張俊紅 ，李哲華，林杰威，于洋洋，戴胡偉

(1.天津大學(xué)先進(jìn)內(nèi)燃動(dòng)力全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300354；2.天津仁愛(ài)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，天津 301636)

為提升工作效率和推重比，航空發(fā)動(dòng)機(jī)工作溫度以每年19 ℃的速率迅速上升，這給航空發(fā)動(dòng)機(jī)熱端部件的可靠性提出了越來(lái)越高的要求.燃燒室是航空發(fā)動(dòng)機(jī)的關(guān)鍵熱端部件，服役中啟停工況下的非均勻溫度場(chǎng)載荷會(huì)引起熱應(yīng)力，由此產(chǎn)生的疲勞損傷以及穩(wěn)態(tài)工況下熱應(yīng)力長(zhǎng)期保持引起的蠕變損傷的共同作用是引起燃燒室開(kāi)裂失效的主要原因.哈氏合金X 是一種固溶強(qiáng)化的鎳基合金，在高溫下強(qiáng)度高且具有優(yōu)異的加工性能以及抗蠕變、抗氧化和抗腐蝕性能[1-2]，被廣泛用作民航發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室基體材料.

為探索蠕變-疲勞作用下的哈氏合金X 裂紋擴(kuò)展行為與損傷機(jī)理，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了大量實(shí)驗(yàn)研究.Hour 等[3]觀察到在650 ℃下，哈氏合金X 的疲勞和1 min 保載的蠕變-疲勞裂紋均表現(xiàn)為穿晶模式增長(zhǎng)；Lee 等[4]通過(guò)對(duì)拉伸試樣的斷裂面的評(píng)估，確定了哈氏合金X 在低循環(huán)疲勞下，隨著溫度和保載時(shí)間的增加，斷裂模式逐漸從穿晶斷裂轉(zhuǎn)向沿晶斷裂，導(dǎo)致壽命縮短.Yoon 等[5]觀察到760 ℃和870 ℃下哈氏合金X 的疲勞裂紋開(kāi)始為穿晶模式，后以穿晶和沿晶混合模式生長(zhǎng).

可通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法對(duì)不同載荷條件下的宏觀裂紋擴(kuò)展速率及材料微觀小裂紋、孔洞微觀演變行為進(jìn)行測(cè)試表征，但是在裂紋擴(kuò)展過(guò)程中，疲勞載荷、蠕變載荷對(duì)裂紋擴(kuò)展過(guò)程中損傷累積的貢獻(xiàn)未得到量化.為此，學(xué)者們提出了結(jié)合有限元和損傷力學(xué)的裂紋擴(kuò)展過(guò)程數(shù)值計(jì)算方法.Wen 等[6]提出了考慮材料中孔洞的聚集和微裂紋發(fā)展的蠕變損傷模型，并使用單元失效技術(shù)在316 H 不銹鋼的裂紋擴(kuò)展模擬中得到驗(yàn)證；Wu 等[7]使用內(nèi)聚力模型模擬了21-6-9 奧氏體不銹鋼二維平面的裂紋擴(kuò)展；Ahmad 等[8]基于擴(kuò)展有限單元法建立了蠕變斷裂起始和裂紋擴(kuò)展模型.

建立準(zhǔn)確的損傷模型是進(jìn)行裂紋擴(kuò)展有限元模擬的關(guān)鍵.Hosseini 等[9]提出了一種考慮應(yīng)力變化影響的蠕變損傷模型，并應(yīng)用于1CrMoV 的裂紋擴(kuò)展模擬中，但該模型需要擬合的參數(shù)過(guò)多，可能導(dǎo)致誤差較大.Haque 等[10]使用SIN-HYPERBOLIC 模型模擬了648.9～982.2 ℃(1 200～1 800 ℉)下哈氏合金X的蠕變裂紋損傷累積過(guò)程，但該模型中參數(shù)φ 的擬合受應(yīng)力影響，實(shí)際應(yīng)用存在局限性.Liu 等[11]對(duì)哈氏合金X 進(jìn)行了816 ℃下的蠕變-疲勞裂紋擴(kuò)展模擬，并量化了蠕變、疲勞和相互作用的損傷貢獻(xiàn)，但其蠕變損傷公式僅考慮了蠕變第Ⅱ階段.Tang 等[12]對(duì)G115 的蠕變-疲勞裂紋擴(kuò)展模擬以及Lai 等[13]對(duì)蠕變裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)估算同樣僅考慮了蠕變第Ⅱ階段.Jing 等[14]對(duì)P91 以及Wang 等[15]對(duì)UNS N10003的裂紋擴(kuò)展模擬忽略了蠕變第Ⅰ階段.

從上述研究來(lái)看，現(xiàn)有的研究中主要考慮蠕變第Ⅱ階段對(duì)蠕變-疲勞損傷的影響，但有研究表明，鎳基合金的蠕變第Ⅲ階段占比通常較大[16]，并且在不同溫度、載荷條件下，蠕變各階段的占比也會(huì)有所不同，蠕變各階段對(duì)損傷累積的貢獻(xiàn)有待進(jìn)一步探討.本文推導(dǎo)了考慮蠕變3 個(gè)階段的蠕變本構(gòu)模型，進(jìn)行了哈氏合金X 在650 ℃蠕變-疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程數(shù)值計(jì)算，分析了純?nèi)渥儣l件下蠕變不同階段對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響，量化了蠕變-疲勞交互作用下蠕變、疲勞和交互損傷占比，并討論了蠕變-疲勞交互作用下載荷幅值、保載時(shí)間等因素對(duì)損傷占比的影響.本研究對(duì)于指導(dǎo)服役條件下的燃燒室疲勞強(qiáng)度設(shè)計(jì)具有較大的工程意義，對(duì)于揭示哈氏合金X 在蠕變-疲勞載荷交互作用下的損傷機(jī)理具有較大的科學(xué)意義.

