戚晨皓

(東南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 南京 210096)

大學(xué)教育的根本任務(wù)是立德樹(shù)人,課程作為大學(xué)教育的重要組成部分,在人才培養(yǎng)中發(fā)揮了重要作用。因此,要充分利用課堂的主渠道,增強(qiáng)課程的育人功能,大力挖掘課程教學(xué)中蘊(yùn)含的思政元素,將其潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地融入到各類課程的教學(xué)與實(shí)踐中,實(shí)現(xiàn)顯性的基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)和隱性的思政熏陶漸染。

“數(shù)字信號(hào)處理”是工科專業(yè)的重要課程,每年上課學(xué)生人數(shù)龐大,課程受眾面廣,影響范圍大,學(xué)生主觀上對(duì)課程也比較重視,因此,研究“數(shù)字信號(hào)處理”課程的思政并設(shè)計(jì)典型的思政案例具有重要意義。

本文針對(duì)“數(shù)字信號(hào)處理”課程設(shè)計(jì)了三個(gè)思政案例。首先介紹了從離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)到快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)的發(fā)展過(guò)程及背景,凝練出了國(guó)家戰(zhàn)略需求的牽引往往能獲得更有價(jià)值的研究成果;其次通過(guò)介紹線性卷積與循環(huán)卷積的聯(lián)系,引出了我國(guó)移動(dòng)通信技術(shù)從空白到領(lǐng)跑的奮斗之路;最后通過(guò)介紹無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(Infinite Impulse Response, IIR)和有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(Finite Impulse Response, FIR)濾波器設(shè)計(jì)方法,闡明要從多維度全面看待事物并能從不同維度切入解決問(wèn)題。

1 DFT和FFT的思政教學(xué)

“數(shù)字信號(hào)處理”課程的重要內(nèi)容之一是DFT及FFT算法。盡管離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)能有效呈現(xiàn)序列的頻率響應(yīng)特征,但由于DTFT在頻域是連續(xù)的,不便于計(jì)算機(jī)存儲(chǔ),DFT的出現(xiàn)快速解決了這一問(wèn)題。然而,DFT的運(yùn)算量與其序列長(zhǎng)度的平方成正比,當(dāng)序列較長(zhǎng)時(shí),運(yùn)算量太大,例如當(dāng)序列長(zhǎng)度為1024點(diǎn)時(shí),計(jì)算該序列的一次DFT需要一百多萬(wàn)次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和一百多萬(wàn)次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算。而序列較短時(shí),難以通過(guò)DFT變換刻畫出序列的內(nèi)在特征。特別對(duì)于需要實(shí)時(shí)計(jì)算信號(hào)DFT的場(chǎng)合,運(yùn)算量開(kāi)銷非常巨大。因此,DFT自出現(xiàn)之后的兩百年內(nèi)一直得不到廣泛使用。直到1965年,IBM公司的James William Cooley和美國(guó)普林斯頓大學(xué)的John Wilder Tukey利用了DFT運(yùn)算中的周期性和對(duì)稱性,通過(guò)使用蝶形結(jié),將大點(diǎn)數(shù)的DFT拆成若干小點(diǎn)數(shù)的DFT運(yùn)算,從而提出了基二FFT 算法。FFT的運(yùn)算量與其序列長(zhǎng)度的對(duì)數(shù)成正比,相比于DFT顯著降低了運(yùn)算量。例如當(dāng)序列長(zhǎng)度為1024點(diǎn)時(shí),計(jì)算該序列的一次FFT僅需要50次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和100次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算。此后,FFT運(yùn)算得到廣泛應(yīng)用。

