劉秋雨，蔣彥雯，*，范紅旗，連紅飛

1.國(guó)防科技大學(xué) 自動(dòng)目標(biāo)識(shí)別全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410073

2.國(guó)防科技大學(xué) 電子科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073

陣列雷達(dá)［1-2］在空間高分辨、參數(shù)估計(jì)等方面具有良好的性能，是近年的研究熱點(diǎn)，而波達(dá)方向（Direction of Arrival，DOA）估計(jì)是陣列雷達(dá)一個(gè)重要研究方向［3-4］，特別是突破瑞利限的超分辨譜估計(jì)方法，例如MUSIC［5］方法、最大似然法［6］（Maximum-Likelihood，ML）、子空間擬合法［7］（Subspace Fitting，SF）、旋轉(zhuǎn)子空間不變法［8］（Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques，ESPRIT）等，其中，MUSIC 方法因具有角度高分辨、不依賴(lài)陣列配置、便于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)勢(shì)備受關(guān)注［9］，然而其高分辨和高精度估計(jì)涉及較大的矩陣運(yùn)算，制約了MUSIC 方法的大規(guī)模普及應(yīng)用［10］。

MUSIC 方法的計(jì)算量主要來(lái)自子空間分解和譜峰搜索2 個(gè)部分［11］，與陣元數(shù)、快拍數(shù)、譜峰搜索次數(shù)成正比關(guān)系，實(shí)際系統(tǒng)中可通過(guò)增大上述3 個(gè)參數(shù)的數(shù)值來(lái)提升算法性能，但也提高了系統(tǒng)算力、功耗、硬件成本等要求［12］，降低了算法實(shí)時(shí)性。

為解決MUSIC 方法復(fù)雜度高、計(jì)算量大的難題，學(xué)者們研究了一系列的改進(jìn)方法。在子空間分解部分，文獻(xiàn)［13］利用多級(jí)維納濾波快速求解信號(hào)子空間，但要求已知信號(hào)波形；文獻(xiàn)［14］提到利用波束轉(zhuǎn)換矩陣將陣元域輸出數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到波束域，可以簡(jiǎn)化子空間計(jì)算，但會(huì)丟失部分信息；還有一些無(wú)需特征分解的子空間方法，文獻(xiàn)［15-16］分別對(duì)互相關(guān)矩陣和傳播算子進(jìn)行線性運(yùn)算快速得到噪聲子空間，但估計(jì)精度稍差于MUSIC 方法。在譜峰搜索部分，ESPRIT［17］和Root-MUSIC［18］雖避免了譜峰搜索，可直接求解角度，但估計(jì)精度不高，性能受限；文獻(xiàn)［19］提出壓縮MUSIC（Compressed MUSIC，C-MUSIC）方法，利用類(lèi)噪聲子空間簇的交集縮小搜索范圍，但要求陣元數(shù)大于目標(biāo)數(shù)的2 倍。總體而言，目前改進(jìn)的MUSIC 方法雖然可以降低復(fù)雜度，但都是在估計(jì)性能和低復(fù)雜度間折中進(jìn)行權(quán)衡取舍。因此，如何緩解MUSIC 估計(jì)性能與系統(tǒng)算力、成本、效率之間的矛盾，在算力受限情況下提升DOA 估計(jì)性能，是陣列雷達(dá)系統(tǒng)研究與應(yīng)用中亟需解決的難點(diǎn)問(wèn)題。

本文提出集成先驗(yàn)的低復(fù)雜度Nystr?m-MUSIC 方法。首先，Nystr?m 方法［20］是一種利用矩陣低秩性，通過(guò)計(jì)算部分樣本組成的子協(xié)方差矩陣的特征值分解來(lái)估計(jì)整個(gè)協(xié)方差矩陣的分解，從而獲取近似信號(hào)子空間的方法，可應(yīng)用于大數(shù)據(jù)量下的陣列DOA 快速實(shí)現(xiàn)。另外，隨著多源傳感器［21］、協(xié)同探測(cè)［22］等技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)有系統(tǒng)中存在且包含未被充分利用的目標(biāo)先驗(yàn)信息［23］。因此，本文提出集成先驗(yàn)的低復(fù)雜度Nystr?m-MUSIC 方法，一方面，基于Nystr?m 近似估計(jì)信號(hào)子空間，減小子空間分解的矩陣維度，另一方面，充分利用已有目標(biāo)角度先驗(yàn)信息，對(duì)譜峰搜索過(guò)程進(jìn)行空間約束，減少譜峰搜索的次數(shù)，從而有效降低了MUSIC 方法復(fù)雜度、提高方法運(yùn)算效率，為后續(xù)方法在實(shí)際陣列雷達(dá)系統(tǒng)中的多層次推廣應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