1 蠕變-疲勞損傷模型

1.1 蠕變本構(gòu)模型

如圖1[17]所示，材料的蠕變過(guò)程可分為初始蠕變階段(第Ⅰ階段)、穩(wěn)定蠕變階段(第Ⅱ階段)和加速蠕變階段(第Ⅲ階段).蠕變第Ⅰ階段本構(gòu)模型可以用應(yīng)變硬化定律[18]來(lái)表示，公式定義為

圖1 典型金屬材料蠕變曲線(xiàn)Fig.1 Creep curve of typical metal materials

式中：A1、n1和p 為材料參數(shù)；εc,pri和εc,tol分別為第Ⅰ階段蠕變應(yīng)變和總?cè)渥儜?yīng)變；σeq為等效應(yīng)力.

工程上主要考慮蠕變第Ⅱ階段對(duì)損傷累積的影響，可通過(guò)諾頓冪律蠕變模型描述，其公式為

式中：εc,sec為第Ⅱ階段蠕變應(yīng)變；A 和n 為材料參數(shù).

結(jié)合式(1)和(2)，得到考慮了蠕變第Ⅰ和第Ⅱ階段的蠕變本構(gòu)模型，具體如下：

式中：εc,ij為蠕變應(yīng)變張量；Sij為偏應(yīng)力張量.

Liu 等[19]提出了考慮到蠕變第Ⅱ和第Ⅲ階段的多軸蠕變本構(gòu)模型，該模型基于微觀力學(xué)，可以顯著改善損傷的定位和網(wǎng)格的獨(dú)立性，具體如下：

式中：σ1為最大主應(yīng)力；ωc為蠕變損傷.式(4)中的(σ1/σeq)2項(xiàng)會(huì)導(dǎo)致模擬過(guò)程中裂紋尖端的應(yīng)力過(guò)度松弛，Wen 等[6]考慮到空腔增長(zhǎng)和微裂縫的相互作用，提出了一個(gè)新的蠕變構(gòu)成方程以解決此問(wèn)題，定義如下：

結(jié)合式(3)和(5)，得到考慮了蠕變3 個(gè)階段的蠕變本構(gòu)模型，表達(dá)式如下：

本文分別使用考慮第Ⅱ階段的蠕變本構(gòu)(式(2))，考慮第Ⅰ、第Ⅱ階段的蠕變本構(gòu)(式(3))，考慮第Ⅱ、第Ⅲ階段的蠕變本構(gòu)(式(4))，考慮第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ階段蠕變本構(gòu)(式(6))描述蠕變過(guò)程，對(duì)比分析蠕變不同階段對(duì)哈氏合金X 蠕變-疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程中損傷累積的影響.

1.2 蠕變損傷模型

本文使用延性耗竭模型計(jì)算蠕變損傷.蠕變延性耗竭模型認(rèn)為，當(dāng)材料的累積應(yīng)變達(dá)到該狀態(tài)下的蠕變延性時(shí)材料失效[20].在本研究中，蠕變損傷率通過(guò)蠕變應(yīng)變率和蠕變延性計(jì)算，定義如下：

式中：εf為單軸蠕變延性；σm為靜水應(yīng)力.

通過(guò)積分得到蠕變損傷計(jì)算式為

式中th為保載時(shí)間.

1.3 疲勞損傷模型

基于Lemaitre 等[21]的損傷方程和Ostergren[22]的凈拉伸滯后能方程，得到低循環(huán)疲勞中的損傷累積模型為

式中：ωf為疲勞損傷；Nf為失效循環(huán)數(shù)；σmax和Δεp分別為每加載循環(huán)中的最大應(yīng)力和塑性應(yīng)變范圍；q、C1和β 為材料參數(shù).

考慮到材料循環(huán)硬化或軟化的影響，塑性循環(huán)應(yīng)變范圍是由循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系得出，即

式中：σΔ 和σmin分別為應(yīng)力范圍和最小應(yīng)力；K′和n′為從低循環(huán)疲勞試驗(yàn)中獲得的材料參數(shù).

此外，Lemaitre[23]提出了一個(gè)三軸系數(shù)來(lái)描述多軸應(yīng)力對(duì)疲勞損傷累積的重要影響，定義為

式中ν 是泊松比.在單軸加載情況下Rν= 1.

因此，考慮到應(yīng)力三軸性的影響，低循環(huán)疲勞損傷累積公式表示為

1.4 蠕變-疲勞交互損傷模型

裂紋擴(kuò)展在蠕變-疲勞交互載荷作用下，由于其蠕變孔洞和疲勞裂紋的相互促進(jìn)作用，將純?nèi)渥儞p傷和純疲勞損傷線(xiàn)性相加不足以表示真實(shí)的蠕變-疲勞交互損傷情況.本研究使用修正的Skelton 等[24]的蠕變損傷和疲勞損傷非線(xiàn)性疊加總損傷方程描述蠕變-疲勞的交互，具體如下：

式中ω為總損傷值.

2 有限元仿真

2.1 有限元模型

根據(jù)《ASTM E2760-19》[25]，本研究使用W＝30 mm、初始裂紋長(zhǎng)度a0＝10.5 mm 的CT 試樣進(jìn)行計(jì)算，具體的幾何圖形和尺寸如圖2 所示.為了減少計(jì)算時(shí)間、簡(jiǎn)化模型，考慮載荷及幾何的對(duì)稱(chēng)性，使用1/4 的CT 試樣三維模型進(jìn)行計(jì)算模擬.

