了解概念、方法形成的歷史及問題產生的背景。這種方法更利于工科類學生在實際中運用數(shù)學知識，并進行創(chuàng)新。

但是國內傳統(tǒng)的高等數(shù)學教材大多舍棄了概念和方法形成的歷史過程，以過于形式化的表現(xiàn)和邏輯過程進行敘述。有學者意識到這種方法的不足，提出了一些方法來彌補現(xiàn)在教材的缺陷。如葉建兵在HPM 視角（HPM 通常指數(shù)學史與數(shù)學教育關系）的指引下，給出了一種數(shù)學史驅動的常數(shù)項級數(shù)教學設計。［12］

本文提出“P+H”方式［即：以問題（problem）為牽引，結合數(shù)學史（history of mathematics）的方式］，主要用于處理概念及方法的形成過程，通常需要改變傳統(tǒng)教材講述流程及教學方式。通過這種方式，思政元素與教學內容能夠融合形成完整的教學體系，思政元素不突兀，教學內容更符合數(shù)學發(fā)展規(guī)律及認知規(guī)律。以對弧長曲線積分的定義引入部分為例來闡述如何運用“P+H”方法。常規(guī)的教材或課堂講述是直接引入曲線型構件的質量，獲得一類乘積的和式的極限式，與其他類積分進行比較從而定義出對弧長的曲線積分。而“P+H”方式是從問題出發(fā)，結合數(shù)學史，引出最速降線問題，再求最速降線上小球滑落的時間，獲得一類乘積的和式的極限式，再將其與其他類積分形式作比較，引導學生猜測是否是新的積分類。在這個過程中揭示了事物之間的普遍聯(lián)系，傳達了科學家的質疑精神、鉆研精神，并通過中國古代建筑的例子彰顯中國古建筑的科學性。實現(xiàn)了課程知識、科學精神、唯物主義哲學與民族自豪感的融合。具體過程如下：

首先提出問題：小球沿哪條曲線能最快到達A點？（圖2）

圖2 小球的運動路線

從直觀上看，直線最短，應該沿直線最快（引導學生從直觀圖像大膽猜測——科學方法）。然而有時候看似是“捷徑”卻未必最快。選正確的路才是真正最快的（告誡學生踏實做人，不走所謂的“捷徑”）。

意大利科學家伽利略在1630 年發(fā)現(xiàn)沿直線并不是最快的。他猜測是圓弧或拋物線，但并不是。那么沿什么曲線小球下降最快呢？

約翰·伯努利于1696 年向科學界發(fā)布“挑戰(zhàn)書”，再次提出這個問題［體現(xiàn)科學家的批判精神、鉆研精神（PPT 展示見圖3）］。

圖3 最速降線問題

這就是數(shù)學史上著名的最速降線問題。最速降線問題吸引了當時很多最著名數(shù)學家的關注。牛頓、萊布尼茲以及伯努利兄弟都給出了正確的結果，答案就是一段旋輪線（即擺線）。其實，惠更斯在1673 年就研究過這一重要的曲線，只是沒有想到這還是一條最速降線?；莞寡芯繑[線時發(fā)現(xiàn)，當小球沿擺線的不同高度滑落到最低點所用時間都相等，并由此發(fā)明了擺鐘。所以擺線又稱等時曲線。故而，最速降線就是擺線，也稱旋輪線，也是等時曲線。這就是事物多面性的體現(xiàn)（馬克思主義哲學觀點：事物之間的普遍聯(lián)系，事物的多面性）。

最速降線在建筑中也有應用。我國古建筑中的“大屋頂”，如北京故宮的屋檐就是最速降線。按照這樣的設計，在夏日暴雨時，可以使落在屋頂上的雨水以最快的速度流走，從而對房屋起到保護的作用（彰顯中國古代建筑的科學性，增強民族自豪感。數(shù)學在實際中的應用案例）。

然后利用元素法計算小球沿最速降線滑落到A點所用時間（實現(xiàn)到課程內容的自然過渡）。用“大化小、常代變、近似和、求極限”的方法獲得小球滑落時間為一類乘積的和式的極限。將其與課前探究問題（請學生歸納所學過的直線型物體、平面型物體及體型物體的質量的計算方法及計算式，并求曲線型構件的質量）的結果進行比較，引導學生發(fā)現(xiàn)異同。再與其他類積分進行比較（PPT 展示見圖4），引導學生產生疑問：這是否是一種新的積分，如果是，應該如何定義？從而引出對弧長曲線積分的定義。

圖4 知識點對比

整個教學過程大約10~15 分鐘，但涉及的思政元素是多樣的，課程內容與思政元素的融合也非常完美。最速降線的奇妙性和多面性結合課件中動圖展示非常吸引學生，有利于形成新知識，更有利于學生對多種積分類進行分析和應用。教師在講解時出于講述的完整性，可以不將括號內的思政元素講出來，但是可以在PPT 中呈現(xiàn)出來。這樣既不破壞講述的完整性，也讓學生清晰認識到科學精神、科學方法的具體體現(xiàn)。教師在這部分的教學采用課前探究的方式，先給出問題引導學生歸納和思考，再在課堂教學中采用“P+H“方式對曲線積分的定義引入部分進行處理。通過提出問題、解決問題、發(fā)現(xiàn)新問題的方式進行教材內容優(yōu)化甚至重組，形成新的內容和教學方法。這種方式更有利于培養(yǎng)工科學生所需要具備的觀察事物的敏銳眼光、探究事物的鉆研精神及抽象問題解決實際問題的能力。

結語

本文圍繞高等數(shù)學課程內容，以新時代新工科人才需求為目標，探討如何使高等數(shù)學課程內容與思政相融合，如何在新工科背景下培養(yǎng)高素質的具有國際競爭力的工科人才所應具備的數(shù)學能力、素養(yǎng)及價值觀。

本文將高等數(shù)學課程中所能融入的思政元素按照育人功能進行了分類，明確了高等數(shù)學課程思政的內容與功能，做到有的放矢。文中針對課程本身所蘊含的思政元素（隱性思政元素，如科學方法與哲學思想）給出了隱性元素顯化的方式，以達到訓練學生的邏輯思維、培養(yǎng)學生科學素養(yǎng)的目的。提出了優(yōu)化課程內容和教法（隱性方式植入家國情懷和價值塑造），以多個案例說明如何達到思政內容與課程的自然銜接；提出加強數(shù)學軟件的使用，幫助學生理解概念的同時增強學生應用數(shù)學的能力；提出“P+H”方式重構概念與方法，并用一個詳細的案例闡述如何使用“P+H”方法，達到多種元素相融合，真實呈現(xiàn)高等數(shù)學課程思政是如何做到“如鹽在水，春風化雨，無處不在”的。

學生對一門課程學習的關注度和參與度是否得到提高，是評價所用教學方法是否真正有效的依據(jù)。本文所提出的方法是經過教學實踐獲得的，是切實可行的。從學生評教、問卷調查及同行評價結果來看，具有良好的教學效果反饋。教師進行課程思政時更自然，課堂氛圍更融洽，學生對數(shù)學的學習興趣也有所提高。課程思政方法合適，學生愿意接受，才能對學生起到潛移默化的影響。當然，對學生思想影響的效果體現(xiàn)不是幾次課或一門課程能夠完成的，學生還會受到多方面的影響。但每一位教師都應該盡力發(fā)揮本課程該承擔的相關價值塑造的作用，才能實現(xiàn)全程育人、全方位育人，達到立德樹人的目的。