全文框架如下：首先，本文在陣列信號(hào)模型基礎(chǔ)上，詳細(xì)介紹基于Nystr?m 方法的子空間分解和集成先驗(yàn)的譜峰搜索方法的基本原理；其次，給出了集成先驗(yàn)的低復(fù)雜度Nystr?m-MUSIC 方法處理流程并對(duì)比分析了不同方法的理論復(fù)雜度；最后，開(kāi)展不同條件下的仿真實(shí)驗(yàn)，分析驗(yàn)證本文所提方法的有效性和估計(jì)性能。

1 陣列信號(hào)模型

圖1 為M個(gè)滿足遠(yuǎn)場(chǎng)條件的各向同性陣元所組成的均勻直線陣列模型，陣元間距為d，假設(shè)有K個(gè)不相干的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)s(n)=[s1(n)，s2(n)，…，sK(n)]T分別從不同的角度θ=[θ1，θ2，…，θK]T入射到均勻直線陣列，定義波達(dá)方向θk，k=1，2，…，K為第k個(gè)點(diǎn)目標(biāo)與陣列法線的夾角。

圖1 均勻直線陣列結(jié)構(gòu)Fig.1 Uniform linear array structure

第m個(gè)陣元在第n個(gè)快拍的接收數(shù)據(jù)為

式中：n=1，2，…，N，N為快拍數(shù)；fc為信號(hào)載頻；sk(n)為第k個(gè)入射信號(hào)；wm(n)為零均值高斯白噪聲；選定陣元1 為陣列相位中心，則τm，k為第k個(gè)信號(hào)源入射到陣元m處相對(duì)于陣元1 處的時(shí)延，可表示為

其中：c為光速。式（1）可改寫(xiě)為

式中：λ為入射信號(hào)波長(zhǎng)。

陣元m在N個(gè)快拍下的接收數(shù)據(jù)矢量可表示為

則整個(gè)陣列在N個(gè)快拍下接收數(shù)據(jù)的矩陣形式可表示為

其中：A=[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θK)] 為M×K維陣列流形矩陣；為M維導(dǎo)向矢量；S=[s1，s2，…，sK]T為K×N維信號(hào)矩陣；sk=[sk(1)，sk(2)，…，sk(N) ]為N維入射信號(hào)矢量；W=[w1，w2，…，wM]T為M×N維噪聲矩陣；wm=[wm(1)，wm(2)，…，wm(N) ]是N維零均值加性高斯白噪聲矢量。

2 方法介紹

傳統(tǒng)MUSIC 方法包括子空間分解和譜峰搜索2 個(gè)步驟，都需要比較大的計(jì)算量。本文在系統(tǒng)算力有限的應(yīng)用約束下，提出了基于Nystr?m方法的子空間分解和集成先驗(yàn)的譜峰搜索方法，利用Nystr?m 方法低維近似式（5）所示陣列接收數(shù)據(jù)矩陣X=[X1，X2，…，XM]T的協(xié)方差矩陣，并引入先驗(yàn)信息縮小譜峰搜索范圍，分別降低了子空間分解和譜峰搜索部分的復(fù)雜度。因此，本文方法相較于傳統(tǒng)MUSIC 的優(yōu)勢(shì)如下：

1）采用Nystr?m 方法，隨機(jī)抽取部分陣元的接收數(shù)據(jù)，構(gòu)造低維抽樣矩陣，用其低維協(xié)方差矩陣逼近X高維協(xié)方差矩陣，并代替高維矩陣譜分解，從而降低子空間分解的計(jì)算復(fù)雜度。

2）相比傳統(tǒng)MUSIC 在雷達(dá)大視場(chǎng)大范圍遍歷下的譜峰搜索過(guò)程，本文通過(guò)集成先驗(yàn)信息，提前鎖定目標(biāo)所在區(qū)域，將有效縮小解空間，提高搜索精準(zhǔn)性和效率。