大學(xué)教育,除了讓學(xué)生學(xué)習(xí)課程的專業(yè)知識(shí)本身外,更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)的能力,提高學(xué)生的創(chuàng)新精神。學(xué)生們不禁會(huì)思考,為什么直到1965年才提出能大幅降低運(yùn)算量的FFT算法而在此之前一直沒(méi)有學(xué)者提出呢?其實(shí)這里面就蘊(yùn)含了課程思政的元素。首先,要樹(shù)立上下而求索、不斷追求完美、止于至善的科學(xué)精神,主動(dòng)去探索降低DFT運(yùn)算量的方法,遇到問(wèn)題多思考、多分析,充分發(fā)掘DFT運(yùn)算的特點(diǎn)和性質(zhì),探究其中的規(guī)律。其次,我們回顧一下FFT提出的時(shí)代背景[1]。1962年古巴導(dǎo)彈危機(jī)差點(diǎn)觸發(fā)了美國(guó)和前蘇聯(lián)的核戰(zhàn)爭(zhēng),此后,美國(guó)和前蘇聯(lián)都意識(shí)到了管控核武器的重要性,就簽訂《美蘇限制戰(zhàn)略核武器條約》進(jìn)行一輪輪的談判。而在同一時(shí)間,美國(guó)肯尼迪總統(tǒng)的科學(xué)顧問(wèn)委員會(huì)也在研究如何在不需要偵查蘇聯(lián)設(shè)施的情況下,判斷前蘇聯(lián)是否偷偷進(jìn)行了核試驗(yàn)而違背了上述條約,一種可行的方案是通過(guò)觀察部署在前蘇聯(lián)周圍的地震儀來(lái)檢測(cè)前蘇聯(lián)的核試驗(yàn),然而該方案需要對(duì)地震儀產(chǎn)生的時(shí)間序列進(jìn)行DFT運(yùn)算并且運(yùn)算量巨大。John Wilder Tukey作為該科學(xué)顧問(wèn)委員會(huì)的成員,初步給出了一種如何降低DFT運(yùn)算量的方法。而同為該委員會(huì)的IBM公司的Richard Garwin,立即意識(shí)到了該方法的重要性,因?yàn)榻档虳FT運(yùn)算量對(duì)很多其他的國(guó)防應(yīng)用例如核潛艇遠(yuǎn)距離的聲學(xué)檢測(cè)等均有重要的意義,隨后,Richard Garwin介紹John Wilder Tukey與IBM公司的James William Cooley聯(lián)系,共同研究降低DFT運(yùn)算量的有效方法,并在1965年發(fā)表了一篇學(xué)術(shù)論文[2],提出了基二FFT 算法。

結(jié)合FFT提出的時(shí)代背景,可以看出,科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與國(guó)家的戰(zhàn)略需求緊密相關(guān),在國(guó)家戰(zhàn)略需求的牽引下,往往能獲得更有價(jià)值的研究成果。當(dāng)前我們國(guó)家在芯片工藝和硬件算力等方面還面臨著諸多的挑戰(zhàn),與國(guó)外先進(jìn)水平具有一定的差距,特別是當(dāng)前的卡脖子技術(shù)更需要我們花大力氣去攻關(guān)和突破。而另一方面,我們也可以通過(guò)優(yōu)化軟件和算法,降低算法的運(yùn)算量,在相同性能條件下減少對(duì)硬件算力的要求,這也正是FFT算法當(dāng)年在美國(guó)國(guó)家戰(zhàn)略需求下的思路,如今看來(lái)仍具有重要參考價(jià)值。

2 線性卷積與循環(huán)卷積的思政教學(xué)

“數(shù)字信號(hào)處理”課程在介紹完FFT算法之后,通常會(huì)給出其重要的應(yīng)用——通過(guò)FFT來(lái)快速計(jì)算線性卷積。

當(dāng)兩個(gè)序列的循環(huán)卷積的長(zhǎng)度大于等于這兩個(gè)序列的長(zhǎng)度之和減1時(shí),這兩個(gè)序列的循環(huán)卷積等價(jià)于它們的線性卷積。而循環(huán)卷積可以通過(guò)三次FFT運(yùn)算快速獲得,具體而言,首先分別對(duì)兩個(gè)序列進(jìn)行相同點(diǎn)數(shù)的FFT運(yùn)算,然后將運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行逐點(diǎn)相乘,最后作一次FFT反變換(Inverse FFT, IFFT)運(yùn)算,考慮到IFFT運(yùn)算量幾乎與FFT相同,因此共計(jì)三次FFT運(yùn)算。由于FFT的運(yùn)算量與其序列長(zhǎng)度的對(duì)數(shù)成正比,當(dāng)序列長(zhǎng)度較長(zhǎng)時(shí),三次FFT的運(yùn)算量會(huì)遠(yuǎn)小于直接按照定義式進(jìn)行逐點(diǎn)移位再對(duì)應(yīng)元素相乘相加的線性卷積,因此實(shí)際工程應(yīng)用中,計(jì)算機(jī)通常使用三次FFT來(lái)計(jì)算線性卷積。

