華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 葉曉茵

華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630) 陳偉連

1 試題背景

上述試題蘊含平口單峰函數(shù)的命題背景,為了深入研究該類問題,我們現(xiàn)將上述試題一般化如下,以得到更一般的推廣結(jié)論.

已知h(x) = |f(x)-ax-b| 對任意實數(shù)a、b, 存在x0∈[m,n],使h(x0)≥M,求實數(shù)M取值范圍.思路分析:

(1)先把x0看成主元,把a、b看成常數(shù),由題目條件存在x0∈[m,n],于是問題轉(zhuǎn)化為M≤h(x)max=g(a,b);

(2) 接著把a、b視為主元, 把x0看成常數(shù), 由題目條件對任意實數(shù)a、b, 那么問題轉(zhuǎn)化為M≤[g(a,b)]min=[h(x)max]min;

(3)由上可知,解決這類問題就是求M≤[h(x)max]min.

2 引題呈現(xiàn)

(2017年高考浙江卷第17題)已知a∈ R, 函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值為5, 則a∈R 的取值范圍為____.

3 平口單峰函數(shù)定理

平口單峰函數(shù)就是上面的一種特殊情況, 即當(dāng)f(m) =f(n) 時, 在區(qū)間存在唯一的極值點x0(用拉格朗日中值定理可以證得),則h(x) = |f(x)-ax-b|在區(qū)間[m,n] 內(nèi)的最大值的最小值為,當(dāng)a= 0,取等號. 幾何表示如圖1.

圖1

4 研究的幾何意義

接下來,我們將從一個具體的題目來說明平口單峰函數(shù)定理.

例1已知f(x) =|x2-ax-b|對任意實數(shù)a、b,存在x0∈[m,n],其中m=-2,n=2,使f(x0)≥M,求實數(shù)M取值范圍.

題目分析:f(x)在幾何意義上為拋物線y=x2與直線y=ax+b在[-2,2]內(nèi)橫坐標(biāo)取一樣時,縱坐標(biāo)之間的距離.M是這兩條線垂直距離的最大值的最小值. 當(dāng)直線斜率存在時,如圖2,其中拋物線和直線之間的垂直距離M總比2 要大. 當(dāng)斜率為0 的時候,其中y=x2與y=b2 的垂直距離M,總比在y=2 位置要大. 如下圖3.

圖2

圖3

通過上面的幾何揭示, 我們發(fā)現(xiàn)f(x0) 最大值的最小值M在處取到.

5 研究問題的代數(shù)證明

前面我們是從幾何角度直觀感受絕對值函數(shù)何時取得其最大值的最小值的情況,接下來將從代數(shù)的角度進行嚴(yán)格推導(dǎo)來揭示它的本質(zhì),其實平口單峰函數(shù)是切比雪夫最佳逼近直線的一個特例.

切比雪夫最佳逼近直線設(shè)A={g(x)=ax+b|a∈R,b∈R}, 若存在g0(x) ∈ A 使得對任意g(x) ∈ A, 有, 則g0(x) ∈A 稱為f(x) 在切比雪夫下的最佳逼近直線, 也可以稱.

由于運用代數(shù)來證明涉及到切比雪夫逼近直線,為了更直觀的了解切比雪夫最佳逼近直線,其幾何形式如下圖.

(1)當(dāng)f(x)為單峰函數(shù)時,如圖4,其中過CM中點D且平行MN的直線就是最佳逼近曲線.

圖4

(2)當(dāng)f(x)為非單峰函數(shù)時,如圖5,其中C為圖像的切點,過C點作直線l1和平行于直線l1的l3,與直線l3和直線l1距離相等的直線l2為最佳逼近直線. 從幾何角度來看,最佳逼近直線就是最貼近曲線的一次函數(shù)直線,恰好直線到曲線l2的最大距離比其他直線到曲線的最大距離都要小. 就是夾住曲線中間的兩條直線l1、l3中間的直線l2.

圖5

下面將用切比雪夫逼近直線定理和三點控制法來證明平口單峰的最佳逼近直線.

切比雪夫逼近直線定理若f(x) 在[m,n] 上具有二階導(dǎo)數(shù), 且f(x) 為凸函數(shù), 則f(x) 的最佳逼近直線為, 其中,f′(x0) =k. 特別的, 當(dāng)f(m) =f(n)時,直線的斜率為0,此時直線為最佳逼近直線,而h(x) = |f(x)-ax-b|在[m,n]內(nèi)最大值的最小值為.

三點控制法從切比雪夫逼近直線定理可以看出,我們可以選取端點m,n、極值點x0,運用三角不等式來證明.

證設(shè)h(x) = |f(x)-ax-b| 最大值為M, 則有M≥|f(x)-ax-b|,x∈[m,n],M≥|f(m)-am-b|,M≥|f(x0)-ax0-b|,M≥|f(n)-an-b|,于是問題轉(zhuǎn)化為證明M≥max{f(m),f(n),f(x0)}.

