戚晨皓

(東南大學 信息科學與工程學院, 南京 210096)

大學教育的根本任務是立德樹人,課程作為大學教育的重要組成部分,在人才培養(yǎng)中發(fā)揮了重要作用。因此,要充分利用課堂的主渠道,增強課程的育人功能,大力挖掘課程教學中蘊含的思政元素,將其潤物細無聲地融入到各類課程的教學與實踐中,實現(xiàn)顯性的基礎知識學習和隱性的思政熏陶漸染。

“數(shù)字信號處理”是工科專業(yè)的重要課程,每年上課學生人數(shù)龐大,課程受眾面廣,影響范圍大,學生主觀上對課程也比較重視,因此,研究“數(shù)字信號處理”課程的思政并設計典型的思政案例具有重要意義。

本文針對“數(shù)字信號處理”課程設計了三個思政案例。首先介紹了從離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)到快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)的發(fā)展過程及背景,凝練出了國家戰(zhàn)略需求的牽引往往能獲得更有價值的研究成果;其次通過介紹線性卷積與循環(huán)卷積的聯(lián)系,引出了我國移動通信技術從空白到領跑的奮斗之路;最后通過介紹無限長沖激響應(Infinite Impulse Response, IIR)和有限長沖激響應(Finite Impulse Response, FIR)濾波器設計方法,闡明要從多維度全面看待事物并能從不同維度切入解決問題。

1 DFT和FFT的思政教學

“數(shù)字信號處理”課程的重要內(nèi)容之一是DFT及FFT算法。盡管離散時間傅里葉變換(DTFT)能有效呈現(xiàn)序列的頻率響應特征,但由于DTFT在頻域是連續(xù)的,不便于計算機存儲,DFT的出現(xiàn)快速解決了這一問題。然而,DFT的運算量與其序列長度的平方成正比,當序列較長時,運算量太大,例如當序列長度為1024點時,計算該序列的一次DFT需要一百多萬次復數(shù)乘法運算和一百多萬次復數(shù)加法運算。而序列較短時,難以通過DFT變換刻畫出序列的內(nèi)在特征。特別對于需要實時計算信號DFT的場合,運算量開銷非常巨大。因此,DFT自出現(xiàn)之后的兩百年內(nèi)一直得不到廣泛使用。直到1965年,IBM公司的James William Cooley和美國普林斯頓大學的John Wilder Tukey利用了DFT運算中的周期性和對稱性,通過使用蝶形結(jié),將大點數(shù)的DFT拆成若干小點數(shù)的DFT運算,從而提出了基二FFT 算法。FFT的運算量與其序列長度的對數(shù)成正比,相比于DFT顯著降低了運算量。例如當序列長度為1024點時,計算該序列的一次FFT僅需要50次復數(shù)乘法運算和100次復數(shù)加法運算。此后,FFT運算得到廣泛應用。

大學教育,除了讓學生學習課程的專業(yè)知識本身外,更重要的是培養(yǎng)學生的自主學習的能力,提高學生的創(chuàng)新精神。學生們不禁會思考,為什么直到1965年才提出能大幅降低運算量的FFT算法而在此之前一直沒有學者提出呢?其實這里面就蘊含了課程思政的元素。首先,要樹立上下而求索、不斷追求完美、止于至善的科學精神,主動去探索降低DFT運算量的方法,遇到問題多思考、多分析,充分發(fā)掘DFT運算的特點和性質(zhì),探究其中的規(guī)律。其次,我們回顧一下FFT提出的時代背景[1]。1962年古巴導彈危機差點觸發(fā)了美國和前蘇聯(lián)的核戰(zhàn)爭,此后,美國和前蘇聯(lián)都意識到了管控核武器的重要性,就簽訂《美蘇限制戰(zhàn)略核武器條約》進行一輪輪的談判。而在同一時間,美國肯尼迪總統(tǒng)的科學顧問委員會也在研究如何在不需要偵查蘇聯(lián)設施的情況下,判斷前蘇聯(lián)是否偷偷進行了核試驗而違背了上述條約,一種可行的方案是通過觀察部署在前蘇聯(lián)周圍的地震儀來檢測前蘇聯(lián)的核試驗,然而該方案需要對地震儀產(chǎn)生的時間序列進行DFT運算并且運算量巨大。John Wilder Tukey作為該科學顧問委員會的成員,初步給出了一種如何降低DFT運算量的方法。而同為該委員會的IBM公司的Richard Garwin,立即意識到了該方法的重要性,因為降低DFT運算量對很多其他的國防應用例如核潛艇遠距離的聲學檢測等均有重要的意義,隨后,Richard Garwin介紹John Wilder Tukey與IBM公司的James William Cooley聯(lián)系,共同研究降低DFT運算量的有效方法,并在1965年發(fā)表了一篇學術論文[2],提出了基二FFT 算法。