2.1 基于Nystr?m 方法的子空間分解

子空間分解中必須計(jì)算和分解接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，才能獲得信號(hào)子空間。然而隨著陣元數(shù)的增多，陣列接收數(shù)據(jù)矩陣維度也會(huì)增大，此時(shí)傳統(tǒng)MUSIC 方法需要大量的矩陣運(yùn)算。Nystr?m 方法源于積分方程理論［24］，隨后在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域被用于加速矩陣的分解［20］、特征向量近似［25］等處理。本文將Nystr?m 方法用于MUSIC方法中近似求解協(xié)方差矩陣的特征向量，估計(jì)信號(hào)子空間，從而降低子空間分解的復(fù)雜度。如圖2 所示，基于Nystr?m 方法的子空間分解利用3 個(gè)低維矩陣近似高維接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣，陣列接收數(shù)據(jù)X的協(xié)方差矩陣RXX的Nystr?m 低維近似矩陣可表示為，其中，RXX為M×M維的矩陣；Y為接收數(shù)據(jù)X的沿陣列維隨機(jī)抽取得到的抽樣矩陣，大小為Me×N；RXY為M×Me維互協(xié)方差矩陣；為Y的協(xié)方差矩陣RYY的Moore-Penrose 偽逆，大小為Me×Me。

圖2 基于Nystr?m 的矩陣近似Fig.2 Matrix approximation based on Nystr?m

接下來(lái)，詳細(xì)介紹基于Nystr?m 方法的子空間分解。對(duì)于陣列接收數(shù)據(jù)X=[X1，X2，…，XM]T的協(xié)方差矩陣

根據(jù)Nystr?m 方法，可用一組獨(dú)立同分布的采樣矢量Y=[y1，y2，…，yMe]T近似獲得ui

因此，利用各陣元間的獨(dú)立同分布特性，從陣元{1，2，…，M}中隨機(jī)抽取Me個(gè)樣本，K≤Me≤M，這Me個(gè)陣元的接收數(shù)據(jù)可排列組成Me×N維的低維抽樣矩陣

然后計(jì)算Y的協(xié)方差矩陣以及矩陣X與Y的互協(xié)方差矩陣，有

再對(duì)RYY進(jìn)行特征分解

式中：i=1，2，…，Me。

根據(jù)式（7）計(jì)算RXX的近似特征向量，即

其歸一化特征向量為

接下來(lái)，信號(hào)子空間的近似形式可表示為

根據(jù)式（6）～式（14）的推導(dǎo)求解可知，本文的子空間分解方法共需要++(N+K)MMe次復(fù)數(shù)乘法，而傳統(tǒng)MUSIC 方法中的子空間分解過(guò)程共需要NM2+M3次復(fù)數(shù)乘法［26］。由于Me＜M，因此Nystr?m 方法將協(xié)方差計(jì)算部分的乘法次數(shù)從NM2降至NMMe，協(xié)方差特征分解部分的乘法次數(shù)從M3降至，雖然本文方法用部分特征向量近似信號(hào)子空間額外還需(N+K)MMe次乘法，但兩者綜合比較發(fā)現(xiàn)，本文方法相較于MUSIC 方法復(fù)雜度降低。

2.2 集成先驗(yàn)的譜峰搜索方法

傳統(tǒng)MUSIC 根據(jù)信號(hào)子空間跟噪聲子空間的正交性，以一定的步長(zhǎng)通過(guò)譜峰搜索得到空間各個(gè)方向的譜值，將最大空間譜對(duì)應(yīng)的方向確定為目標(biāo)的方向，其中對(duì)應(yīng)的偽空間譜可表示為

式中：Uw表示噪聲子空間。最大空間譜對(duì)應(yīng)方向即目標(biāo)方向

圖3 為本文所提出的方法與MUSIC 方法對(duì)空間目標(biāo)進(jìn)行譜峰搜索的對(duì)比圖，圖中藍(lán)色虛線部分為傳統(tǒng)MUSIC 搜索空間，搜索范圍為雷達(dá)的視場(chǎng)（Field of View，F(xiàn)OV），記作θFOV，解空間為FOV 離散化處理后的方向集合，假設(shè)搜索步長(zhǎng)為ΔθFOV，那么此時(shí)搜索次數(shù)為

