田社平， 喬樹通， 張 峰

（上海交通大學電子信息與電氣工程學院，上海 200240）

0 引言

單位沖激響應反映了電路的性質。若已知電路的單位沖激響應，則可利用卷積積分的概念求解電路對任意激勵的零狀態(tài)響應［1-3］。在“電路理論”課程教學中，沖激響應、卷積積分皆被列為基本教學內容［4-5］。單位沖激響應是一人為定義的概念：單位沖激函數(shù)是理想的數(shù)學函數(shù)，在物理世界很難構造這一理想的函數(shù)。實際中很難直接通過實驗直接測得（單位）沖激響應。在實際中，一些容易實現(xiàn)的信號，如（單位）階躍激勵、指數(shù)衰減激勵、正弦激勵等往往被用來作為電路的激勵［6-7］。如何利用這些非沖激激勵下的電路響應來計算電路的單位沖激響應，在理論上和實驗中都是一個值得加以研究的問題［8］。

在復頻域利用卷積定理可以容易計算單位沖激響應的拉氏變換。這一理論上簡便的方法在實現(xiàn)時須借助數(shù)字信號處理技術，系統(tǒng)無論是經(jīng)濟成本還是復雜度都是比較高的。

本文提出一種沖激響應時域分析法，給出實現(xiàn)電路的設計方法。通過數(shù)值仿真和電路測試驗證了該方法的正確性。沖激響應時域分析法具有物理含義明確，設計過程簡明，實現(xiàn)成本低廉的特點。

1 單位沖激響應時域分析法

對任意單一激勵的線性非時變動態(tài)系統(tǒng)，假設系統(tǒng)的激勵為x（t）、響應為y（t），在單位沖激激勵下的響應為h（t），則系統(tǒng)的響應和激勵滿足［9］

卷積積分是較為復雜的數(shù)學運算，直接由式（1）求解h（t）是比較困難的。為求解h（t），可引入一個中間函數(shù)來簡化計算過程。假設該函數(shù)為g（t），將g（t）與式（1）兩邊進行卷積積分，得

令函數(shù)g（t）滿足

則由式（2）不難得到

對于給定激勵x（t）、響應y（t），如果能夠找到滿足式（3）的函數(shù)g（t），則由式（4）即可求得單位沖激響應h（t）。

利用卷積積分的性質，可求得常見激勵函數(shù)所對應的函數(shù)g（t）。

例1階躍激勵Aε（t），其中A為比例系數(shù)。由式（3），函數(shù)g（t）滿足

由卷積積分的微積分性質［9］，得

由式（6）可得

亦即

可見，g（t）等于一階沖激偶函數(shù)除以一個比例系數(shù)。

例2指數(shù)衰減激勵Ae-αtε（t）（α＞0）。由式（3），函數(shù)g（t）滿足

直接求解g（t）較為困難?？衫孟铝袃墒介g接求解。

由式（10）、（11）可得

可見，g（t）滿足

例3正弦激勵Acos（ωt）ε（t）。由式（3），函數(shù)g（t）滿足

為求解g（t），先寫出如下等式

由式（15）、（16）可得

可見，g（t）滿足

類似地，可求出對應正弦激勵Asin（ωt）ε（t）的g（t）函數(shù)

上述求解結果利用卷積定理不難加以驗證。

2 沖激響應測量電路設計及其實驗驗證

以指數(shù)衰減激勵為例討論沖激響應測量電路的設計。假設系統(tǒng)的激勵為x（t）=Ae-αtε（t）、響應為y（t），由上面討論可知，系統(tǒng)的沖激響應

由式（20）可得測量系統(tǒng)實現(xiàn)框圖如圖1 所示。

圖1 系統(tǒng)沖激響應測試圖框

2.1 RC電路沖激響應的測量

RC電路是典型的一階系統(tǒng)，針對RC電路，設計出如圖2 所示的沖激響應測試電路，取電容電壓作為電路的響應。測試電路包含跟隨器、微分電路、加法電路、放大電路等，其中跟隨器起隔離作用，加法電路采用反相電路，放大電路也采用反相電路［10-11］。RC電路的激勵取x（t）=0.1e-0.2tε（t）V（見圖2 中的元件ui）。