結(jié)合FFT提出的時代背景,可以看出,科學技術的發(fā)展與國家的戰(zhàn)略需求緊密相關,在國家戰(zhàn)略需求的牽引下,往往能獲得更有價值的研究成果。當前我們國家在芯片工藝和硬件算力等方面還面臨著諸多的挑戰(zhàn),與國外先進水平具有一定的差距,特別是當前的卡脖子技術更需要我們花大力氣去攻關和突破。而另一方面,我們也可以通過優(yōu)化軟件和算法,降低算法的運算量,在相同性能條件下減少對硬件算力的要求,這也正是FFT算法當年在美國國家戰(zhàn)略需求下的思路,如今看來仍具有重要參考價值。

2 線性卷積與循環(huán)卷積的思政教學

“數(shù)字信號處理”課程在介紹完FFT算法之后,通常會給出其重要的應用——通過FFT來快速計算線性卷積。

當兩個序列的循環(huán)卷積的長度大于等于這兩個序列的長度之和減1時,這兩個序列的循環(huán)卷積等價于它們的線性卷積。而循環(huán)卷積可以通過三次FFT運算快速獲得,具體而言,首先分別對兩個序列進行相同點數(shù)的FFT運算,然后將運算結(jié)果進行逐點相乘,最后作一次FFT反變換(Inverse FFT, IFFT)運算,考慮到IFFT運算量幾乎與FFT相同,因此共計三次FFT運算。由于FFT的運算量與其序列長度的對數(shù)成正比,當序列長度較長時,三次FFT的運算量會遠小于直接按照定義式進行逐點移位再對應元素相乘相加的線性卷積,因此實際工程應用中,計算機通常使用三次FFT來計算線性卷積。

圍繞循環(huán)卷積可充分利用FFT進行快速實現(xiàn)這一優(yōu)勢,無線通信構(gòu)建了新型的傳輸方式。眾所周知,無線通信的接收信號序列通常等于發(fā)送信號序列與無線信道沖激響應序列的線性卷積再額外加上噪聲,為了能使接收信號序列等于發(fā)送信號序列與無線信道沖激響應序列的循環(huán)卷積再加上噪聲,大家通常會聯(lián)想到對上述三個序列分別實施加長點數(shù)的FFT,其中FFT點數(shù)長度不短于發(fā)送信號序列長度與無線信道沖激響應序列長度之和減一。那么,如果不實施加長點數(shù)的FFT,有沒有其他方法呢?不妨鼓勵學生們另辟蹊徑,積極探索,尋找新的思路。

實際上,目前有兩種方法,一種是對發(fā)送信號序列添加循環(huán)前綴(Cyclic Prefix, CP)之后再將其發(fā)送進入無線信道,其中CP通過將發(fā)送信號序列尾部的一部分復制并搬移到該序列的頭部得到,并且滿足CP的長度不短于無線信道沖激響應序列的長度;相應地,在無線通信的接收端需要先去掉對應的CP,剩下的序列部分作為接收信號序列。這樣,FFT的點數(shù)只需要大于發(fā)送信號序列長度和無線信道沖激響應序列長度,這相比于實施加長點數(shù)的FFT,FFT點數(shù)更少,更加經(jīng)濟劃算,復雜度更低。為了能讓學生們充分理解這一目前已廣泛工程應用的方法,可以鼓勵學生們從現(xiàn)象看到本質(zhì)。循環(huán)卷積本質(zhì)上是先將序列進行周期延拓,然后進行線性卷積并取主值區(qū)間。在這一方法中,其實可看作固定了無線信道沖激響應序列不變,將發(fā)送信號序列進行周期延拓后再進行線性卷積,而這樣的周期延拓并不需要延拓發(fā)送信號序列的完整的一個周期,只需要延拓其CP長度的部分,因為超過CP長度多延拓出來的部分其實對主值區(qū)間內(nèi)的結(jié)果并沒有貢獻。而這恰恰來源于循環(huán)卷積定義式的細化思考和認識。在這點上,也給學生們帶來一些啟發(fā),要深入理解概念并看到其根本,只有立足根本,才能學得更加扎實,以不變應萬變。