圖3 本文方法與MUSIC 方法譜峰搜索對(duì)比圖Fig.3 Comparison chart of spectral peak search with proposed method and MUSIC method

上述MUSIC 方法的譜峰搜索是在雷達(dá)視場(chǎng)FOV 內(nèi)實(shí)現(xiàn)，該視場(chǎng)定義了雷達(dá)在水平方向的角度覆蓋范圍，一般FOV 越大越好，這樣雷達(dá)探測(cè)范圍就越大。然而大視場(chǎng)下的譜峰搜索范圍廣，搜索次數(shù)增多，將導(dǎo)致譜峰搜索計(jì)算量大；而通過(guò)縮小搜索空間或增大搜索步長(zhǎng)的方法來(lái)減少計(jì)算量，都可能導(dǎo)致估計(jì)性能的下降，其中，縮小搜索空間會(huì)造成目標(biāo)丟失等現(xiàn)象，增大搜索步長(zhǎng)會(huì)降低MUSIC 的估計(jì)精度。

本文方法搜索空間如圖3 中紅色區(qū)域所示，集成已有的目標(biāo)先驗(yàn)信息，自適應(yīng)地初始化目標(biāo)先驗(yàn)角度θ0，然后將其鄰域U(θ0，qΔθ)作為目標(biāo)的先驗(yàn)區(qū)域θprior，其中Δθ為目標(biāo)先驗(yàn)角度的估計(jì)精度，q為加權(quán)系數(shù)，表示搜索區(qū)域的大小。最大空間譜對(duì)應(yīng)方向即目標(biāo)方向可改寫(xiě)為

本文方法的搜索范圍為先驗(yàn)區(qū)域θprior，解空間為先驗(yàn)區(qū)域離散化處理后的方向集合，假設(shè)搜索步長(zhǎng)與MUSIC 一致均為ΔθFOV，則搜索次數(shù)為

鑒于在實(shí)際系統(tǒng)中，先驗(yàn)信息可來(lái)源于不同傳感器不同的估計(jì)方法，此時(shí)算法的復(fù)雜度需依具體系統(tǒng)而定，但本著低復(fù)雜度的原則，一般選擇計(jì)算量少且對(duì)整體復(fù)雜度影響不大的算法，因此，本文主要對(duì)獲取先驗(yàn)之后的算法復(fù)雜度和效率進(jìn)行對(duì)比分析。此時(shí)直接對(duì)比式（16）和式（17）可知，MUSIC 方法譜峰搜索部分的計(jì)算量為JFOV(M+1)(M-K)［27］，本文方法計(jì)算量為KM2+JpriorM(M+1)。集成先驗(yàn)下的θprior?θFOV，則Jprior＜JFOV，故本文方法計(jì)算量明顯低于MUSIC 方法的計(jì)算量，且本文方法搜索目標(biāo)的效率在一定程度上不受雷達(dá)視場(chǎng)的影響，對(duì)大視場(chǎng)中的目標(biāo)也能快速完成高精度搜索，解決搜索復(fù)雜度與性能之間的矛盾。

2.3 方法實(shí)現(xiàn)與復(fù)雜度分析

集成先驗(yàn)的低復(fù)雜Nystr?m-MUSIC 方法具體實(shí)現(xiàn)步驟如算法1 所示。

綜上分析，本文通過(guò)降維和縮小解空間的方式降低目標(biāo)角度估計(jì)過(guò)程的算法運(yùn)算量。本文所提出的方法在子空間分解部分需要NMe2+Me3+(N+K)MMe次復(fù)數(shù)乘法，譜峰搜索部分需要KM2+JpriorM(M+1)次復(fù)數(shù)乘法，所以本文方法總復(fù)雜度為

與MUSIC 方法復(fù)雜度對(duì)比如表1 所示。表1第2～4 行為理論復(fù)雜度對(duì)比行，后4 行在給定參數(shù)下定量對(duì)比了2 種方法復(fù)雜度，此假設(shè)條件下，MUSIC 方法約需要4.8×106次復(fù)數(shù)乘法，本文方法約需要5.6×105次復(fù)數(shù)乘法，整體相較于MUSIC 方法復(fù)雜度降低了8 倍，其中子空間分解部分降低約5 倍，譜峰搜索部分在集成先驗(yàn)下可降低約一個(gè)數(shù)量級(jí)。