圖2 CT試樣的幾何形狀與尺寸(單位：mm)Fig.2 Geometry and dimensions of the CT specimen used for simulation(unit：mm)

在裂紋尖端部位使用尺寸為100μm×100μm 的細(xì)化網(wǎng)格，其他區(qū)域使用較大網(wǎng)格，并用梯形單元連接過(guò)渡；使用八節(jié)點(diǎn)三維減縮積分單元(C3D8R)進(jìn)行網(wǎng)格劃分，如圖3 所示，模型網(wǎng)格總數(shù)為21 180.在裂紋擴(kuò)展平面上使用對(duì)稱(chēng)邊界條件約束；在垂直于厚度方向和裂紋擴(kuò)展平面的一面上使用對(duì)稱(chēng)邊界條件.在CT 試樣孔中心設(shè)置了一個(gè)參考點(diǎn)，通過(guò)多點(diǎn)約束(MPC)將其參考點(diǎn)與孔的內(nèi)表面一側(cè)進(jìn)行耦合，對(duì)參考點(diǎn)施加載荷，模擬實(shí)際裂紋增長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)中銷(xiāo)軸對(duì)CT 試樣的加載過(guò)程.對(duì)參考點(diǎn)施加的循環(huán)載荷如圖4 所示，加載和卸載時(shí)間均為固定的0.5 s.定義梯形波的載荷比為

圖3 CT試樣有限元模型Fig.3 Finite element model of CT specimen

圖4 循環(huán)加載示意Fig.4 Schematic of the applied cyclic loading

式中Pmin和Pmax分別為最小載荷和最大載荷.

2.2 數(shù)值模擬方法以及參數(shù)

本研究中裂紋增長(zhǎng)模擬由ABAQUS 實(shí)現(xiàn)，使用CREEP 子程序定義蠕變變形本構(gòu)關(guān)系，通過(guò)基于Fortran 語(yǔ)言的二次開(kāi)發(fā)USDFLD 子程序計(jì)算蠕變損傷、疲勞損傷和蠕變-疲勞交互損傷.在有限元模擬加載循環(huán)過(guò)程中，對(duì)計(jì)算域中每個(gè)單元損傷、循環(huán)損傷值進(jìn)行累積計(jì)算，當(dāng)累積損傷達(dá)到1 時(shí)，認(rèn)為該單元失效，單元所處位置產(chǎn)生裂紋，并通過(guò)控制場(chǎng)變量刪除該單元，描述前序加載循環(huán)中裂紋演變對(duì)下一加載循環(huán)中應(yīng)力及損傷累積的影響.所刪除單元區(qū)域即為裂紋擴(kuò)展區(qū)域.

本文研究對(duì)象為哈氏合金X，化學(xué)成分見(jiàn)表1.根據(jù)《ISO 6892-1：2016》進(jìn)行650 ℃下的單軸拉伸試驗(yàn)，得到的哈氏合金X 真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)如圖5所示，蠕變參數(shù)A、n、A1、n1和p 由哈氏合金X 在650 ℃下的單軸蠕變?cè)囼?yàn)[26-28]確定.疲勞參數(shù)從哈氏合金X 在相同溫度下的供貨廠商提供的低周疲勞試驗(yàn)中獲得，所有損傷模型的參數(shù)如表2 所示.

表1 哈氏合金X化學(xué)成分Tab.1 Chemical composition of the Hastelloy X

表2 損傷模型材料參數(shù)Tab.2 Material parameters for the damage models

圖5 哈氏合金X 650 ℃下的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)Fig.5 True stress-strain curve of Hastelloy X at 650 ℃

2.3 斷裂力學(xué)參數(shù)

針對(duì)純?nèi)渥?、純疲勞和蠕?疲勞載荷條件，使用與時(shí)間無(wú)關(guān)和與時(shí)間有關(guān)的兩類(lèi)斷裂力學(xué)參數(shù)進(jìn)行分析.由線(xiàn)性彈性理論定義的應(yīng)力強(qiáng)度因子K 包含了試樣的應(yīng)力和幾何信息，純疲勞裂紋擴(kuò)展結(jié)果一般用裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子范圍ΔK 來(lái)表示.在純?nèi)渥兒腿渥?疲勞條件下，ΔK 可用于蠕變脆性材料.根據(jù)《ASTM E2760-19》[25]標(biāo)準(zhǔn)，K 的計(jì)算方法如下：

式中：B、W 和a 分別為CT 試樣的厚度、寬度和裂紋長(zhǎng)度；P 是施加在CT 試樣上的載荷.對(duì)于蠕變韌性材料，一般使用隨時(shí)間變化的參數(shù)Ct,avg，即

式中：ΔVc為每個(gè)載荷周期中保載時(shí)間內(nèi)的蠕變載荷位移；E 和E'分別是彈性模量和有效彈性模量；ν 是泊松比.

3 結(jié)果與討論

3.1 有限元仿真的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提出的本構(gòu)模型、損傷模型和相應(yīng)的材料參數(shù)的準(zhǔn)確性，將哈氏合金X 在650 ℃時(shí)純?nèi)渥?、純疲勞?0 s 保載時(shí)間的蠕變-疲勞交互條件下的有限元分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果[3,26]進(jìn)行對(duì)比，da/dt-Kmax和da/dN-ΔK 的對(duì)比曲線(xiàn)如圖6 所示.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)根據(jù)Paris-power 定律進(jìn)行擬合，如圖6 中的實(shí)線(xiàn)所示，代表著裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展階段.同樣，對(duì)于純?nèi)渥兒?0 s 保持時(shí)間的裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，使用式(23)進(jìn)行擬合.