另一種方法是對發(fā)送信號序列尾部補零(Zero Padding, ZP)之后再將其發(fā)送進入無線信道,其中ZP是指全零序列,ZP的長度跟CP的要求一樣——不短于無線信道沖激響應序列長度;相應的,在接收端需要進行對應處理,將接收信號的尾部ZP長度部分截取下來,疊加到其頭部ZP長度部分,再將其作為有效的接收信號序列,這樣,仍能滿足接收信號序列等于發(fā)送信號序列與無線信道沖激響應序列的循環(huán)卷積再加上噪聲。這不禁啟發(fā)學生們思考,既然第一種方法在頭部增加CP有效果,為什么還要用第二種方法在尾部增加ZP并在接收端頭尾混疊相加處理呢?其實,增加CP是要額外消耗發(fā)射信號能量的,而增加ZP卻不會;特別當CP比較長的時候,消耗的發(fā)射信號能量更大,而ZP卻沒有這個問題。在實際工程應用例如水下聲通信時,水聲信道沖激響應序列通常很長,這時增加CP對發(fā)射信號功率的消耗就較大,因為要求CP和ZP的長度大于等于信道沖激響應序列長度,這時使用ZP就具有明顯的優(yōu)勢[3]。目前這種使用ZP的方法已經(jīng)在國防中得到了廣泛應用。

而第一種方法,是多載波無線傳輸技術——正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)的重要理論基礎[4]。目前OFDM技術已在第四代移動通信(4G)和第五代移動通信(5G)中廣泛使用。我國移動通信技術水平經(jīng)歷了1G空白、2G跟隨、3G突破和4G并跑的不斷突破,現(xiàn)在5G已處于領跑狀態(tài)。在1G時代,我國的通信網(wǎng)絡建設剛剛起步,技術和設備全部依賴進口,關鍵核心技術處于一片空白狀態(tài)。在2G 時代,我國的通信領域?qū)崿F(xiàn)了從模擬到數(shù)字的跨越,開始努力跟隨國際先進技術。在3G 時代,我國在移動通信領域?qū)崿F(xiàn)了突破和創(chuàng)新,研發(fā)了具有自主知識產(chǎn)權(quán)的TDS-CDMA國家標準,為后續(xù)的技術突破奠定了基礎。在4G 時代,我國通信裝備制造業(yè)已與世界先進水平同步,處于與國際領先水平并跑的狀態(tài)。如今在5G 時代,我們在5G技術研發(fā)和應用上扮演了國際領跑者的角色,特別是涌現(xiàn)了華為等處于國際領先水平的龍頭企業(yè)。今天的輝煌成就,離不開黨和國家的正確領導和堅定支持,是一代代通信人的艱苦奮斗的成果。從上述案例中,能讓學生更清晰地認識到所學的課堂知識如何在科研中得到應用,使教學與科研相結(jié)合。很多學生實際上經(jīng)常困惑,課堂學習的書本知識是否過時了?與當前的新技術有何關系?而上述案例,正好能解決學生的這一困惑。而更重要的是,在這一過程中,還能增強學生們的民族自信心,激發(fā)學生們的民族自豪感和歷史使命感,鼓勵學生們秉承光榮傳統(tǒng),積極投身國家關鍵核心行業(yè),立志科技報國,為實現(xiàn)中華民族偉大復興的中國夢而不懈奮斗,在偉大夢想中成就個人理想。

