數(shù)學(xué)家波利亞指出：“數(shù)學(xué)是一門激發(fā)思維的學(xué)科，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心目標(biāo)之一是學(xué)會(huì)更加聰明地思考。”《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》倡導(dǎo)學(xué)生“積極思考”，而在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）中，這一理念已調(diào)整為“獨(dú)立思考”。這一改變反映出新課標(biāo)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的調(diào)整，意味著獨(dú)立思考能更好地提升學(xué)生綜合能力，從而發(fā)展他們的數(shù)學(xué)思維。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考能力的意義

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，獨(dú)立思考能力不僅驅(qū)動(dòng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行深度剖析，還是促使數(shù)學(xué)概念、公理和定理從信息的表層向認(rèn)知深處遷移的重要內(nèi)驅(qū)力。經(jīng)由這一過(guò)程，學(xué)生將知識(shí)元素逐步內(nèi)化，實(shí)現(xiàn)從表面感知到深層理解的躍升，從而達(dá)到認(rèn)知層次的改變。在數(shù)學(xué)思維的構(gòu)建中，獨(dú)立思考能力推動(dòng)邏輯思維從線性推理向復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造邁進(jìn)，使抽象思維從具體事物的剝離轉(zhuǎn)向高階概念的模型化。當(dāng)學(xué)生開啟自主探索之旅時(shí)，新穎的數(shù)學(xué)觀念、獨(dú)特的解題思路和創(chuàng)造性的思維模式便會(huì)迸發(fā)出來(lái)。這些元素為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)注入了活力，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)中展現(xiàn)出非凡的創(chuàng)造潛力，推動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)體系在持續(xù)更新中走向更高層次。面對(duì)問題情境，學(xué)生借助獨(dú)立思考能力解析條件、剖析結(jié)構(gòu)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納、反證推理或類比思考等方法，發(fā)掘隱藏的邏輯關(guān)系，揭示問題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。這個(gè)重構(gòu)的過(guò)程，使其在解題中形成更加全面的思維視角，探尋最佳解決路徑的同時(shí)，提升了應(yīng)對(duì)復(fù)雜問題的能力。獨(dú)立思考不僅是一種思維工具，還是一種將邏輯推理、批判性思維與創(chuàng)新能力融為一體的深層認(rèn)知方式，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)注入持久的驅(qū)動(dòng)力，也為學(xué)生的未來(lái)發(fā)展拓展更加廣闊的空間。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考能力的策略

（一）情境誘思，開啟思維之 “門”

廣義的“真實(shí)情境”可以用“真實(shí)性+情境”來(lái)理解，而數(shù)學(xué)課堂中的“真實(shí)情境”還具備獨(dú)特的學(xué)科特性。新課標(biāo)視角下，義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生具備“三會(huì)”的核心素養(yǎng)：“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界?！痹趯?shí)踐中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)具體的數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考問題背后的數(shù)學(xué)原理，同時(shí)要注重調(diào)動(dòng)學(xué)生情感并激發(fā)思維，避免一成不變的單一模式，使每一個(gè)問題情境都成為學(xué)生思維突破的契機(jī)。

在二年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)度單位”的教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)多層次的情境引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，逐步實(shí)現(xiàn)對(duì)長(zhǎng)度單位的獨(dú)立認(rèn)識(shí)。課堂開始時(shí)，教師設(shè)計(jì)了一項(xiàng)測(cè)量任務(wù)，以學(xué)生熟悉的課桌為測(cè)量對(duì)象，形成“經(jīng)驗(yàn)情境”，鼓勵(lì)學(xué)生自由選擇測(cè)量方式。一些學(xué)生使用手掌丈量，一些學(xué)生用手臂測(cè)量，結(jié)果分別為五拃、三拃等不同數(shù)據(jù)。教師適時(shí)提出問題：“為什么測(cè)量同一張課桌，結(jié)果卻不同？”這一問題引發(fā)學(xué)生思考測(cè)量方法的不一致性，引發(fā)其對(duì)測(cè)量工具與標(biāo)準(zhǔn)的疑問。學(xué)生開始反思手掌或手臂作為測(cè)量單位的不穩(wěn)定性，為統(tǒng)一長(zhǎng)度單位的探討作鋪墊。