表1 計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比Table 1 Comparison of computational complexity

3 仿真分析

本節(jié)將對(duì)本文所提出的集成先驗(yàn)的低復(fù)雜度Nystr?m-MUSIC 方法和傳統(tǒng)MUSIC 方法進(jìn)行仿真對(duì)比分析，分別設(shè)置多目標(biāo)DOA 估計(jì)仿真、不同信噪比條件下DOA 估計(jì)性能仿真以及方法運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)仿真3 個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)。

3.1 多目標(biāo)DOA 估計(jì)仿真

本節(jié)主要評(píng)估驗(yàn)證本文方法對(duì)多目標(biāo)DOA的估計(jì)能力。實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置如表2 所示。

表2 多目標(biāo)DOA 估計(jì)參數(shù)設(shè)置Table 2 Parameter settings of multi-target DOA estimation

圖4 為本文所提方法在不同抽樣陣元數(shù)情況下和MUSIC 方法、512 點(diǎn)FFT 方法對(duì)目標(biāo)角度的估計(jì)結(jié)果。圖4 中FFT 方法歸一化幅度峰值對(duì)應(yīng)的角度為0°、10.69°，可見(jiàn)FFT 方法無(wú)法分辨2 個(gè)靠得很近的目標(biāo)；而讀取本文方法和MUSIC方法的歸一化幅度峰值，對(duì)應(yīng)的角度分別為0°、10°、11.5°，即為2 種方法對(duì)目標(biāo)角度的估計(jì)值，與表2 中理論值一致，表明本文方法與MUSIC方法均能實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的高分辨角度估計(jì)，驗(yàn)證了所提方法具備優(yōu)良的估計(jì)目標(biāo)的能力。

圖4 目標(biāo)角度估計(jì)結(jié)果Fig.4 Results of target angle estimation

3.2 不同信噪比條件下DOA 估計(jì)性能分析

根據(jù)2.2 節(jié)的分析，本文方法和MUSIC 方法的DOA 估計(jì)性能與譜峰搜索空間范圍及搜索步長(zhǎng)密切相關(guān)。本節(jié)在圖3 搜索示意圖的基礎(chǔ)上，根據(jù)先驗(yàn)信息精度的高低，進(jìn)一步設(shè)置了2 個(gè)實(shí)驗(yàn)分別對(duì)比分析DOA 估計(jì)性能隨信噪比的變化關(guān)系，信噪比變化區(qū)間設(shè)置在-10～15 dB，其中，實(shí)驗(yàn)1 為同等搜索次數(shù)的條件下，評(píng)估本文所提方法與MUSIC 方法對(duì)目標(biāo)DOA 的估計(jì)性能，實(shí)驗(yàn)2 則在同等搜索步長(zhǎng)的條件下分析2 種方法的估計(jì)性能。

本文采用均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）指標(biāo)來(lái)對(duì)估計(jì)性能進(jìn)行定量評(píng)估。RMSE 定義為

式中：L表示蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)；為第l次實(shí)驗(yàn)中第k個(gè)信號(hào)θk的估計(jì)值。

3.2.1 實(shí)驗(yàn)1：同等搜索次數(shù)下的估計(jì)性能

在2.2 節(jié)中，搜索步長(zhǎng)離散劃分空間角度會(huì)影響譜峰搜索的精度，為分析2 種方法對(duì)目標(biāo)的估計(jì)性能，本節(jié)將固定譜峰搜索次數(shù)JFOV=Jprior=101，當(dāng)先驗(yàn)為同一傳感器的快速算法，如FFT 等提供的低精度角度信息時(shí)，可在同等搜索次數(shù)下采用更小的搜索步長(zhǎng)對(duì)先驗(yàn)區(qū)域進(jìn)行求解。譜峰搜索示意圖如圖5 所示，表3 為相應(yīng)的信噪比及搜索空間參數(shù)，其他陣列系統(tǒng)參數(shù)如表2 所示。

表3 實(shí)驗(yàn)1 參數(shù)設(shè)置Table 3 Parameter settings of Experiment 1

圖5 同等搜索次數(shù)下的譜峰搜索示意圖Fig.5 Diagram of spectral peak search with the same search times

