東莞市第十高級中學(xué)(523981) 許浩杰

隨著高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的落實,有利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的新題型得到了開發(fā)與使用. 近年,從高考題到各省市的高考模擬題,大家都在探索研究不同試題類型的命制方式. 在改編一道填空題中,經(jīng)歷了從封閉性問題到開放性問題的調(diào)整,在此談?wù)剬深愵}目命制的體會和反思.

1 關(guān)于封閉性問題與開放性問題

高考數(shù)學(xué)具體試題類型一般包括封閉性問題與開放性問題兩類試題類型.

在我國的數(shù)學(xué)教學(xué)與評估中使用的問題主要是計算題、論證題、常規(guī)題的應(yīng)用題和填充題,這些問題的答案只有正確與不正確(包括不完整)兩種,并且正確的答案是惟一的.這些問題給出的條件往往都是用得著的,而且只用一次. 這一類問題叫封閉性問題(closed problem),它是我國數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ). 此類試題能體現(xiàn)“回課本、重概念、考通法”,體現(xiàn)數(shù)學(xué)試題的普適性. 試題解題方法注重通性通法,貼近日常教學(xué),突出能力和素養(yǎng)的考查.

開放性問題(open-ended question),又稱構(gòu)造性反應(yīng). 它要求被試創(chuàng)造一個反應(yīng),而封閉性問題則要求被試回憶、選擇一個反應(yīng). 開放性問題的特點是結(jié)論、條件、思路都是開放的. 而結(jié)構(gòu)不良題就屬于開放性問題,是指試題開放設(shè)問,問題的條件、數(shù)據(jù)等部分缺失或冗余,問題目標(biāo)界定不明確,要求學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行探究. 結(jié)構(gòu)不良題類型包括條件開放、結(jié)論開放、條件結(jié)論均開放等.

2019 年教育部考試中心發(fā)布的中國高考評價體系中指出,高考重點考查學(xué)科的核心素養(yǎng),進(jìn)一步關(guān)注學(xué)生的知識應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索等方面的能力. 結(jié)構(gòu)不良題給學(xué)生提供了開放的探究空間,能很好地培養(yǎng)學(xué)生的思維創(chuàng)造力.

2 題目命制歷程

2.1 試題原題與解析

試題原題如圖1, 在棱長為3 的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點N在該正方體的棱上運(yùn)動,則有____個滿足條件的點N,使得點N到平面A1BC1的距離為.

圖1

解析: 在正方體ABCD-A1B1C1D1中, 當(dāng)點N運(yùn)動到與點B1重合時, 三棱錐B1-A1BC1的體積為:(h為點B1到平面A1BC1的距離),而等邊三角形ΔA1BC1的面積為:

由等體積法得:

圖2

綜上所述, 有4 個滿足條件的點N, 使得N到平面A1BC1的距離為.

在解決上面這道題目時,發(fā)現(xiàn)隨著點到直線的距離的變化,滿足條件的點的數(shù)量也將隨之變化. 這個發(fā)現(xiàn)讓筆者解后久久回味,在腦袋里醞釀著如何改編該題.

2.2 改編版本1: 常規(guī)題

第一個想法是將原題改編成常規(guī)題,包括兩個問,形成難易梯度,其中第一個問相對容易,占2 分,第二個問難度較大,需要學(xué)生畫圖、計算、分情況探究等,占3 分. 改編的思路是第一問求正方體一個特定的頂點到指定平面的距離,第二個問打破原題的那幾個頂點的特殊性,引導(dǎo)學(xué)生去探求滿足條件的點的數(shù)量.

改編題1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為1,點P在該正方體的棱上運(yùn)動,則當(dāng)點P運(yùn)動到與點B1重合時,點P到平面A1BC1的距離為____; 另外,當(dāng)點P到平面A1BC1的距離為時,有____個滿足條件的點P.

解析: (1) 在正方體ABCD-A1B1C1D1中, 當(dāng)點P運(yùn)動到與點B1重合時,三棱錐B1-A1BC1的體積為:(h為點B1到平面A1BC1的距離),而

由等體積法得:

(2)由(1)知點B1到平面A1BC1的距離為,連接AD1,AC,CD1,有平面A1BC1與平面AD1C平行,同理可計算出點A,D1,C到平面A1BC1的距離也為.當(dāng)點P運(yùn)動到與點D重合時,

同理可得點D到平面A1BC1的距離為. 這是正方體棱上動點P到平面A1BC1的最大距離.

根據(jù)點到平面距離的變化,可以分成以下4類情況:

1)當(dāng)點P到平面A1BC1的距離為時,有4個滿足條件的點P.

2)當(dāng)點P到平面A1BC1的距離在范圍中時,可在平面A1BC1與平面AD1C之間作平行平面α, 可知平面α與正方形的棱有6 個交點; 同理, 在點B1與平面A1BC1之間作平面β與平面A1BC1平行,可知平面β與正方形的棱有3 個交點. 故有9 個滿足條件的點P,如圖3 所示.

圖3

3)當(dāng)點P到平面A1BC1的距離在范圍中時,同理有3 個滿足條件的點P,如圖4 所示.

圖4

4) 當(dāng)點P到平面A1BC1的距離為時, 有1 個滿足條件的點P. 故當(dāng)點P到平面A1BC1的距離為時, 屬于第二類情況, 故有9 個滿足條件的點P.