圖6 裂紋擴(kuò)展速率模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較Fig.6 Comparison between simulation and experimental results of crack propagation rate

式中：f 為加載頻率；C'和m'為擬合參數(shù).Kmax的值在R＝0.05 情況下非常接近ΔK.

圖6(a)顯示了純?nèi)渥兞鸭y擴(kuò)展的da/dt 和Kmax的關(guān)系，進(jìn)行了4 種考慮蠕變不同階段的純?nèi)渥兡M.由圖可知考慮蠕變所有階段的模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最貼合，裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展的數(shù)據(jù)點(diǎn)都在2 倍誤差帶范圍內(nèi)，且模擬結(jié)果顯示了一個(gè)勾狀特征，這是應(yīng)力松弛的結(jié)果[29-30].da/dt 的值最初很大，然后減少，之后隨著Kmax的增加而增加.Saxena[31]和Yokobori[32]對(duì)這一現(xiàn)象的解釋如下：高彈性應(yīng)力最初導(dǎo)致裂紋尖端高速蠕變，隨著時(shí)間的積累，裂紋尖端應(yīng)力的重新分布導(dǎo)致應(yīng)力松弛，蠕變速度下降.同時(shí)，由于Kmax的增加和應(yīng)力松弛隨時(shí)間的增加而減弱，裂紋的擴(kuò)展速度加快.在裂紋擴(kuò)展率的穩(wěn)定增長(zhǎng)階段，考慮蠕變所有階段的模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的斜率基本相同，數(shù)值的大小也很接近.這表明本文第1 節(jié)中提到的本構(gòu)模型(式(6))和損傷模型可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)蠕變裂紋增長(zhǎng).

純疲勞裂紋擴(kuò)展模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖6(b)所示，兩者在裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展階段的數(shù)值大小接近，趨勢(shì)相同.在進(jìn)入裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展階段之前da/dN值猛增，此時(shí)為裂紋萌生階段.整體上看，使用損傷累積模型能夠貼切地模擬疲勞裂紋擴(kuò)展行為.圖6(c)為60 s 保載下的模擬和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，由于考慮三階段的純?nèi)渥兡M結(jié)果最優(yōu)，故使用本構(gòu)模型式(6)進(jìn)行蠕變-疲勞裂紋擴(kuò)展模擬運(yùn)算，模擬結(jié)果處于2 倍誤差帶內(nèi)，且整體趨勢(shì)與實(shí)驗(yàn)擬合線(xiàn)結(jié)果相符.

綜上所述，應(yīng)用本文提出的考慮蠕變?nèi)A段的蠕變本構(gòu)模型和損傷模型進(jìn)行有限元模擬的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有良好的一致性，驗(yàn)證了損傷公式、材料參數(shù)和模擬方法的可靠性，接下來(lái)將繼續(xù)使用它們進(jìn)行裂紋擴(kuò)展的研究分析.

3.2 蠕變階段對(duì)純?nèi)渥兞鸭y擴(kuò)展的影響

考慮蠕變不同階段的裂紋擴(kuò)展模擬結(jié)果如圖7所示.圖7(a)展示了恒定載荷為5 kN、K0為33 MPa·m0.5下的純?nèi)渥兞鸭y擴(kuò)展模擬結(jié)果，整體裂紋擴(kuò)展速度由慢至快分別為僅考慮蠕變第Ⅱ階段，考慮第Ⅰ和第Ⅱ階段，考慮第Ⅱ和第Ⅲ階段，考慮第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 3 個(gè)階段，這印證了蠕變第Ⅰ階段和第Ⅲ階段在圖1 中的斜率均大于蠕變第Ⅱ階段.隨著Kmax的增加，4 種情況的da/dt-Kmax斜率趨于一致，考慮第Ⅰ階段蠕變和其他條件一致，不考慮第Ⅰ階段蠕變的裂紋擴(kuò)展速度越來(lái)越接近，說(shuō)明隨著裂紋的生長(zhǎng)，蠕變第Ⅰ階段對(duì)裂紋擴(kuò)展速率的影響越來(lái)越小.考慮第Ⅲ階段的兩種情況比另兩種蠕變條件的整體速度更大，驗(yàn)證了考慮哈氏合金X 的蠕變第Ⅲ階段的重要性.同時(shí)，從圖中可以觀察到，考慮到蠕變第Ⅲ階段的曲線(xiàn)勾狀特征更加明顯，這是因?yàn)榘渥兊冖箅A段損傷公式中的指數(shù)函數(shù)項(xiàng)包含損傷項(xiàng)exp (ω3/2)，在加載初期由于應(yīng)力集中，損傷增加較快，使得指數(shù)函數(shù)項(xiàng)變大、應(yīng)變率變大，進(jìn)而導(dǎo)致?lián)p傷率變快.圖7(b)和圖7(c)中恒定載荷為6 kN 和7 kN 的模擬結(jié)果規(guī)律也與此類(lèi)似.當(dāng)考慮蠕變第Ⅰ階段結(jié)果和其他條件不變，不考慮第Ⅰ階段的裂紋擴(kuò)展速率非常接近時(shí)，第Ⅰ階段即可近似忽略.第Ⅲ階段同理.