圖6 為同等搜索次數(shù)條件下，經(jīng)過(guò)100 次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，MUSIC 方法和4 種不同抽取陣元數(shù)下本文所提方法對(duì)目標(biāo)方位的估計(jì)精度結(jié)果。從圖6 中可以看出，隨著信噪比的增大，估計(jì)誤差逐漸減小，最后很快在高信噪比時(shí)收斂，其中，本文方法估計(jì)精度在0 dB 時(shí)收斂到0.03°，MUSIC方法估計(jì)誤差在0.29°左右，由此發(fā)現(xiàn)，本文方法估計(jì)精度比同等實(shí)驗(yàn)條件下的MUSIC 方法提高了近10 倍。因此，通過(guò)引入先驗(yàn)角度信息縮小空間搜索范圍，在同等搜索次數(shù)下，本文方法譜峰搜索更加緊密，避免了因搜索步長(zhǎng)離散劃分空間角度帶來(lái)的失配問(wèn)題對(duì)估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生較大誤差，實(shí)現(xiàn)了比傳統(tǒng)MUSIC 方法更高的估計(jì)精度。

3.2.2 實(shí)驗(yàn)2：同等搜索步長(zhǎng)下的估計(jì)性能

由2.3 節(jié)方法復(fù)雜度分析可知，算法復(fù)雜度與譜峰搜索的次數(shù)成正比，因此，本節(jié)主要目的是在相同搜索精度的條件下，分析2 種方法在不同信噪比下對(duì)目標(biāo)的估計(jì)性能。當(dāng)先驗(yàn)是由光學(xué)傳感器等提供的高精度角度信息時(shí)，則需在此精度上進(jìn)一步縮小譜峰搜索步長(zhǎng)，本次實(shí)驗(yàn)設(shè)置傳統(tǒng)MUSIC 方法和本文所提方法的搜索步長(zhǎng)均為0.01°，搜索次數(shù)分別為JFOV=10 001、Jprior=1 001，信噪比、搜索范圍等其他參數(shù)設(shè)置如表3，同等搜索步長(zhǎng)下譜峰搜索示意如圖7 所示。

圖7 同等搜索步長(zhǎng)下的譜峰搜索示意圖Fig.7 Diagram of spectral peak search with the same search step

圖8 為同等搜索步長(zhǎng)下，2 種方法對(duì)目標(biāo)方位的估計(jì)精度結(jié)果。總體來(lái)看，如圖8 所示的曲線，2 種方法隨著信噪比的增大，估計(jì)誤差逐漸減小，表明角度估計(jì)精度隨信噪比增加在不斷提高。雖然，本文所提方法隨著抽樣陣元數(shù)的減少，估計(jì)誤差在低信噪比下逐步增加，但最大增幅僅為0.013°，性能下降?。欢?，當(dāng)信噪比上升至0 dB之后，所提方法的RMSE 與傳統(tǒng)MUSIC 方法的RMSE 曲線幾乎重合，均接近理論極限CRLB，低至10-3量級(jí)。因此，在同等搜索步長(zhǎng)下，本方法利用16 個(gè)抽樣陣元和局部先驗(yàn)區(qū)域，就實(shí)現(xiàn)與64 個(gè)陣元大視場(chǎng)下MUSIC 方法相當(dāng)?shù)母呔裙烙?jì)。

圖8 實(shí)驗(yàn)2 估計(jì)精度結(jié)果Fig.8 Estimation accuracy result of Experiment 2

結(jié)合2.3 節(jié)中表1 所示理論復(fù)雜度，在此實(shí)驗(yàn)條件下定量分析2 種方法的復(fù)雜度，MUSIC 方法約需要4.2×107次復(fù)數(shù)乘法，本文方法約需要4.3×106次復(fù)數(shù)乘法。因此，綜合上述實(shí)驗(yàn)分析，驗(yàn)證了本文提出的方法能以更低的復(fù)雜度實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的高精度估計(jì)。

3.3 方法運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)分析

進(jìn)一步地，本文引入方法運(yùn)行時(shí)間降低度Ts，表示所提方法相對(duì)于MUSIC 方法平均運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)減少的百分比，其定義為