這個常規(guī)題的改編版本由原題的一問調(diào)整為兩問. 考查學(xué)生立體幾何的綜合應(yīng)用,綜合考查線面垂直與面面平行的判定與性質(zhì)等知識點,訓(xùn)練學(xué)生畫簡圖、靈活使用等體積法求點到平面距離、利用平面動態(tài)平移等技巧,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法,綜合考查學(xué)生分析、解決問題等能力.

兩個問的設(shè)定,使題目有了梯度性,從特殊性走向拓展,可進(jìn)一步延伸到題目的其他情況;第二小問設(shè)置數(shù)值,引導(dǎo)學(xué)生探究題目的不同情況,并最終得到時,屬于第二類情況,鍛煉了其邏輯推理能力.

2.3 改編版本2: 結(jié)構(gòu)不良題

經(jīng)過第一版常規(guī)題的改編,筆者覺得還不能很好地通過題目引導(dǎo)學(xué)生去探索發(fā)現(xiàn). 題目的要求相對直接,學(xué)生被動式地完成題目,沒能更好地發(fā)揮題目隱藏的學(xué)生可多情況破題的作用. 從而有了下面第二版本的改編題.

改編題2在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為1,點P在該正方體的棱上運(yùn)動,則當(dāng)點P運(yùn)動到與點B1重合時,點P到平面A1BC1的距離為____; 另外,當(dāng)點P到平面A1BC1的距離為____(可填具體數(shù)值或區(qū)間范圍)時,有____個滿足條件的點P.

第二版本的題目主要在于第二小問調(diào)整為結(jié)構(gòu)不良題,讓學(xué)生隨著題目的探究,鍛煉了其邏輯推理能力,可呈現(xiàn)學(xué)生不同的思考成果,也讓答案有了更多的可能性.

題目編好之后, 考慮到題目3 個空共5 分, 第一個問2分,第二問結(jié)構(gòu)不良占3 分,分值和考試時學(xué)生完成此題所用的時間量相關(guān)性太弱,且第一問所求的距離求出來后可以直接套入第二問的解答中,從而失去了命制本來計劃達(dá)到的解答多樣性的效果. 此版本改編題目還得改.

為了讓題目更好地引導(dǎo)學(xué)生探究,同時簡化題目三個空的設(shè)置,第三版的題目刪掉了第一個問,保留了后面的問題.

改編題3在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為1,點P在該正方體的棱上運(yùn)動,當(dāng)點P到平面A1BC1的距離為____(可填具體數(shù)值或區(qū)間范圍)時,有____個滿足條件的點P.

此版改編題,雖然出現(xiàn)了多種解答結(jié)果,但是學(xué)生畫圖可敏感發(fā)現(xiàn)P到平面A1BC1的距離最大的點為點P與點D重合時,且只有1 個滿足條件的點. 題目有了這個特殊情況,導(dǎo)致學(xué)生都奔著點D去解題,沒能達(dá)到結(jié)構(gòu)不良題所起的作用,得繼續(xù)調(diào)整修改.

為此,筆者查閱并學(xué)習(xí)了近年高考題中結(jié)構(gòu)不良題的命制形式,通過設(shè)置3 個不同距離數(shù)值,改編成第四版題目.

改編題4在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為1,點P在該正方體的棱上運(yùn)動,在①當(dāng)點P到平面A1BC1的距離為, ②當(dāng)點P到平面A1BC1的距離為,③當(dāng)點P到平面A1BC1的距離為這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面問題中,并給出相應(yīng)結(jié)論.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為1,點P在該正方體的棱上運(yùn)動,____(三選一,填序號①或②或③)時,有____個滿足條件的點P.

最后版本的改編題,通過不同條件的設(shè)定,使題目情況多樣化,給學(xué)生的探究帶來不同的指引,從原題的特殊性研究走向多方向探究,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步拓展到所有情況. 考慮到題目每個條件的難度和題目的科學(xué)性,沒有把全部情況放開讓學(xué)生自由選擇,只提供了3 個不同的數(shù)值作為解題條件.

至此,改編的題目雖還有瑕疵,但也大致展現(xiàn)了結(jié)構(gòu)不良題的優(yōu)勢,給學(xué)生解題提供了多種可能性.

3 幾點思考

通過以上題目的改編歷程,從常規(guī)題到結(jié)構(gòu)不良題,可以發(fā)現(xiàn):

首先,題目命制要注意梯度性. 通過第一版本常規(guī)題的改編,題目從一個問調(diào)整為兩個問,形成難度差異,使題目有了梯度,有利于學(xué)生由易到難層層遞進(jìn)解決問題.

其次,題目命制要注意指向性. 在編制第二版本結(jié)構(gòu)不良題時,設(shè)置的3 個空使得題目冗長且第一個問影響到后續(xù)解題的方向,通過改編,筆者及時對題目進(jìn)行調(diào)整,命制時考慮問題指向清晰,避免學(xué)生思維受限制,防止題目出現(xiàn)設(shè)計之外的思維漏洞.

特別的,題目命制要注意科學(xué)性. 在命制結(jié)構(gòu)不良題時,作為命題者,題目結(jié)論的每種可能性都要提前研究透徹,避免出現(xiàn)難度差異過大的情況,最好能使每個解決方案在任務(wù)耗時、操作難度、思維水平等方面都相對持平.

總之,在題目命制的過程中,命題者應(yīng)落實以德樹人的宗旨,基于高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念,以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為指導(dǎo),充分發(fā)揮題目對提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的積極作用.