楊偉東 ，馬千朝，劉志越，王媛媛，朱東彬

(1.河北工業(yè)大學機械工程學院，天津 300103；2.國家技術創(chuàng)新方法與實施工具工程技術研究中心，天津 300401)

三維打印(three-dimensional printing，3DP)工藝的通用文件格式為STL(stereolithography)模型，由大量離散的三角面片逼近實體模型，在逼近過程中存在一定的誤差，只能近似表達實體模型的幾何信息.在打印前需要對STL 模型進行分層，從而得到二維的輪廓信息，而在分層過程中會產(chǎn)生階梯效應.

為了減小階梯誤差、提高打印精度，國內外學者針對影響階梯誤差的主要因素(成型方向和分層厚度)進行了大量研究.Li 等[1]使用基于梯度的優(yōu)化算法實現(xiàn)分層方向和結構拓撲的優(yōu)化.文獻[2-5]通過建立多目標優(yōu)化模型，使用改進的啟發(fā)式算法最小化階梯誤差得到成型方向的最優(yōu)解.羅楠等[6]針對復雜模型提出基于最小二乘的主成分分析算法，以階梯誤差最小的方向作為分層方向.文獻[7-8]直接對計算機輔助設計(computer aided design，CAD)模型進行分層，避免了STL 模型在擬合CAD 模型時產(chǎn)生的誤差.文獻[9-10]以三角面片特征建立的數(shù)學模型為分層依據(jù)，通過自適應分層算法弱化階梯效應.

3DP 工藝中黏結劑引起的滲透誤差同樣是影響打印精度的一個重要因素.基于3DP 工藝的打印樣件x 和y 方向尺寸誤差較小，而z 方向尺寸誤差較大[11].馬旭龍[12]針對黏結劑在砂床中滲透形成的最小單元體在x、y、z 方向上的各項異性誤差，給出了黏結劑滲透誤差的計算公式.楊偉東等[13]將3DP 工藝中黏結劑滲透誤差在二維平面分解為xy 方向和z 方向兩個分量，假設這兩個方向上誤差分量互不影響，通過打印實驗標定了兩個方向的滲透誤差分量，以此對打印模型進行補償.

對于STL 模型分層產(chǎn)生的階梯誤差，國內外相關的研究比較成熟，并且對于3DP 工藝黏結劑滲透誤差，也有學者給出了滲透誤差的計算和補償方法.但針對3DP 工藝中階梯誤差與黏結劑滲透誤差的相互作用，現(xiàn)有的研究相對欠缺.本文通過研究階梯誤差和黏結劑滲透誤差的相互作用關系，提出了將這兩項誤差進行合成的計算公式.

1 3DP工藝原理性誤差研究

1.1 階梯誤差研究

STL 模型的分層平面如圖1 所示，本文將法向量方向與成型方向夾角大于90°的三角面片稱為向下三角面片，其對應分層所產(chǎn)生的階梯誤差稱為正階梯誤差；法向量方向與成型方向夾角小于90°的三角面片稱為向上三角面片，其對應分層所產(chǎn)生的階梯誤差稱為負階梯誤差.

圖1 二維分層平面Fig.1 Two-dimensional layered plane

1.2 黏結劑滲透仿真數(shù)學模型

1.2.1 黏結劑滲透形態(tài)仿真實驗

本文以Gao 等[14]建立的多層滲透仿真模型為基礎，使用COMSOL 軟件建立黏結劑從噴出到滲入砂床的數(shù)學模型，在二維平面進行黏結劑滲透仿真實驗.將由噴嘴噴射黏結劑撞擊砂床位置起始層和最終層的最外側連線作為三角面片的二維投影，即模型的理想打印輪廓，將黏結劑滲透后黏結砂粒形成的實際邊界作為打印輪廓.

為了建立黏結劑滲透仿真模型，采用圓形潤濕壁代替實際砂粒形狀，砂床的模擬采用砂粒平均半徑r為71.4 μm，砂床的孔隙率為0.395 4.陣列式噴頭的噴嘴形狀和尺寸由某廠家提供，噴嘴為倒梯形，其上底為 54 μm、下底為 50 μm、高度為 50 μm.在COMSOL 軟件兩相流模塊中設置1 個噴頭，用于在二維平面模擬陣列式噴頭，該噴頭包含28 個噴嘴，噴嘴間距為76 μm.