圖7 不同載荷下4 種蠕變階段組合的純?nèi)渥兞鸭y擴(kuò)展模擬結(jié)果(650 ℃)Fig.7 Simulation results of pure creep crack propagation for four combinations of creep stages under different loads(650 ℃)

為了量化各蠕變階段對(duì)蠕變速率的影響，定義了一個(gè)無(wú)量綱變量δ，在相同Kmax值下，將考慮3 個(gè)蠕變階段的裂紋擴(kuò)展速率定義為基準(zhǔn)值，計(jì)算其與其他情況下的模擬結(jié)果之差相對(duì)基準(zhǔn)值的比值，即

式中：vx為考慮蠕變x 階段的裂紋擴(kuò)展速度；v123為考慮蠕變所有階段的裂紋擴(kuò)展速度.通過(guò)分析δx可知考慮蠕變第x 階段相對(duì)考慮蠕變所有階段的預(yù)測(cè)速率差異.如圖8 所示，5 kN 載荷下，隨Kmax的增大，δ2從0.80 減小至0.63；δ12由0.73 減至0.52，后逐漸增大至0.61；δ23由0.08 增至0.23，后減小至0.01，預(yù)測(cè)差異由大到小順序?yàn)椋嚎紤]蠕變第Ⅱ階段，考慮蠕變第Ⅰ、Ⅱ階段，考慮蠕變第Ⅱ、Ⅲ階段.這說(shuō)明蠕變第Ⅱ和Ⅲ階段為裂紋擴(kuò)展模擬中的重要本構(gòu)組成，由未考慮蠕變第Ⅲ階段的兩種模擬情況的預(yù)測(cè)差異的差距先增后減、最后趨于極小值0.02 可知，蠕變第Ⅰ階段的影響在裂紋擴(kuò)展前期相對(duì)后期更大，這是由于裂紋擴(kuò)展后期的應(yīng)力更大，蠕變第Ⅰ階段在蠕變過(guò)程中對(duì)損傷貢獻(xiàn)的占比遠(yuǎn)小于蠕變第Ⅱ和第Ⅲ階段的貢獻(xiàn)占比.同時(shí)可觀察到，裂紋擴(kuò)展前期的各差異值的變化幅度均大于后期，故未考慮完整蠕變階段的裂紋擴(kuò)展速率差異在裂紋擴(kuò)展過(guò)程中是不斷變化的，且前期相對(duì)后期的變化更劇烈.

圖8 5 kN載荷下純?nèi)渥兞鸭y擴(kuò)展δx 與Kmax 關(guān)系Fig.8 δx versus Kmax for pure creep crack propagation under a load of 5 kN

式中n 為δx對(duì)應(yīng)的Kmax的取值個(gè)數(shù).圖9 為3 種載荷下模擬結(jié)果的2、12和23的對(duì)比.隨著載荷增大，2由0.67 減至0.64，說(shuō)明在本研究載荷大小范圍內(nèi)，考慮蠕變第Ⅱ階段的裂紋擴(kuò)展模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性隨載荷增大略有提高；23由0.16 減小至0.07，這說(shuō)明載荷越大，本構(gòu)模型中考慮蠕變第Ⅱ和Ⅲ階段的模擬結(jié)果準(zhǔn)確性越高；12由0.57 增至0.61，即考慮蠕變第Ⅰ、Ⅱ階段在小載荷情況下的準(zhǔn)確性更大，載荷越大，蠕變第Ⅲ階段對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性更加不可忽略.故不同載荷大小下，考慮蠕變不同階段的預(yù)測(cè)差異不同，為了應(yīng)對(duì)多種載荷情況，在本構(gòu)方程中有必要考慮到蠕變所有階段.

圖9 純?nèi)渥兞鸭y擴(kuò)展x 與載荷的關(guān)系Fig.9x versus load for pure creep crack propagation

3.3 載荷幅值對(duì)蠕變-疲勞裂紋擴(kuò)展的影響

由前述可知，損傷模型中考慮蠕變3 個(gè)階段對(duì)模擬結(jié)果的真實(shí)性和準(zhǔn)確性有重要影響，故在接下來(lái)的蠕變-疲勞交互裂紋擴(kuò)展模擬中將使用考慮所有蠕變階段的式(6)進(jìn)行計(jì)算.

為了研究載荷大小對(duì)裂紋擴(kuò)展產(chǎn)生的影響，對(duì)CT 試樣施加保載時(shí)間為60 s，載荷比為0.05，載荷大小分別為5 kN、6 kN、7 kN 的3 種載荷，模擬結(jié)果da/dN 與ΔK 關(guān)系、da/dt 與Ct,avg關(guān)系如圖10 所示.由圖10(a)可知，隨著載荷的增大，蠕變-疲勞裂紋擴(kuò)展速度也增快，同時(shí)，隨著裂紋長(zhǎng)度的增加，裂紋擴(kuò)展速度也隨之增加，圖10(b)也表現(xiàn)出相同的特征.這是由于載荷以及裂紋長(zhǎng)度的增加使得作為驅(qū)動(dòng)力的等效應(yīng)力也增大，導(dǎo)致裂紋擴(kuò)展速度加快.3 種不同載荷大小模擬結(jié)果在裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展階段，循環(huán)相關(guān)和時(shí)間相關(guān)的裂紋擴(kuò)展速率與斷裂力學(xué)參數(shù)的關(guān)系在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖中分別有大致相等的斜率，并且近似處于一條直線(xiàn)上，出現(xiàn)重疊現(xiàn)象，且隨裂紋生長(zhǎng)長(zhǎng)度的增加，重疊現(xiàn)象更加明顯.尤其是da/dt 與Ct,avg關(guān)系圖中的斜率重疊現(xiàn)象更加明顯，擬合該圖中各結(jié)果在裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展階段的結(jié)果曲線(xiàn)，得到在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下的一元一次方程，方程的斜率按載荷由小到大依次為0.53、0.56 和0.56，3 個(gè)斜率大小非常接近，這說(shuō)明其他條件固定時(shí)，這3 種載荷大小的裂紋擴(kuò)展機(jī)理模式是類(lèi)似的.同時(shí)也說(shuō)明，不同載荷大小的Parispower 公式各系數(shù)值近似，可以通用，這簡(jiǎn)化了多余的擬合步驟，有利于實(shí)際工程應(yīng)用.