接著，教師展示不同學(xué)生的手掌尺寸，形成“預(yù)設(shè)性情境”，引導(dǎo)學(xué)生觀察并討論手掌長(zhǎng)短不同帶來(lái)的測(cè)量誤差。通過(guò)這一環(huán)節(jié)，學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到僅憑個(gè)體差異測(cè)量長(zhǎng)度會(huì)出現(xiàn)問題，教師順勢(shì)引入“統(tǒng)一單位”的概念。教師拿出一把帶有刻度的尺子，引領(lǐng)學(xué)生仔細(xì)觀察刻度的準(zhǔn)確性，并與手掌丈量的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。學(xué)生進(jìn)行比較后，逐步體會(huì)到統(tǒng)一的長(zhǎng)度單位在測(cè)量中的作用，認(rèn)識(shí)到標(biāo)準(zhǔn)化測(cè)量的必要性。為了鞏固學(xué)生對(duì)長(zhǎng)度單位的認(rèn)識(shí)，教師設(shè)計(jì)“實(shí)驗(yàn)情境”，引導(dǎo)學(xué)生觀察并猜測(cè)日常物體（如鉛筆、便利貼）的長(zhǎng)度是否接近一厘米。學(xué)生利用尺子對(duì)猜測(cè)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，在反復(fù)測(cè)量與猜測(cè)中，學(xué)生逐步建立起對(duì)厘米這一單位的具體感知。教師不斷引導(dǎo)反饋，幫助學(xué)生在實(shí)踐中反思測(cè)量的準(zhǔn)確性，深化對(duì)標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度單位的理解。隨著學(xué)習(xí)的深入，教師介紹“米”這一單位，借助米尺或繩子等工具，啟發(fā)學(xué)生測(cè)量教室的長(zhǎng)度，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行記錄比較。教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考厘米與米之間的關(guān)系，進(jìn)行單位換算，幫助學(xué)生在具體情境中掌握長(zhǎng)度的不同單位及其轉(zhuǎn)化進(jìn)率。課堂最后，教師運(yùn)用“生活情境”設(shè)計(jì)一個(gè)問題，要求學(xué)生判斷旗桿的長(zhǎng)度是13厘米還是13米。學(xué)生結(jié)合對(duì)厘米與米的認(rèn)識(shí)，借助生活經(jīng)驗(yàn)分析旗桿的實(shí)際高度，得出旗桿為13米的合理結(jié)論。在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，充分體現(xiàn)了情境引導(dǎo)對(duì)培養(yǎng)獨(dú)立思考能力的作用。整個(gè)過(guò)程通過(guò)從生活經(jīng)驗(yàn)到科學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的引導(dǎo)，層層遞進(jìn)，使學(xué)生在思維探究中逐步深化對(duì)長(zhǎng)度單位的理解。

（二）小組促思，匯聚思維之 “流”

在數(shù)學(xué)課堂上，小組內(nèi)成員的多樣性使得不同的觀點(diǎn)和思維方式交織在一起，形成一個(gè)富有張力的思維環(huán)境。學(xué)生集體討論環(huán)節(jié)，能夠在交流中碰撞出新的思維火花，發(fā)現(xiàn)自己未曾考慮到的解決路徑。多元化的小組互動(dòng)不僅加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解程度，還促使其對(duì)概念進(jìn)行多維度的建構(gòu)。思維的“流動(dòng)”搭建了一個(gè)靈活開放的學(xué)習(xí)平臺(tái)，學(xué)生在不斷挑戰(zhàn)自我的過(guò)程中突破認(rèn)知局限，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的新維度。在實(shí)踐中，教師需要依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)、學(xué)習(xí)能力等因素進(jìn)行異質(zhì)分組，保證每組學(xué)生的多樣性，并設(shè)計(jì)一系列小組任務(wù)。

以四年級(jí)上冊(cè)“角的度量”為例，依據(jù)學(xué)生過(guò)往的學(xué)習(xí)表現(xiàn)、課堂反應(yīng)等評(píng)估其認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)習(xí)能力，將思維敏捷、邏輯清晰、善于操作、空間想象能力強(qiáng)等不同特點(diǎn)的學(xué)生混合編成小組，形成多樣化的小組結(jié)構(gòu)（如表1所示），這種多樣化的小組互動(dòng)使學(xué)生在交流合作中不斷拓寬認(rèn)知邊界，形成多維度的思維流動(dòng)，從而更深刻地掌握角的度量與應(yīng)用。