使用呋喃樹脂作為黏結劑，其物性參數(shù)如表1 所示.為了準確模擬黏結劑液滴在砂層中滲透，黏結劑與砂粒的接觸角應小于π/4.呋喃樹脂與砂粒之間接觸角約為31.7°，因此在邊界條件中設置接觸角為π/6.滲透仿真模型邊界條件設置如表2 所示，其中PP0 為周期性變化的壓力脈沖信號.

表1 呋喃樹脂物性參數(shù)Tab.1 Furan resin property parameters

表2 仿真模型邊界條件Tab.2 Boundary conditions of simulation model

理想情況下仿真中不同三角面片二維投影對應黏結劑的滲透形態(tài)如圖2 所示.圖2(a)為向上三角面片二維投影仿真實驗的理想滲透形態(tài)，圖2(b)為向下三角面片二維投影仿真實驗的理想滲透形態(tài).灰色部分為黏結劑滲透后砂粒的黏結區(qū)域，z 為成型方向，F(xiàn)1、F2為三角面片的法向量方向.

圖2 三角面片二維投影理想仿真結果Fig.2 Ideal simulation results for the two-dimensional projection of triangular patches

1.2.2 滲透形態(tài)仿真實驗分析

為了對模型的理想打印輪廓和實際打印輪廓的位置誤差進行定量分析，通過控制噴嘴噴射行為進行不同角度三角面片二維投影的滲透仿真實驗，其中向上三角面片的部分仿真結果如圖3 所示.以三角面片二維投影與水平面所夾銳角為理想斜面角度，兩側斜面角度均為25°的情況如圖3(a)所示，左右兩側斜面角度分別為65°和55°的情況如圖3(b)所示.圖中紅色區(qū)域為空氣，藍色區(qū)域為黏結劑液滴，白色圓形區(qū)域為砂粒結構.

圖3 不同角度滲透仿真Fig.3 Simulation of infiltration at different angles

通過測量不同角度三角面片二維投影的滲透仿真結果，得到理想打印輪廓與打印輪廓的位置誤差，結果如表3 所示.以三角面片法向量方向向上的位置誤差為正值，反向為負值.其中理想斜面角度為0°時，其向上三角面片無位置誤差，其向下三角面片的位置誤差為z 方向的滲透誤差；理想斜面角度為90°時，其三角面片的位置誤差為xy 方向的滲透誤差.

將仿真實驗中的理想斜面角度轉換為三角面片法向量方向與成型方向夾角.當夾角在0°～90°范圍為向上三角面片，夾角角度增加，負階梯誤差在數(shù)值上逐漸增大，位置誤差也逐漸增大，可以看出滲透誤差對階梯誤差具有補償作用.當理想斜面角度為25°時，向上三角面片的位置誤差為負值，體現(xiàn)了負階梯誤差對三角面片位置誤差的影響.當夾角在90°～180°范圍為向下三角面片，夾角角度增加，正階梯誤差逐漸增大，位置誤差也逐漸增大，此時階梯誤差與正滲透誤差相互疊加.

通過分析理想打印輪廓與實際打印輪廓之間的位置誤差，考慮階梯誤差與滲透誤差對打印精度的綜合影響，本文將二者相互作用的合成誤差稱為與三角面片法向量方向相關的三角面片偏移誤差，即模型打印后三角面片的理論位置與其實際位置之間的位置誤差.

2 三角面片偏移誤差公式的建立

2.1 三角面片偏移誤差公式原理

不考慮階梯誤差與滲透誤差之間的相互作用時，斜孔的三角面片打印產(chǎn)生的階梯誤差和滲透誤差在二維平面如圖4、圖5 所示.設定z 軸正方向為成型方向，f 為三角面片法向量方向.由于黏結滲透形成的最小單元體在打印平面近似為圓形，認為黏結劑的滲透誤差在水平方向上近似相同，記為 dxy，z 方向的滲透誤差分量記為 dz.h 為分層厚度，θ為三角面片法向量方向與成型方向的夾角.圖中灰色直線為三角面片的二維投影，紅色虛線為實際的打印輪廓.定義紅色虛線與灰色實線之間的距離為三角面片二維投影和實際打印輪廓之間的偏移誤差Δ，Δ1為向下三角面片的偏移誤差，Δ2為向上三角面片的偏移誤差.

圖5 向上三角面片偏移誤差二維示意Fig.5 Two-dimensional schematic diagram of the upward triangular patch offset error

三角面片偏移誤差Δ的計算可分為兩類.

