王玲書,陳若彤

(河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,河北 石家莊 050061)

0 引 言

擴(kuò)散是自然界中普遍存在的現(xiàn)象,擴(kuò)散可以使種群的個(gè)體遷出和遷入,增加或降低當(dāng)?shù)胤N群的密度,這對(duì)理解種群的進(jìn)化具有重要意義。在生態(tài)系統(tǒng)中,捕食關(guān)系是種群之間相互作用的最普遍、最重要的形式之一。捕食系統(tǒng)是描述自然環(huán)境中捕食者以食餌為食的物種間關(guān)系的模型,捕食者或食餌具有擴(kuò)散的捕食模型已經(jīng)被許多學(xué)者所研究(參見文獻(xiàn)[1-3])。在文獻(xiàn)[1]中,作者研究了食餌具有擴(kuò)散的捕食者-食餌模型的穩(wěn)定性,并討論了由捕食者的妊娠期引起的時(shí)滯對(duì)模型穩(wěn)定性的影響。

ANDERSON和MAY在文獻(xiàn)[4]中首次將種群模型和傳染病模型結(jié)合起來提出了一個(gè)食餌染病的生態(tài)-流行病模型以來,生態(tài)-流行病模型已經(jīng)被許多學(xué)者所研究(如文獻(xiàn)[5-8])。由于傳染病可以在捕食者之間、食餌之間或捕食者和食餌之間傳播,從而使得生態(tài)-流行病模型有著豐富的研究內(nèi)容。文獻(xiàn)[5]假設(shè)疾病僅在捕食者之間傳播,研究了下列生態(tài)-流行病模型:

(1)

其中:x(t)、S(t)和I(t)分別表示食餌、易感捕食者和染病捕食者種群在時(shí)刻t的密度。文獻(xiàn)[5]討論了模型(1)的非負(fù)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性,給出了正平點(diǎn)處存在Hopf分支的充分條件。

基于文獻(xiàn)[1]和[5],本文研究一個(gè)食餌具有擴(kuò)散和捕食者染病的捕食-被捕食病模型,并討論由捕食者種群的妊娠期引起的時(shí)滯對(duì)種群動(dòng)力學(xué)性態(tài)的影響。為此,我們研究下列生態(tài)-流行病模型

(2)

其中:x1(t)和x2(t)分別表示斑塊1和斑塊2中食餌在時(shí)刻t的密度;S(t)和I(t)分別表示斑塊1中易感捕食者和染病捕食者在時(shí)刻t的密度.參數(shù)r1、a11、a12、a21、d12、d21、r2、d1、d2和β均為正常數(shù),其中r1表示斑塊1中食餌的內(nèi)稟增長率,a11為斑塊1中食餌的種內(nèi)競爭率,a12表示捕食者種群的捕獲率,a21/a12表示捕食者種群的生育轉(zhuǎn)化率,d12和d21表示食餌種群在兩個(gè)斑塊之間的擴(kuò)散率,r2是斑塊2中食餌種群的死亡率,d1和d2分別表示易感捕食者和染病捕食者的死亡率,β為疾病的傳染率;τ≥0表示捕食者種群的妊娠期所引起的時(shí)滯。模型(2)假設(shè)生態(tài)系統(tǒng)由兩個(gè)孤立的斑塊組成,食餌種群在兩個(gè)斑塊間擴(kuò)散而捕食者種群僅在斑塊1中捕食食餌。

本文將基于以下初始條件來討論模型(2)的穩(wěn)定性

(3)

其中φi(θ)和φi(θ)(i=1,2)均為[-τ,0]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)。由泛函微分方程的基本理論[9]可知,模型(2)存在滿足初始條件(3)的唯一正解。

1 無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

模型(2)總存在一個(gè)平凡平衡點(diǎn)EO(0,0,0,0)。當(dāng)r1(r2+d21)>r2d12時(shí),模型(2)有一個(gè)捕食者滅絕平衡點(diǎn)E1(x′1,x′2,0,0),其中

若下列條件成立:

進(jìn)一步地,當(dāng)下列條件成立時(shí):