（三）問題導(dǎo)思，點(diǎn)亮思維之 “燈”

從認(rèn)知心理學(xué)角度來(lái)看，問題是激發(fā)思維的關(guān)鍵，當(dāng)問題呈現(xiàn)在學(xué)生面前時(shí)，會(huì)引發(fā)學(xué)生頭腦中的認(rèn)知沖突，促使學(xué)生主動(dòng)調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)儲(chǔ)備，努力在新舊知識(shí)之間建立聯(lián)系。教師要構(gòu)建系統(tǒng)的問題架構(gòu)，依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的內(nèi)在邏輯，從基礎(chǔ)概念問題逐步向深度拓展問題推進(jìn)，形成連貫的“問題鏈”。從而確保問題的精準(zhǔn)度，明確指向數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)，避免模糊性。

以三年級(jí)下冊(cè)“面積”中的“面積和面積單位”為例，教師設(shè)計(jì)以下問題鏈：觀察物體表面大?。ǔ醪礁兄矫娣忾]圖形大小比較的方法（探索方法）→利用學(xué)具確定合理比較面積的方式（深化理解）→估量面積單位與實(shí)際物體面積（聯(lián)系實(shí)際）→剖析長(zhǎng)度單位和面積單位的本質(zhì)區(qū)別（概念深化）。

首先，教師展示一塊大板與一塊小板，引導(dǎo)學(xué)生觀察兩者的表面并提出問題：“這些物體的表面有什么不同？”接著，教師展示兩個(gè)平面封閉圖形進(jìn)一步追問：“如何比較這些圖形的面積？”教師帶領(lǐng)學(xué)生操作并引入“重疊比較”和“數(shù)方格比較”的方法。運(yùn)用重疊法，學(xué)生直觀感受到兩個(gè)圖形的面積差異，而數(shù)方格比較則幫助學(xué)生了解面積的度量單位。當(dāng)學(xué)生掌握了面積比較的基本方法后，教師利用學(xué)具并提出問題：“我們?nèi)绾卫脤W(xué)具來(lái)比較兩個(gè)圖形的面積？”學(xué)生使用邊長(zhǎng)1厘米的正方形、等邊三角形等學(xué)具，填充圖形來(lái)進(jìn)行面積比較。然后，教師展示不同面積單位（如平方厘米、平方分米、平方米）之間的關(guān)系，提出問題：“我們知道了不同的面積單位，如何與實(shí)際物體的面積聯(lián)系起來(lái)？”教師利用課本中的圖示和實(shí)際物體（如1平方厘米、1平方分米的學(xué)具）幫助學(xué)生進(jìn)行估算，學(xué)生聯(lián)系自己的日常生活嘗試?yán)斫饷娣e單位的實(shí)際含義。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生深入思考長(zhǎng)度單位與面積單位的區(qū)別。教師展示1厘米與1平方厘米、1分米與1平方分米、1米與1平方米的關(guān)系，提出問題：“你能區(qū)分長(zhǎng)度單位與面積單位嗎？它們有何不同？”學(xué)生在討論中發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)度單位是用于一維度量的，而面積單位是二維的度量。學(xué)生從具體的測(cè)量操作中，逐步理解了面積的概念，并能清晰區(qū)分這兩類不同的單位。

（四）課堂翻轉(zhuǎn)，揚(yáng)起思維之 “帆”

一般而言，課堂教學(xué)過(guò)程分為“知識(shí)傳授”和“知識(shí)內(nèi)化”兩個(gè)階段。在傳統(tǒng)教學(xué)模式中，教師在課堂上講解知識(shí)，學(xué)生在課后通過(guò)作業(yè)進(jìn)行內(nèi)化。而翻轉(zhuǎn)課堂作為一種新的教學(xué)模式，其核心理念在于將傳統(tǒng)課堂中“知識(shí)傳授”和“知識(shí)內(nèi)化”的順序顛倒。教師在采用翻轉(zhuǎn)課堂這一模式時(shí)精心設(shè)計(jì)具備引導(dǎo)性的課前學(xué)習(xí)材料，促進(jìn)學(xué)生自主思考。在預(yù)習(xí)材料中，教師設(shè)置懸而未解的問題，并要求學(xué)生在觀看或閱讀后自我總結(jié)思考，提出自己的疑問。課上鼓勵(lì)學(xué)生提出不同的解題思路，并在討論中深挖問題的本質(zhì)，同時(shí)根據(jù)學(xué)生的反饋，及時(shí)提供個(gè)性化指導(dǎo)，幫助學(xué)生突破思維的疑點(diǎn)。