圖10 蠕變-疲勞裂紋擴(kuò)展速率模擬結(jié)果Fig.10 Simulation results of creep-fatigue crack propagation rate

為了進(jìn)一步分析，將蠕變、疲勞和蠕變-疲勞交互損傷量化，結(jié)果如圖11 所示.交互損傷的計(jì)算式為

圖11 3種載荷的蠕變、疲勞和蠕變-疲勞交互損傷Fig.11 Creep，fatigue，and creep-fatigue interaction damage for three load sizes

式中ωint為蠕變-疲勞交互損傷.3 種載荷情況的裂紋模擬結(jié)果中，蠕變損傷占總損傷的主要部分(大于50%)，其次是交互損傷(小于30%)，疲勞損傷最少(小于20%).隨著施加載荷的增大，裂紋生長(zhǎng)長(zhǎng)度達(dá)到6.5 mm 時(shí)，蠕變損傷從66%增長(zhǎng)到78%，疲勞損傷和交互損傷減小，分別從10%減少到4%、從23%減少到17%.這表明在其他條件不變的前提下，載荷增大將促進(jìn)蠕變損傷，而疲勞損傷和交互損傷將減小.隨著裂紋的增長(zhǎng)，蠕變損傷增加，疲勞損傷和交互損傷減小，Liu 等[11]解釋了這種現(xiàn)象，即隨著裂紋擴(kuò)展，材料的韌性連接減少，且等效應(yīng)力隨裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度的增加而增大，故蠕變損傷增加.同時(shí)，也可以觀察到，裂紋進(jìn)入穩(wěn)定擴(kuò)展階段后，載荷越大，隨裂紋生長(zhǎng)長(zhǎng)度增加，蠕變損傷增大得越早，疲勞和交互損傷也減小得越早，這可能是由于越大的載荷提供的等效應(yīng)力越大，韌性連接減少得越快.裂紋擴(kuò)展到3 mm 之后，所有載荷情況的同一種損傷的變化趨勢(shì)斜率和范圍近似，蠕變損傷的變化范圍均為15%左右，按載荷大小由低到高，疲勞損傷變化分別為8%、9%和6%，交互損傷的變化分別為7%、8%和10%，差距同樣很小，這也許是圖10 兩種裂紋擴(kuò)展速率圖中不同載荷大小結(jié)果近似處于一條直線(xiàn)上的原因.

3.4 載荷比對(duì)蠕變-疲勞裂紋擴(kuò)展的影響

載荷比的大小反映了疲勞加載的劇烈程度，載荷比越大，載荷波中載荷的最大和最小值相差越小，改變載荷比對(duì)蠕變-疲勞裂紋擴(kuò)展中各損傷變化有重要影響.有限元分析中采用了4 種載荷比，分別為0.01、0.05、0.20 和0.50，保載時(shí)間為60 s，不同載荷比的最大載荷設(shè)置均為相同的值8 kN，最小載荷分別為80 N、400 N、1 600 N、4 000 N，計(jì)算結(jié)果如圖12所示.圖12(a)為da/dN-ΔK 圖，4 條曲線(xiàn)的橫縱坐標(biāo)大小各不相同，為了更直觀地對(duì)比4 種載荷比結(jié)果，以Kmax為橫坐標(biāo)，繪制了da/dN-Kmax圖，如圖12(b)所示，由于4 種載荷比的最大載荷相同，故4 條曲線(xiàn)的橫坐標(biāo)相同，可以看出，載荷比越大，裂紋擴(kuò)展速率越慢.這可能是由于增大載荷比，加載和卸載過(guò)程產(chǎn)生的疲勞減小，使得單次循環(huán)引起的損傷累積值減小、裂紋擴(kuò)展速率減慢.同時(shí)可以觀察到圖12(b)中各結(jié)果曲線(xiàn)的斜率隨Kmax的增大而增大，而圖12(c)的da/dt-Ct,avg圖中各結(jié)果基本為一條直線(xiàn)，擬合該圖中各結(jié)果的Paris-power 曲線(xiàn)斜率，按載荷比從小到大的順序分別為0.61、0.61、0.62 和0.64，斜率隨載荷比的增大基本保持不變，這可能是由于載荷比的改變雖然會(huì)影響疲勞損傷累積，但因?yàn)槊恐芷诩虞d中產(chǎn)生疲勞的加載和卸載段時(shí)長(zhǎng)僅占總時(shí)長(zhǎng)的1/60，蠕變損傷仍為主導(dǎo)損傷，故其對(duì)總損傷造成的時(shí)間相關(guān)的裂紋擴(kuò)展速率斜率的影響較小.擬合的一元一次方程截距，隨載荷比增大分別為-1.49、-1.48、-1.44 和-1.18，雖然在載荷比為0.01～0.20 時(shí)的曲線(xiàn)非常接近，但當(dāng)載荷比增大至0.50 時(shí)，其截距明顯增大，同時(shí)da/dN-Kmax圖中4 條曲線(xiàn)的截距也各不相同，故與改變載荷大小的模擬結(jié)果不同，不同載荷比的4 條曲線(xiàn)在兩個(gè)雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)軸上的截距隨載荷比增大而改變，不能用相同系數(shù)的Paris-power 公式表示.