(1) 當0<θ≤π/2時，以向上三角面片的偏移誤差進行計算.從圖5 中可以看出xy 方向滲透誤差分量 dxy使斜面產(chǎn)生了偏移，而階梯誤差對實際打印邊界并無影響.因此該偏移誤差為

(2) 當π/2<θ<π 時，以向下三角面片的偏移誤差進行計算.從圖4 可以看出階梯誤差和滲透誤差都對斜面的偏移產(chǎn)生了影響，同時考慮xy 方向和z 方向滲透誤差計算得到的偏移誤差為

在不考慮階梯誤差和滲透誤差之間的相互作用時，三角面片的偏移誤差公式為

通過滲透仿真實驗可知階梯誤差和黏結劑的滲透誤差之間存在相互作用.因此，式(1)不能作為三角面片偏移誤差的計算公式，需要進一步考慮這兩項誤差的相互作用.

由于階梯誤差與三角面片的法向量方向和分層厚度有關，分層厚度為z 方向上的分量.考慮相互作用的向上三角面片偏移誤差公式等效為Δ(θ)=dxysinθ?d1cosθ；考慮相互作用的向下三角面片偏移誤差公式等效為Δ(θ)=dxysinθ?d2cosθ.因此，階梯誤差和滲透誤差相互作用的三角面片偏移誤差公式為

式中：d1為向上三角面片中負階梯誤差與滲透誤差之間的相互作用系數(shù)；d2為向下三角面片中正階梯誤差與滲透誤差之間的相互作用系數(shù).d1、d2為無量綱的變量.

2.2 三角面片偏移誤差公式參數(shù)標定實驗

通過測量不同法向量方向三角面片的偏移誤差進而標定式(2)中的未知參數(shù)，設計樣件模型如圖6所示.樣件外觀為長方體，尺寸大小為600 mm×140 mm×10 mm，長方體內部有多個角度的平行斜面，斜面與水平方向夾角依次為90°、80°、70°、60°、50°、40°、30°、20°.圖6(a)為樣件1 的STL 模型，圖6(b)為樣件2 的STL 模型.如圖6 所示，樣件1 棱上表面和棱下表面為一組平行斜面，樣件2 孔上表面和孔下表面為一組平行斜面.通過鏡像翻轉模型驗證三角面片偏移誤差只與法向量方向和成型方向的夾角相關，得到樣件1 和樣件2 的鏡像模型為樣件3 和樣件4.

圖6 參數(shù)標定實驗樣件STL模型Fig.6 STL model of the experimental sample for parameter calibration

4 個樣件采用某廠家設備按照層厚為0.3 mm、z方向為成型方向進行打印，得到打印樣件如圖7(a)所示.采用形創(chuàng)公司的HandySCAN3D 手持式三維激光掃描儀掃描所有打印樣件，得到樣件點云模型，以樣件1 的掃描模型為例，點云模型修復后的STL模型如圖7(b)所示.

圖7 樣件掃描模型Fig.7 Model of the sample by scan

測量樣件1、樣件3 打印模型與設計模型內部棱上表面和棱下表面的位置誤差，棱上表面的位置誤差為向上三角面片的偏移誤差，棱下表面的位置誤差為向下三角面片的偏移誤差；測量樣件2、樣件4 打印模型與設計模型內部孔上表面和孔下表面的位置誤差，孔上表面的位置誤差為向下三角面片的偏移誤差，孔下表面的位置誤差為向上三角面片的偏移誤差.

使用三維模型設計軟件Magics 對掃描模型與設計模型進行位置擬合，觀察表面的尺寸誤差分布.樣件的掃描模型與設計模型的誤差對比如圖8(a)～(d)所示，圖8(e)為顏色信息對應的誤差大小.圖中樣件1 與樣件3 的三角面片偏移誤差變化趨勢一致，樣件2 與樣件4 的三角面片偏移誤差變化也有良好的一致性，打印所得砂型法向量方向與成型方向夾角相同的三角面片的偏移誤差近似相同.向上三角面片偏移誤差隨著斜面與水平面夾角角度的減小而減?。幌蛳氯敲嫫普`差隨著斜面與水平面夾角角度的減小而增大.尺寸誤差分布規(guī)律符合滲透形態(tài)仿真實驗的結果分析.