圖2 一階RC電路沖激響應測試電路

微分電路采用具有高輸入阻抗的微分電路［10-12］，工作電路如圖3 所示。由圖可知，傳遞函數(shù)

圖3 微分電路工作原理

可見，電路的輸入、輸出關系為

亦即該電路對輸入電壓信號起到了微分的作用。按圖2 所示電路元件參數(shù)，微分電路的R3=R4=100 kΩ，C2=C3=1 μF，可知RC=0.1，即微分電路在實現(xiàn)微分功能的同時，還對輸入信號放大了0.1 倍。在反相加法電路，對微分輸出信號又放大了10 倍（圖中R5=2 kΩ，R6=20 kΩ）。

由于A=0.1，α=0.2，在反相加法電路，對RC電路的響應信號放大0.2 倍（R2=100 kΩ，R6=20 kΩ），在反相放大電路部分，其放大倍數(shù)為1/A=10（R9=10 kΩ，R10=100 kΩ）。

按圖2 所示電路中RC電路的參數(shù)（R1=200 kΩ，C1=10 μF），可知，此RC電路的沖激響應為

為驗證圖2 電路的正確性，采用Multisim軟件［13］進行實驗仿真，仿真結果如圖4 所示。由圖可知，沖激響應仿真結果與沖激響應的理論結果幾乎完全重合，初步驗證了圖2 電路的正確性。

圖4 RC電路沖激響應仿真結果

按圖2 電路設計，搭建電路進行測量。采用AD713AQ四運放，該運放具有低輸入偏置電流、輸入失調電流和輸入電壓噪聲。微分電路中的電容采用聚丙烯薄膜電容［14］。電路中所有電阻選用1/8W、1%金屬膜電阻。激勵信號通過數(shù)模轉換系統(tǒng)自動生成。實測沖激響應結果如圖5 所示。

圖5 RC電路沖激響應實測結果

由圖5 可知，所得結果與理論結果吻合，在響應的開始階段，曲線上出現(xiàn)“毛刺”。產(chǎn)生這一現(xiàn)象的主要原因：

（1）激勵信號通過數(shù)模轉換系統(tǒng)產(chǎn)生，它不是理想的光滑曲線。

（2）微分電路中的運放、電容不是理想元件，當被微分信號變化較為劇烈時，電路會產(chǎn)生自激振蕩，從而產(chǎn)生“毛刺”［15］。

事實上，對RC電路的電容電壓響應進行分析，可求得電容電壓響應

對式（24）兩邊求導，得

可見，在t=0 時刻，uC1（t）的變化率最大，隨著時間的延長，其變化率逐步降低，自激振蕩現(xiàn)象消失，響應曲線變得光滑。

2.2 RLC電路沖激響應的測量

RLC電路是典型的二階系統(tǒng)，針對RLC電路，設計出如圖6 所示的測試仿真電路，取電容電壓作為電路的響應。電路參數(shù)分別取R1=1 Ω，L1=1 H，C1=1 F。電路的激勵、測試電路部分與圖2 電路相同。

圖6 RLC電路沖激響應測試電路

由RLC電路的元件參數(shù)，可求得電路沖激響應

采用Multisim軟件對圖6 電路進行實驗仿真，仿真結果如圖7 所示。由圖7 可知，該結果與式（25）所示理論結果完全吻合。

圖7 RLC電路沖激響應仿真結果

按照圖6 電路的設計，搭建電路進行測量。取RLC電路的元件參數(shù)：R1=20 kΩ，L1=1 mH，C1=10 μF。經(jīng)過理論分析，可求得電容C1的電壓沖激響應

實測沖激響應結果如圖8 所示。由圖8 可知，所得結果與理論結果吻合。與一階RC電路沖激響應測量結果類似，在響應的開始階段，曲線上也有“毛刺”出現(xiàn)?！懊獭碑a(chǎn)生的原因與上面分析類似。

圖8 RLC電路沖激響應實測結果

3 結語

基于卷積積分的概念和性質，提出一種電路沖激響應的時域分析方法。針對一、二階電路設計沖激響應測量電路。實驗、仿真結果表明，本文方法可以準確測量系統(tǒng)的沖激響應。

所提沖激響應測量方法實現(xiàn)了從時域直接對單位沖激響應的測量，概念簡單，物理含義明確，且電路實現(xiàn)簡單、成本低。