對上式乘相關(guān)系數(shù),得

根據(jù)三角不等式|a| - |b| ≤ |a-b| ≤ |a| + |b|, 有

由于f(m) =f(n), 于是, 當(dāng)a=0,時取到等號.

注三點控制法重點在于運用三角不等式消去帶有a,b的項. 這個方法的原理來源于切比雪夫多項式.

6 研究問題的適用范圍及其應(yīng)用

6.1 直接用平口單峰函數(shù)模型

引題解答依題意即求f(x) ≤5,設(shè),由于g(1) =g(4),則g(x)為平口單峰函數(shù),且g′′(x)＞0,極值點為x= 2,則當(dāng)時,f(x)取到最大值, 而觀察式子得到當(dāng),g(x) 到y(tǒng)=a的距離小于5,即.

6.2 構(gòu)造平口單峰函數(shù)模型

若f(m)f(n),設(shè)h(x)=|f(x)+ax+b|,x∈[m,n],若a,b的范圍沒有限制, 那么我們可以通過重新構(gòu)造f(x)來運用平口單峰函數(shù)模型. 步驟如下:

(1)首先,設(shè)p(x) =f(x)+λx,令p(m) =p(n),求出λ的值;

(2)其次將式子變?yōu)閔(x)=|p(x)+(a-λ)x+b|,運用平口單峰函數(shù),得到最大值的最小值為,且當(dāng)a=λ,時取到等號.

例1(2015 年1 月浙江省學(xué)業(yè)水平考試第34 題)設(shè)函數(shù), 若對于a,b∈R, 總存在x0∈[0,4]使不等式f(x0)≥m成立,求使式子成立的實數(shù)m.

分析易知該題不符合平口單峰函數(shù)模型的情況, 即f(0)f(4),但是a,b∈R 不受限制,所以可以轉(zhuǎn)化為構(gòu)造平口單峰函數(shù)模型進行解題.

解根據(jù)平口單峰函數(shù)模型, 設(shè), 當(dāng)p(0) =p(4) 時, 求得, 則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為. 當(dāng)時,解得x=1. 所以當(dāng)時,此時函數(shù)的最大值的最小值為,所以.

6.3 不能用平口單峰模型

若f(m)f(n),但a,b受到限制的時候,即題目給出a=0,或者a0,則無法使用上述方法. 那么找目標(biāo)函數(shù)最大值和最小值本質(zhì)就是求切比雪夫逼近直線,結(jié)合三角不等式即可解決該類問題.

例2(2016 年天津高考理科數(shù)學(xué)第20 題) 設(shè)函數(shù)f(x) = (x-1)3-ax-b,x∈R, 其中a＞0,b∈R, 設(shè)g(x)=(x-1)3,求證|f(x)|在區(qū)間[0,2]上的最大值不小于.

分析由于g(0)g(2),所以不能直接用平口單峰函數(shù)模型.

解法一(切比雪夫直線逼近) 設(shè)g(x) =(x-1)3, 由設(shè)直線l2經(jīng)過點M(0,-1) 且與曲線相切于點(x2,f(x2)), 由,得到極值點為, 則當(dāng)x= 2,l1過點(2,1),l3過點, 則中點為, 則最佳逼近直線l2為斜率且過點的直線,, 則,如圖6 所示.

解法二(點控制法) 設(shè)g(x) = (x-1)3, 極值點為,則有

則

注點控制法步驟歸納: ①求出[m,n]內(nèi)f(x)的極值點x1,x2, ②運用M≥h(m),M≥h(n),M≥h(x1),M≥h(x2),結(jié)合三角不等式消去a,b求出M的值.

結(jié)語從以上的分析結(jié)果來看, 我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)h(x) = |f(x)-ax-b| 最大值的最小值, 其背景就是求使得M=h(m)=h(n)時,最小的M值. 我們從平口單峰函數(shù)模型出發(fā),一步一步挖掘蘊含的背景知識,首先畫圖直觀讓學(xué)生感受切比雪夫最佳逼近直線. 通過分析切比雪夫逼近直線的幾何直觀來揭示本質(zhì),如果不能運用平口單峰函數(shù)模型,則可以通過切比雪夫逼近直線的幾何本質(zhì),通過畫圖結(jié)合本質(zhì)進行求解. 其實將高等知識帶入高中課堂,就將這種知識背后的思想方法,通過幾何直觀和代數(shù)來讓學(xué)生感受并且運用,本文旨在從幾何、代數(shù)角度介紹平口單峰函數(shù),同時從代數(shù)和幾何角度來引入切比雪夫逼近直線,從幾何角度分析切比雪夫直線的本質(zhì),從而面對一些變式的時候我們可以畫圖直觀分析,再運用切比雪夫逼近直線的思想求解.