式中：Tproposed為本文所提出的方法在一定信噪比下進(jìn)行100 次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)的平均運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)；TMUSIC為MUSIC 方法在相同條件下的平均運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)。

本節(jié)實(shí)驗(yàn)主要分析對(duì)比本方法和MUSIC 方法在估計(jì)位于任意位置的單個(gè)點(diǎn)目標(biāo)角度所用時(shí)長(zhǎng)，同時(shí)為供實(shí)際系統(tǒng)算法參考提供一定先驗(yàn)方法和實(shí)驗(yàn)依據(jù)，本節(jié)實(shí)驗(yàn)引入FFT 說(shuō)明獲取先驗(yàn)對(duì)算法整體效率的影響，實(shí)驗(yàn)設(shè)置隨機(jī)抽取陣元數(shù)依次為1～64 變化，MUSIC 方法和本文所提方法的搜索步長(zhǎng)均為0.1°，搜索范圍分別為-50°～50° 和0°～10°，搜索次數(shù)分別為JFOV=1 001、Jprior=101，F(xiàn)FT 點(diǎn)數(shù)為256，其他實(shí)驗(yàn)參數(shù)同表2。經(jīng)過(guò)100 次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，得到2 種方法平均運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)如表4 所示，不同抽取陣元數(shù)時(shí)的運(yùn)行時(shí)間降低度如圖9 所示。

表4 2 種方法平均運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)和運(yùn)行時(shí)間降低度Table 4 Average running time and running time reduction degree of the two methods

圖9 運(yùn)行時(shí)間降低度隨抽取陣元數(shù)的變化曲線Fig.9 Curves of variation of running time reduction degree with the number of extracted array elements

圖9 中，隨著抽取陣元數(shù)的增多，本文方法運(yùn)行時(shí)間越長(zhǎng)。當(dāng)不考慮獲取先驗(yàn)的時(shí)間，本文方法運(yùn)行時(shí)間降低度從84.9% 逐漸降至80.7%；當(dāng)考慮先驗(yàn)獲取的時(shí)間，方法運(yùn)行時(shí)間降低度從81.4% 逐漸降至79%。結(jié)合表5 整體而言，二者隨抽取陣元數(shù)下降趨勢(shì)一致，獲取先驗(yàn)的過(guò)程使運(yùn)行時(shí)間增長(zhǎng)約0.3 ms，運(yùn)行時(shí)間降低度減少2%左右，但始終保持著減少80%左右的運(yùn)行時(shí)間，統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，在考慮和不考慮獲取先驗(yàn)情況下的運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)和運(yùn)行時(shí)間降低度均相差不大并處于同一量級(jí)，但其提供的角度先驗(yàn)卻可大大降低搜索時(shí)間。因此，本文方法通過(guò)降低算法復(fù)雜度減少了算法運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)，顯著提高了目標(biāo)DOA 估計(jì)的效率。

4 結(jié)論

1）針對(duì)陣列雷達(dá)系統(tǒng)中MUSIC 方法估計(jì)性能和算法復(fù)雜度之間相互制約的問(wèn)題，本文提出一種集成先驗(yàn)的低復(fù)雜度Nystr?m-MUSIC方法。所提方法基于Nystr?m 近似對(duì)子空間分解矩陣進(jìn)行降維處理，并引入先驗(yàn)角度信息縮小譜峰搜索范圍，有效降低了MUSIC 方法的復(fù)雜度。

2）通過(guò)開(kāi)展多目標(biāo)DOA 估計(jì)和不同信噪比下DOA 估計(jì)對(duì)比，驗(yàn)證了本文所提方法的有效性，并發(fā)現(xiàn)在具備與傳統(tǒng)MUSIC 方法同等估計(jì)精度的條件下，當(dāng)抽取陣元數(shù)僅為總數(shù)的25%時(shí)，本方法的復(fù)雜度降低約8 倍、運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)降低80%以上，能顯著提高目標(biāo)DOA 估計(jì)效率。

3）綜合本文理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)，在集成不同精度的先驗(yàn)信息下，本文所提方法在具備高估計(jì)性能和低復(fù)雜度的同時(shí)，能快速實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)方位的高精度估計(jì)，對(duì)低算力約束下的陣列雷達(dá)系統(tǒng)性能提升具有重要意義。