圖8 尺寸誤差信息Fig.8 Variation in dimensional error

使用三維檢測與計量軟件Geomagic Control X測量樣件掃描模型與設計模型的三角面片偏移誤差.以三角面片所在平面與水平面所夾銳角α為測量角度，測量結果如表4 所示.

表4 樣件掃描模型三角面片偏移誤差Tab.4 Triangular patch offset error of the sample scanning model

根據(jù)表4 給出的三角面片偏移誤差實際測量值對式(2)中的未知參數(shù)進行標定，首先將表中的測量角度α轉化為三角面片法向量方向與成型方向的夾角θ，對于θ＝90°的三角面片偏移誤差記為 dxy，θ＝180°的三角面片偏移誤差記為 dz.本文假設不同角度的向上或向下三角面片在打印時滲透誤差與階梯誤差作用系數(shù)相同，然后將其他角度三角面片偏移誤差數(shù)據(jù)代入式(2)中基于最小二乘法計算 d1和 d2兩個參數(shù).計算得到 d1的最大值為 0.052 7，最小值為-0.022 9，d2的最大值為0.392 5，最小值為0.289 6.計算所得的未知參數(shù) d1、d2數(shù)值都在一定范圍內變化.

取所有樣件相互作用系數(shù)的平均值標定公式中未知參數(shù).通過計算得到的4 個未知參數(shù)分別為：dxy＝0.160 8 mm；dz＝0.595 9 mm；d1＝0.007 2；d2＝0.347 6.將此4 個參數(shù)代入式(2)中得到標定參數(shù)后的三角面片偏移誤差公式，可計算不同角度θ的三角面片偏移誤差.

將表4 中的不同測量角度帶入標定參數(shù)后的公式，由式(2)計算的三角面片偏移誤差與實測三角面片偏移誤差對比如圖9 所示.從圖中可以看出，式(2)計算得到的誤差和實測誤差變化趨勢一致.為了進一步說明該公式預測三角面片偏移誤差的有效性，對三角面片偏移誤差公式計算值與實際測量值之差的絕對值進行分析.計算誤差在0.100 mm 范圍內，最大值為0.060 mm，最小值為0.002 mm，平均變化率在1.7%左右，可滿足工藝的需求.

圖9 參數(shù)標定實驗公式計算值和實際測量值對比Fig.9 Comparison between the calculated value of the parameter calibration experimental formula and the actual measured values

3 三角面片偏移誤差公式實驗驗證

為驗證標定參數(shù)后的式(2)計算其他角度三角面片偏移誤差的有效性，分別將樣件1 和樣件2 的模型繞y 軸順時針旋轉5°，樣件3 和樣件4 的模型繞y 軸逆時針旋轉5°.模型旋轉后的斜面與水平面所夾銳角角度依次為 85°、75°、65°、55°、45°、35°、25°、15°.仍設置層厚為0.3 mm，z 方向為成型方向進行打印.使用形創(chuàng)公司的HandySCAN3D 掃描打印樣件，部分樣件的掃描模型如圖10 所示.

圖10 旋轉后樣件掃描模型Fig.10 Sample scanning model after rotation

與參數(shù)標定實驗相同，使用Geomagic Control X測量樣件掃描模型與設計模型的三角面片偏移誤差.將兩批次打印實驗的測量數(shù)據(jù)匯總，與已標定參數(shù)式(2)計算的三角面片偏移誤差進行比較.兩次實驗結果匯總的曲線如圖11 所示.

圖11 實驗匯總公式計算值和實際測量值對比Fig.11 Comparison between the calculated value of the experimental summary formula and the actual measured values

三角面片偏移誤差公式的計算誤差最大值為0.060 mm，最小值為0.002 mm，平均變化率為1.8%；通過式(2)計算得到的三角面片偏移誤差與實際測量的三角面片偏移誤差變化趨勢大體相同，具有良好的一致性.因此已標定的參數(shù)式(2)可作為三角面片偏移誤差的計算公式.

4 結 論

(1) 通過黏結劑滲透仿真實驗，發(fā)現(xiàn)階梯誤差與滲透誤差存在相互作用，將這兩項誤差合成為三角面片的偏移誤差.

(2) 推導出了基于三角面片法向量方向和成型方向夾角的三角面片偏移誤差公式，用于計算砂型打印后產(chǎn)生的尺寸偏差.

(3) 經(jīng)過實驗驗證，三角面片偏移誤差的公式計算值與實際測量值一致性較好，表明了該公式的有效性.