圖12 載荷比為0.01、0.05、0.20、0.50 下蠕變-疲勞裂紋擴(kuò)展速率模擬結(jié)果Fig.12 Simulation results of creep-fatigue crack propagation rate for load ratios of 0.01，0.05，0.20，and 0.50

對(duì)4 種載荷比結(jié)果的損傷進(jìn)行了分析，如圖13所示.隨載荷比的增加，蠕變損傷增大，疲勞損傷和交互損傷均減小，這驗(yàn)證了增大的載荷比削弱了疲勞損傷，同時(shí)也削弱了交互損傷，增強(qiáng)了蠕變損傷，并且可以看到4 種結(jié)果的蠕變損傷占主要部分，其次為交互損傷，疲勞損傷最小，說(shuō)明蠕變損傷占主導(dǎo)作用.載荷比為0.01 和0.05 的各損傷大小和斜率較為接近，驗(yàn)證了圖 12(b)中兩者的結(jié)果曲線(xiàn)非常接近.載荷比從0.05 增加到0.20 和從0.01 增加到0.05，在裂紋生長(zhǎng)長(zhǎng)度為3 mm 時(shí)，蠕變損傷分別增大了18%和6%，疲勞損傷分別減少了6%和3%，交互損傷分別減少了13%和3%.各損傷的變化，前者遠(yuǎn)大于后者，驗(yàn)證了圖12(b)中載荷比為0.20 和0.05的距離相比0.01 和0.05 的更遠(yuǎn).載荷比從0.20 增加到0.50 的各損傷中，蠕變和交互損傷變化較大，疲勞損傷都較小且變化較小，如在裂紋生長(zhǎng)長(zhǎng)度達(dá)到3 mm 時(shí)，蠕變損傷增加了9%，交互損傷減小了8%，而疲勞損傷僅減小了0.8%，故可知造成載荷比為0.50 的裂紋擴(kuò)展速率減小的原因主要是蠕變和交互損傷的變化，這說(shuō)明改變載荷比不是僅對(duì)疲勞損傷產(chǎn)生影響，對(duì)蠕變和交互損傷也有直接影響.當(dāng)載荷比為0.50 時(shí)，其損傷基本為蠕變損傷，疲勞和交互損傷接近為0，故載荷比大于等于0.50 的蠕變-疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程可近似視為蠕變裂紋擴(kuò)展過(guò)程，故產(chǎn)生疲勞損傷前提是載荷比至少要小于0.50.

圖13 4種載荷比的蠕變、疲勞和蠕變-疲勞交互損傷Fig.13 Creep，fatigue，and creep-fatigue interaction damage for four load ratios

3.5 保載時(shí)間對(duì)蠕變-疲勞裂紋擴(kuò)展的影響

裂紋擴(kuò)展過(guò)程中，加載波中的保載時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生了蠕變損傷，故保載時(shí)間長(zhǎng)短對(duì)裂紋擴(kuò)展速率和各損傷占比有重要影響.本節(jié)共設(shè)置了8 個(gè)不同的保載時(shí)間，分別為1 s、5 s、10 s、30 s、60 s、120 s、600 s 和1 800 s，其他條件不變，固定最大載荷為8 kN，載荷比為0.05，模擬結(jié)果如圖14 所示.由圖14(a)可見(jiàn)，裂紋擴(kuò)展速率隨保載時(shí)間的增長(zhǎng)而增大，同時(shí)，不同保載時(shí)間試樣的有限元計(jì)算結(jié)果的da/dN-ΔK 圖中曲線(xiàn)斜率近似.相同的ΔK 下，保載時(shí)間為1 800 s 的試樣裂紋擴(kuò)展速率da/dN 是60 s 結(jié)果的15 倍左右，是1 s 結(jié)果的40 倍以上，但由于保載時(shí)間的不同，每個(gè)周期的時(shí)長(zhǎng)也不同，周期越長(zhǎng)，每周期產(chǎn)生的損傷越大，裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度也越長(zhǎng)，故da/dN 不能準(zhǔn)確地反映改變保載時(shí)間導(dǎo)致的裂紋擴(kuò)展速率變化.圖14(b)為da/dt-Ct,avg曲線(xiàn)，由圖可知，保載時(shí)間越長(zhǎng)，裂紋擴(kuò)展速率越慢，8 條曲線(xiàn)擬合得到的斜率大小，按保載時(shí)間從小到大分別為0.54、0.56、0.59、0.61、0.61、0.61、0.62 和0.62.斜率隨保載時(shí)間的增長(zhǎng)而增大，但當(dāng)保載時(shí)間大于等于30 s 后，斜率僅由0.61 緩慢增大到0.62，相比保載時(shí)間由1 s 增長(zhǎng)到30 s 的斜率由0.54增大到0.61，變化微弱，且相同Ct,avg值下的裂紋擴(kuò)展速率變化越來(lái)越小，曲線(xiàn)重合度越來(lái)越高，這與Tang等[12]得到的G115 模擬結(jié)果類(lèi)似，說(shuō)明隨保載時(shí)間的增大，蠕變損傷占比增大，且保載時(shí)間超過(guò)30 s 后，蠕變損傷為主導(dǎo)損傷，曲線(xiàn)斜率近似相等，這是由于保載時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)，在1 個(gè)周期內(nèi)，產(chǎn)生蠕變損傷的保載時(shí)間相比產(chǎn)生疲勞損傷的1 s 波形段要大得多，因此裂紋擴(kuò)展的蠕變損傷占總損傷的主要部分，增加保載時(shí)長(zhǎng)對(duì)結(jié)果曲線(xiàn)的影響有限.