以六年級(jí)下冊(cè)“圓柱和圓錐”中的“圓柱”為例，課前學(xué)習(xí)階段，教師要對(duì)圓柱基本概念進(jìn)行介紹，如底面、側(cè)面和高的構(gòu)成特征。同時(shí)，教師在材料中設(shè)置一系列啟發(fā)性問題：“圓柱側(cè)面展開后會(huì)呈現(xiàn)什么形狀？圓柱底面與高的關(guān)系如何影響其體積？”學(xué)生在課前觀看視頻或閱讀資料，并進(jìn)行自我思考、記錄疑問，形成初步的理解框架。為確保自主學(xué)習(xí)的效果，教師讓學(xué)生總結(jié)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)并提出自己的疑問或發(fā)現(xiàn)的知識(shí)盲點(diǎn)，形成課前準(zhǔn)備清單。課堂開始時(shí)，教師從學(xué)生的課前準(zhǔn)備入手，鼓勵(lì)其交流各自的思考成果。針對(duì)“圓柱側(cè)面展開后是什么形狀”的問題，教師引導(dǎo)學(xué)生利用手邊的材料進(jìn)行操作，將長(zhǎng)方形紙圍繞圓柱模型，并切割展開觀察。通過(guò)這種動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)側(cè)面展開為一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)等于圓柱底面的周長(zhǎng)，寬等于圓柱的高。教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出側(cè)面積計(jì)算公式：側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高，即 2πrh，其中 r是底面半徑，h是高。

接著，教師引導(dǎo)學(xué)生思考如何計(jì)算圓柱的表面積，要求其在小組內(nèi)合作，嘗試將兩個(gè)底面的面積與側(cè)面積相加，學(xué)生通過(guò)討論得出表面積的表達(dá)方式為：表面積=2πrh+2πr2。教師鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)實(shí)際測(cè)量和計(jì)算驗(yàn)證公式的正確性，發(fā)現(xiàn)公式與測(cè)量結(jié)果的一致性，并反思公式推導(dǎo)中可能存在的誤差。在體積計(jì)算環(huán)節(jié)中，教師讓學(xué)生將圓柱底面分割成多個(gè)小扇形，并通過(guò)拼接讓其無(wú)限接近長(zhǎng)方體。學(xué)生動(dòng)手操作認(rèn)識(shí)到隨著扇形越來(lái)越細(xì)，拼接體越來(lái)越接近長(zhǎng)方體，得出體積公式：體積=底面積×高=πr2h。整個(gè)課堂中，教師注重引導(dǎo)學(xué)生自主操作、提出問題并解決問題，使學(xué)生在探究中不斷理解應(yīng)用概念。學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、合作討論和自主思考，完成了從知識(shí)的初步認(rèn)識(shí)到內(nèi)化應(yīng)用的全過(guò)程。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，獨(dú)立思考能力的培養(yǎng)不僅僅關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，更影響其綜合思維的發(fā)展。數(shù)學(xué)作為一門邏輯性強(qiáng)、抽象性高的學(xué)科，通過(guò)獨(dú)立思考，學(xué)生能夠在不斷探索中構(gòu)建起內(nèi)在的認(rèn)知體系，實(shí)現(xiàn)從感知到理解的深度躍遷。創(chuàng)設(shè)情境使學(xué)生在真實(shí)情境中激發(fā)思維潛力，小組合作則通過(guò)多樣化的互動(dòng)促成思維碰撞；“問題鏈”的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在問題中不斷打破認(rèn)知壁壘，獲得思維的自我發(fā)展；翻轉(zhuǎn)課堂則引領(lǐng)學(xué)生從被動(dòng)接收轉(zhuǎn)向主動(dòng)探索，將知識(shí)傳授與內(nèi)化有機(jī)融合，使學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐與深層討論中，全面掌握數(shù)學(xué)概念與方法。