圍繞循環(huán)卷積可充分利用FFT進(jìn)行快速實(shí)現(xiàn)這一優(yōu)勢(shì),無(wú)線通信構(gòu)建了新型的傳輸方式。眾所周知,無(wú)線通信的接收信號(hào)序列通常等于發(fā)送信號(hào)序列與無(wú)線信道沖激響應(yīng)序列的線性卷積再額外加上噪聲,為了能使接收信號(hào)序列等于發(fā)送信號(hào)序列與無(wú)線信道沖激響應(yīng)序列的循環(huán)卷積再加上噪聲,大家通常會(huì)聯(lián)想到對(duì)上述三個(gè)序列分別實(shí)施加長(zhǎng)點(diǎn)數(shù)的FFT,其中FFT點(diǎn)數(shù)長(zhǎng)度不短于發(fā)送信號(hào)序列長(zhǎng)度與無(wú)線信道沖激響應(yīng)序列長(zhǎng)度之和減一。那么,如果不實(shí)施加長(zhǎng)點(diǎn)數(shù)的FFT,有沒(méi)有其他方法呢?不妨鼓勵(lì)學(xué)生們另辟蹊徑,積極探索,尋找新的思路。

實(shí)際上,目前有兩種方法,一種是對(duì)發(fā)送信號(hào)序列添加循環(huán)前綴(Cyclic Prefix, CP)之后再將其發(fā)送進(jìn)入無(wú)線信道,其中CP通過(guò)將發(fā)送信號(hào)序列尾部的一部分復(fù)制并搬移到該序列的頭部得到,并且滿足CP的長(zhǎng)度不短于無(wú)線信道沖激響應(yīng)序列的長(zhǎng)度;相應(yīng)地,在無(wú)線通信的接收端需要先去掉對(duì)應(yīng)的CP,剩下的序列部分作為接收信號(hào)序列。這樣,FFT的點(diǎn)數(shù)只需要大于發(fā)送信號(hào)序列長(zhǎng)度和無(wú)線信道沖激響應(yīng)序列長(zhǎng)度,這相比于實(shí)施加長(zhǎng)點(diǎn)數(shù)的FFT,FFT點(diǎn)數(shù)更少,更加經(jīng)濟(jì)劃算,復(fù)雜度更低。為了能讓學(xué)生們充分理解這一目前已廣泛工程應(yīng)用的方法,可以鼓勵(lì)學(xué)生們從現(xiàn)象看到本質(zhì)。循環(huán)卷積本質(zhì)上是先將序列進(jìn)行周期延拓,然后進(jìn)行線性卷積并取主值區(qū)間。在這一方法中,其實(shí)可看作固定了無(wú)線信道沖激響應(yīng)序列不變,將發(fā)送信號(hào)序列進(jìn)行周期延拓后再進(jìn)行線性卷積,而這樣的周期延拓并不需要延拓發(fā)送信號(hào)序列的完整的一個(gè)周期,只需要延拓其CP長(zhǎng)度的部分,因?yàn)槌^(guò)CP長(zhǎng)度多延拓出來(lái)的部分其實(shí)對(duì)主值區(qū)間內(nèi)的結(jié)果并沒(méi)有貢獻(xiàn)。而這恰恰來(lái)源于循環(huán)卷積定義式的細(xì)化思考和認(rèn)識(shí)。在這點(diǎn)上,也給學(xué)生們帶來(lái)一些啟發(fā),要深入理解概念并看到其根本,只有立足根本,才能學(xué)得更加扎實(shí),以不變應(yīng)萬(wàn)變。

另一種方法是對(duì)發(fā)送信號(hào)序列尾部補(bǔ)零(Zero Padding, ZP)之后再將其發(fā)送進(jìn)入無(wú)線信道,其中ZP是指全零序列,ZP的長(zhǎng)度跟CP的要求一樣——不短于無(wú)線信道沖激響應(yīng)序列長(zhǎng)度;相應(yīng)的,在接收端需要進(jìn)行對(duì)應(yīng)處理,將接收信號(hào)的尾部ZP長(zhǎng)度部分截取下來(lái),疊加到其頭部ZP長(zhǎng)度部分,再將其作為有效的接收信號(hào)序列,這樣,仍能滿足接收信號(hào)序列等于發(fā)送信號(hào)序列與無(wú)線信道沖激響應(yīng)序列的循環(huán)卷積再加上噪聲。這不禁啟發(fā)學(xué)生們思考,既然第一種方法在頭部增加CP有效果,為什么還要用第二種方法在尾部增加ZP并在接收端頭尾混疊相加處理呢?其實(shí),增加CP是要額外消耗發(fā)射信號(hào)能量的,而增加ZP卻不會(huì);特別當(dāng)CP比較長(zhǎng)的時(shí)候,消耗的發(fā)射信號(hào)能量更大,而ZP卻沒(méi)有這個(gè)問(wèn)題。在實(shí)際工程應(yīng)用例如水下聲通信時(shí),水聲信道沖激響應(yīng)序列通常很長(zhǎng),這時(shí)增加CP對(duì)發(fā)射信號(hào)功率的消耗就較大,因?yàn)橐驝P和ZP的長(zhǎng)度大于等于信道沖激響應(yīng)序列長(zhǎng)度,這時(shí)使用ZP就具有明顯的優(yōu)勢(shì)[3]。目前這種使用ZP的方法已經(jīng)在國(guó)防中得到了廣泛應(yīng)用。