3 IIR與FIR濾波的思政教學

“數(shù)字信號處理”課程中分別介紹了IIR和FIR濾波器設計方法。IIR濾波器的設計方法具體包括了脈沖響應不變法、雙線性變化法和最優(yōu)化設計方法,FIR濾波器的設計方法具體包括了窗口法、頻率采樣法和最優(yōu)化設計方法[5]。有學生問,既然學了IIR濾波器設計方法,為什么還要學FIR濾波器設計方法?其實,這就要看IIR和FIR的優(yōu)缺點了。學完這兩部分內(nèi)容后,可知,IIR濾波器設計可借助經(jīng)典模擬濾波器例如巴特沃斯、切比雪夫和橢圓等輔助數(shù)字濾波器的設計,其中模擬經(jīng)典濾波器通常都有解析表達式;而FIR濾波器一般無解析表達式,通常要借助計算機程序進行設計。FIR濾波器穩(wěn)定且具有線性相位,而IIR濾波器不具備。但在相同性能指標下,FIR濾波器的階數(shù)要比IIR濾波器更高。因此,IIR濾波器和FIR濾波器各有優(yōu)缺點,正如任何事物都有兩面性,既有優(yōu)點又有缺點,只有從多個維度看待事物才能看得更加全面,實際中需要結(jié)合應用場景具體問題具體分析。

IIR濾波器的設計方法中,最先給出了脈沖響應不變法,但是它的缺點在于無法實現(xiàn)S平面到Z平面的唯一映射、不能直接用來設計高通濾波器和帶阻濾波器。針對該缺點,通過引入正切變換提出了雙線性變化法,實現(xiàn)了S平面到Z平面的唯一映射,并且實現(xiàn)了四種類型的濾波器都能設計的目的,但也帶來了新的問題——模擬角頻率和數(shù)字角頻率之間出現(xiàn)了非線性的變化關系,使得數(shù)字濾波器的幅頻響應相對于模擬濾波器的幅頻響應出現(xiàn)了畸變,而在脈沖響應不變法中兩者是線性的變換關系并沒有畸變。因此,學生們在課程學習的過程中,也要同時培養(yǎng)客觀看待事物的多面性的能力和心態(tài)。

FIR濾波器的設計方法中,最先給出了窗口法,隨后給出了頻率采樣法。窗口法以逼近理想濾波器的時域沖激響應為目標來設計數(shù)字濾波器,而頻率采樣法以逼近理想濾波器的頻率響應為目標來設計數(shù)字濾波器,兩者分別從時域和頻域切入進行分析。窗口法需要利用濾波器時域解析表達式,設計方法簡單;而頻率采樣法不需要解析表達式更適合計算機處理。最優(yōu)化設計方法,對窗口法和頻率采樣法進一步泛化,又涉及多種最優(yōu)化的設計準則。因此,學生們在課程學習過程中,不僅要能從多個維度看待事物,也要提高從多個維度切入分析問題和解決問題的能力。例如,能從時域切入解決問題最好,若不能解決,那能否從頻域切入解決呢?若頻域也不能解決,是否還有其他的維度呢?

不僅在課堂上,在課余學習生活中,也要學會從多個維度全面地看待事物并能從不同維度切入解決問題。我們的國家、社會處于快速發(fā)展和進步中,有些其他國家抨擊我們的話,是否正確,需要多思考思考,不要一味盲從,古人云“人言務經(jīng)、自心悟之”也就是這個道理,要能從多個維度去看問題,相信黨和國家的決策和部署。自己身邊的朋友、同學,所處的學校、社會,都不可能盡善盡美,或多或少都會有缺點或這樣那樣的問題,不要只看到缺點而看不到優(yōu)點,事物都有多面性,要多維度全面看待,具有包容、寬容的心態(tài)。自己做好手頭的工作,從自己做起,不要怨天尤人,多樹立積極向上的心態(tài),多傳播正能量,世界會因你而更加美好。

4 結(jié)語

上述思政內(nèi)容部分用于2022年的“數(shù)字信號處理”課程教學,學生表現(xiàn)出對課程思政內(nèi)容更高的興趣,更加清楚地認識到國家戰(zhàn)略需求與個人科研的內(nèi)在聯(lián)系,學習的積極性和主動性進一步提高,能針對相關內(nèi)容進行更全面的思考和分析,同時也進一步了解了課程內(nèi)容如何在實際工程中應用,實現(xiàn)了更好的課程教學效果。當然,“數(shù)字信號處理”課程包含了諸多的思政元素和思政素材,本文給出的三個案例只是進行了初步的探索,主要是希望能給讀者們一些啟發(fā),產(chǎn)生更多更好的思政內(nèi)容,從而推動課程思政工作更加完善。