圖14 保載時(shí)間為1 s、5 s、10 s、30 s、60 s、120 s、600 s 和1 800 s下蠕變-疲勞裂紋擴(kuò)展速率模擬結(jié)果Fig.14 Simulation results of creep-fatigue crack propagation rate for hold times of 1，5，10，30，60，120，600，and 1 800 s

圖15 展示了不同保載時(shí)間結(jié)果的各損傷變化趨勢(shì)，隨保載時(shí)間的增加，蠕變損傷越來(lái)越大，從4%增加到99%；疲勞損傷越來(lái)越小，從93%減小到近似為0；交互損傷在保載時(shí)間由1 s 增長(zhǎng)到10 s 過(guò)程中，為增大趨勢(shì)，保載時(shí)間為10 s 時(shí)達(dá)到峰值，保載時(shí)間繼續(xù)增長(zhǎng)，則呈減小趨勢(shì)，總體大小范圍為0～33%，故可知蠕變-疲勞交互載荷作用下裂紋擴(kuò)展的交互損傷的上限33%遠(yuǎn)小于另兩種損傷的上限99%.隨裂紋生長(zhǎng)長(zhǎng)度增加，蠕變損傷增大，疲勞損傷減小，交互損傷在保載時(shí)間小于10 s 時(shí)，趨勢(shì)不明顯，保載時(shí)間大于等于30 s 時(shí)，為減小趨勢(shì).由于各損傷隨裂紋生長(zhǎng)長(zhǎng)度的增長(zhǎng)會(huì)有一定變化，為方便進(jìn)行整體比較，求得了各保載時(shí)間結(jié)果的各損傷的平均值，如圖16所示.平均值y計(jì)算式為

圖15 8種保載時(shí)間的蠕變、疲勞和蠕變-疲勞交互損傷Fig.15 Creep，fatigue，and creep-fatigue interaction damage for eight hold times

圖16 8 種保載時(shí)間的平均蠕變、疲勞和蠕變-疲勞交互損傷Fig.16 Average creep，fatigue，and creep-fatigue interaction damage for eight hold times

式中：m 為所取裂紋生長(zhǎng)長(zhǎng)度數(shù)值；Δaj為第j 個(gè)裂紋生長(zhǎng)長(zhǎng)度；ωy為蠕變損傷ωc或疲勞損傷ωf或交互損傷ωint.保載時(shí)間大于等于30 s 時(shí)，蠕變損傷將超過(guò)50%，成為主導(dǎo)損傷，這驗(yàn)證了上述圖14(b)中保載時(shí)間大于等于30 s 的結(jié)果曲線(xiàn)斜率變化小且大小變化較小的表現(xiàn).保載時(shí)間小于等于5 s 時(shí)，疲勞損傷大于50%，為主導(dǎo)損傷.保載時(shí)間為10 s 時(shí)，疲勞損傷為37%，與31%的蠕變損傷和32%的交互損傷相近，證明了疲勞和蠕變控制模式的分界點(diǎn)為10 s[14]的結(jié)論，且此時(shí)的交互損傷達(dá)到了最大值.由于保載時(shí)間為600 s 的平均蠕變損傷為96%，接近100%，故保載時(shí)間大于600 s 時(shí)，裂紋擴(kuò)展過(guò)程中的損傷基本為蠕變損傷，接近純?nèi)渥兞鸭y擴(kuò)展.保載時(shí)間為1 s 時(shí)疲勞損傷為83%，故保載時(shí)間小于1 s 的裂紋擴(kuò)展，也近似接近純疲勞情況.

4 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了考慮蠕變3 階段的蠕變本構(gòu)模型，通過(guò)損傷力學(xué)與有限元相結(jié)合方法對(duì)650 ℃蠕變-疲勞載荷作用下哈氏合金X 的CT 試樣裂紋擴(kuò)展過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，獲得的主要結(jié)論如下.

(1) 結(jié)合應(yīng)變硬化定律與連續(xù)損傷力學(xué)模型得到考慮蠕變所有階段的本構(gòu)模型，對(duì)比考慮不同蠕變階段的純?nèi)渥兞鸭y擴(kuò)展模擬結(jié)果，得到考慮所有階段的本構(gòu)模型結(jié)果準(zhǔn)確性更高.載荷越大，考慮蠕變第Ⅱ和第Ⅲ階段的預(yù)測(cè)差異越小，考慮蠕變第Ⅰ階段的預(yù)測(cè)差異越大.

(2) 隨著載荷幅值增大，蠕變-疲勞裂紋擴(kuò)展速率增大，載荷幅值從5 kN 增加到7 kN，蠕變損傷均為主導(dǎo)損傷，交互損傷次之，疲勞損傷貢獻(xiàn)最低，且隨裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度和載荷的增大，蠕變損傷對(duì)損傷累積貢獻(xiàn)上升.

(3) 隨著載荷比的增大，蠕變-疲勞裂紋擴(kuò)展速率減小.在8 kN 載荷、保載時(shí)間為60 s 的條件下，載荷比從0.01 至0.50 的4 種模擬結(jié)果中蠕變損傷均為主導(dǎo)損傷，隨載荷比的增大，蠕變損傷增加，交互損傷和疲勞損傷減少，載荷比為0.50 時(shí)近似為純?nèi)渥兞鸭y擴(kuò)展.

(4) 隨著保載時(shí)間增大，裂紋擴(kuò)展速率da/dN 增大，而da/dt 減小，da/dt-Ct,avg曲線(xiàn)斜率增大，蠕變損傷增大，疲勞損傷減小，交互損傷先增大后減小.蠕變和疲勞損傷主導(dǎo)的分界保載時(shí)間為10 s，且此時(shí)交互損傷達(dá)到峰值.保載時(shí)間大于600 s 和小于1 s 時(shí)可分別近似視為純?nèi)渥兒图兤诹鸭y擴(kuò)展.