(λ+d2-βS+)[λ3+p2λ2+p1λ+p0+(q2λ2+q1λ+q0)e-λτ]=0 。

(4)

顯然,方程(4)有一個(gè)實(shí)根λ=-(d2-βS+)=-d2(1-R1)。方程(4)的其他根由下列方程決定

λ3+p2λ2+p1λ+p0+(q2λ2+q1λ+q0)e-λτ=0 ,

(5)

其中

當(dāng)τ=0時(shí),方程(5)變?yōu)?/p>

λ3+(p2+q2)λ2+(p1+q1)λ+p0+q0=0 。

(6)

直接計(jì)算可得

假設(shè)方程(6)有純虛根iv(v>0),則有

v6+h2v4+h1v2+h0=0 ,

(7)

其中

當(dāng)h0>0且h1>0時(shí),方程(7)的根均具有負(fù)實(shí)部,因此由Hurwitz判定定理可知,E2是局部漸近穩(wěn)定的。當(dāng)h1>0且h0<0時(shí),方程(7)存在一個(gè)正實(shí)根v0,相應(yīng)地,方程(6)存在一對(duì)純虛根±iv0,直接計(jì)算可得

計(jì)算方程(5)關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)可得

直接計(jì)算有

綜上分析,由文獻(xiàn)[9]可以得到下面結(jié)論:

定理1對(duì)模型(2),設(shè)R0>1,則有下面結(jié)論:

(ii)如果R1>1,則E2是不穩(wěn)定的。

證明 :設(shè)(x1(t),x2(t),S(t),I(t))為系統(tǒng)(2)的滿足初始條件(3)的任一正解,構(gòu)造函數(shù)

沿模型(2)的解計(jì)算V21(t)的導(dǎo)數(shù)可得

定義

直接計(jì)算可得

2 共存平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

λ4+P3λ3+P2λ2+P1λ+P0+(Q3λ3+Q2λ2+Q1λ)e-λτ=0,

(8)

其中

當(dāng)τ=0時(shí),方程(8)變?yōu)?/p>

λ4+(P3+Q3)λ3+(P2+Q2)λ2+(P1+Q1)λ+P0=0 。

直接計(jì)算可得

Δ4=P0Δ3。

若Δ2>0,Δ3>0,則有Δ4>0.由Routh-Hurwitz判斷準(zhǔn)則可得,平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的。

如果λ=±iω(ω>0)是方程(8)的一對(duì)純虛根,將λ=iω代入式(8),可得下列等式

ω8+H3ω6+H2ω4+H1ω2+H0=0 ,

(9)

其中

設(shè)z=ω2,方程(9)變?yōu)?/p>

(10)

計(jì)算方程(8)關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)可得

直接計(jì)算有

綜上分析,由文獻(xiàn)[10]可以得到下面結(jié)論:

定理3對(duì)于模型(2),假設(shè)R1>1,Δ2>0和Δ3>0,我們可以得到下面結(jié)論:

定理4假設(shè)R1>1,則當(dāng)下列條件成立時(shí)

證明:設(shè)(x1(t),x2(t),S(t),I(t))為模型(2)滿足初始條件(3)的任一正解。構(gòu)造函數(shù)

定義

直接計(jì)算可得

解限定在M上,由模型(2)的第3個(gè)方程可得

注1對(duì)于模型(2),用同樣的方法可以證明:

(ⅰ)當(dāng)r2d12>r1(r2+d21)時(shí),模型(2)的平凡平衡點(diǎn)E0(0,0,0,0)是全局漸近穩(wěn)定的,即捕食者和食餌種群都將滅絕;當(dāng)r2d12

(ⅱ)設(shè)r2d121時(shí),E1是不穩(wěn)定的。

注2本文研究了一個(gè)食餌種群具有擴(kuò)散、捕食者種群染病的生態(tài)流行病模型的穩(wěn)定性,并討論了由捕食者種群的妊娠期引起的時(shí)滯對(duì)種群增長的影響。通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函,我們分別建立了保證模型(2)的無病平衡點(diǎn)和共存平衡點(diǎn)全局吸引的充分條件。