而第一種方法,是多載波無(wú)線傳輸技術(shù)——正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)的重要理論基礎(chǔ)[4]。目前OFDM技術(shù)已在第四代移動(dòng)通信(4G)和第五代移動(dòng)通信(5G)中廣泛使用。我國(guó)移動(dòng)通信技術(shù)水平經(jīng)歷了1G空白、2G跟隨、3G突破和4G并跑的不斷突破,現(xiàn)在5G已處于領(lǐng)跑狀態(tài)。在1G時(shí)代,我國(guó)的通信網(wǎng)絡(luò)建設(shè)剛剛起步,技術(shù)和設(shè)備全部依賴進(jìn)口,關(guān)鍵核心技術(shù)處于一片空白狀態(tài)。在2G 時(shí)代,我國(guó)的通信領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)了從模擬到數(shù)字的跨越,開(kāi)始努力跟隨國(guó)際先進(jìn)技術(shù)。在3G 時(shí)代,我國(guó)在移動(dòng)通信領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)了突破和創(chuàng)新,研發(fā)了具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的TDS-CDMA國(guó)家標(biāo)準(zhǔn),為后續(xù)的技術(shù)突破奠定了基礎(chǔ)。在4G 時(shí)代,我國(guó)通信裝備制造業(yè)已與世界先進(jìn)水平同步,處于與國(guó)際領(lǐng)先水平并跑的狀態(tài)。如今在5G 時(shí)代,我們?cè)?G技術(shù)研發(fā)和應(yīng)用上扮演了國(guó)際領(lǐng)跑者的角色,特別是涌現(xiàn)了華為等處于國(guó)際領(lǐng)先水平的龍頭企業(yè)。今天的輝煌成就,離不開(kāi)黨和國(guó)家的正確領(lǐng)導(dǎo)和堅(jiān)定支持,是一代代通信人的艱苦奮斗的成果。從上述案例中,能讓學(xué)生更清晰地認(rèn)識(shí)到所學(xué)的課堂知識(shí)如何在科研中得到應(yīng)用,使教學(xué)與科研相結(jié)合。很多學(xué)生實(shí)際上經(jīng)常困惑,課堂學(xué)習(xí)的書本知識(shí)是否過(guò)時(shí)了?與當(dāng)前的新技術(shù)有何關(guān)系?而上述案例,正好能解決學(xué)生的這一困惑。而更重要的是,在這一過(guò)程中,還能增強(qiáng)學(xué)生們的民族自信心,激發(fā)學(xué)生們的民族自豪感和歷史使命感,鼓勵(lì)學(xué)生們秉承光榮傳統(tǒng),積極投身國(guó)家關(guān)鍵核心行業(yè),立志科技報(bào)國(guó),為實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的中國(guó)夢(mèng)而不懈奮斗,在偉大夢(mèng)想中成就個(gè)人理想。

3 IIR與FIR濾波的思政教學(xué)

“數(shù)字信號(hào)處理”課程中分別介紹了IIR和FIR濾波器設(shè)計(jì)方法。IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法具體包括了脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變化法和最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法具體包括了窗口法、頻率采樣法和最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[5]。有學(xué)生問(wèn),既然學(xué)了IIR濾波器設(shè)計(jì)方法,為什么還要學(xué)FIR濾波器設(shè)計(jì)方法?其實(shí),這就要看IIR和FIR的優(yōu)缺點(diǎn)了。學(xué)完這兩部分內(nèi)容后,可知,IIR濾波器設(shè)計(jì)可借助經(jīng)典模擬濾波器例如巴特沃斯、切比雪夫和橢圓等輔助數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),其中模擬經(jīng)典濾波器通常都有解析表達(dá)式;而FIR濾波器一般無(wú)解析表達(dá)式,通常要借助計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行設(shè)計(jì)。FIR濾波器穩(wěn)定且具有線性相位,而IIR濾波器不具備。但在相同性能指標(biāo)下,FIR濾波器的階數(shù)要比IIR濾波器更高。因此,IIR濾波器和FIR濾波器各有優(yōu)缺點(diǎn),正如任何事物都有兩面性,既有優(yōu)點(diǎn)又有缺點(diǎn),只有從多個(gè)維度看待事物才能看得更加全面,實(shí)際中需要結(jié)合應(yīng)用場(chǎng)景具體問(wèn)題具體分析。

IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法中,最先給出了脈沖響應(yīng)不變法,但是它的缺點(diǎn)在于無(wú)法實(shí)現(xiàn)S平面到Z平面的唯一映射、不能直接用來(lái)設(shè)計(jì)高通濾波器和帶阻濾波器。針對(duì)該缺點(diǎn),通過(guò)引入正切變換提出了雙線性變化法,實(shí)現(xiàn)了S平面到Z平面的唯一映射,并且實(shí)現(xiàn)了四種類型的濾波器都能設(shè)計(jì)的目的,但也帶來(lái)了新的問(wèn)題——模擬角頻率和數(shù)字角頻率之間出現(xiàn)了非線性的變化關(guān)系,使得數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對(duì)于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)出現(xiàn)了畸變,而在脈沖響應(yīng)不變法中兩者是線性的變換關(guān)系并沒(méi)有畸變。因此,學(xué)生們?cè)谡n程學(xué)習(xí)的過(guò)程中,也要同時(shí)培養(yǎng)客觀看待事物的多面性的能力和心態(tài)。

FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法中,最先給出了窗口法,隨后給出了頻率采樣法。窗口法以逼近理想濾波器的時(shí)域沖激響應(yīng)為目標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器,而頻率采樣法以逼近理想濾波器的頻率響應(yīng)為目標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器,兩者分別從時(shí)域和頻域切入進(jìn)行分析。窗口法需要利用濾波器時(shí)域解析表達(dá)式,設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)單;而頻率采樣法不需要解析表達(dá)式更適合計(jì)算機(jī)處理。最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,對(duì)窗口法和頻率采樣法進(jìn)一步泛化,又涉及多種最優(yōu)化的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。因此,學(xué)生們?cè)谡n程學(xué)習(xí)過(guò)程中,不僅要能從多個(gè)維度看待事物,也要提高從多個(gè)維度切入分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。例如,能從時(shí)域切入解決問(wèn)題最好,若不能解決,那能否從頻域切入解決呢?若頻域也不能解決,是否還有其他的維度呢?

不僅在課堂上,在課余學(xué)習(xí)生活中,也要學(xué)會(huì)從多個(gè)維度全面地看待事物并能從不同維度切入解決問(wèn)題。我們的國(guó)家、社會(huì)處于快速發(fā)展和進(jìn)步中,有些其他國(guó)家抨擊我們的話,是否正確,需要多思考思考,不要一味盲從,古人云“人言務(wù)經(jīng)、自心悟之”也就是這個(gè)道理,要能從多個(gè)維度去看問(wèn)題,相信黨和國(guó)家的決策和部署。自己身邊的朋友、同學(xué),所處的學(xué)校、社會(huì),都不可能盡善盡美,或多或少都會(huì)有缺點(diǎn)或這樣那樣的問(wèn)題,不要只看到缺點(diǎn)而看不到優(yōu)點(diǎn),事物都有多面性,要多維度全面看待,具有包容、寬容的心態(tài)。自己做好手頭的工作,從自己做起,不要怨天尤人,多樹(shù)立積極向上的心態(tài),多傳播正能量,世界會(huì)因你而更加美好。

4 結(jié)語(yǔ)

上述思政內(nèi)容部分用于2022年的“數(shù)字信號(hào)處理”課程教學(xué),學(xué)生表現(xiàn)出對(duì)課程思政內(nèi)容更高的興趣,更加清楚地認(rèn)識(shí)到國(guó)家戰(zhàn)略需求與個(gè)人科研的內(nèi)在聯(lián)系,學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性進(jìn)一步提高,能針對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行更全面的思考和分析,同時(shí)也進(jìn)一步了解了課程內(nèi)容如何在實(shí)際工程中應(yīng)用,實(shí)現(xiàn)了更好的課程教學(xué)效果。當(dāng)然,“數(shù)字信號(hào)處理”課程包含了諸多的思政元素和思政素材,本文給出的三個(gè)案例只是進(jìn)行了初步的探索,主要是希望能給讀者們一些啟發(fā),產(chǎn)生更多更好的思政內(nèi)容,從而推動(dòng)課程思政工作更加完善。