任 蕾，薄 華，金欣磊，張韻農(nóng)，楊忠根

(上海海事大學(xué)電子工程系，上海200135)

單位階躍響應(yīng)的概念和求解是“信號(hào)與系統(tǒng)”課程教學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)之一。目前，多數(shù)教材中給出單位沖激響應(yīng)的時(shí)域方法［1-6]，國內(nèi)的部分學(xué)者也總結(jié)了沖激響應(yīng)時(shí)域求解的多種求解方法［7]。單位階躍響應(yīng)可通過對(duì)沖激響應(yīng)積分或?qū)⑵渑c單位階躍信號(hào)卷積，在時(shí)域中求解。

本文從沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的關(guān)系、微分方程求解和時(shí)域規(guī)范化方法三個(gè)角度出發(fā)，討論單位階躍響應(yīng)的時(shí)域一般求解方法，并給予實(shí)例證明方法的有效性。

1 單位階躍響應(yīng)的時(shí)域求解方法

1.1 問題描述

設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為式中，f(t)是系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)，系統(tǒng)初始條件為，y(t)是系統(tǒng)的響應(yīng)信號(hào)。

1.2 單位階躍響應(yīng)的時(shí)域求解方法

(1)利用單位沖激響應(yīng)求解階躍響應(yīng)

通過對(duì)沖激響應(yīng)的積分運(yùn)算或與單位階躍信號(hào)的卷積，可得系統(tǒng)的階躍響應(yīng):

該方法概念清楚，但需首先求解系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。值得注意的是，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)即為系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。

(2)微分方程求解的方法

由于系統(tǒng)階躍響應(yīng)是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，因此可利用經(jīng)典微分方程求解方法求解。

將單位階躍信號(hào)代入微分方程，可得階躍響應(yīng)即為求解方程:

(3)時(shí)域規(guī)范化方法

［思路1] :受單位沖激響應(yīng)規(guī)范化方法的啟發(fā)，可得規(guī)范化單位階躍響應(yīng)求解方法。

第二個(gè)子系統(tǒng)和各規(guī)范化子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)分別為

規(guī)范化系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為

［思路2] :借鑒文獻(xiàn)［6] 中等效激勵(lì)方法，階躍響應(yīng)也可按如下步驟進(jìn)行。

①首先求解對(duì)應(yīng)的規(guī)范化系統(tǒng)沖激響應(yīng)hx(t);

規(guī)范化方法不受n與m大小的影響，同時(shí)避免了系統(tǒng)初始條件求解，較為簡(jiǎn)便。

1.3 三種方法的對(duì)比

為了說明上述三個(gè)方法的特點(diǎn)，其對(duì)比見表1。

表1 :單位階躍響應(yīng)時(shí)域求解方法對(duì)比表

可以看出，利用沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)微積分關(guān)系的方法，是最常用的方法，其前提是計(jì)算系統(tǒng)的沖激響應(yīng);時(shí)域直接求解階躍響應(yīng)的方法，概念較清楚，無需求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，其難點(diǎn)在于判斷系統(tǒng)0+時(shí)刻的初始條件;規(guī)范化階躍響應(yīng)求解方法，借鑒了規(guī)范法沖激響應(yīng)求解方法，該方法無需判斷求解系統(tǒng)的初始條件。

2 單位階段響應(yīng)時(shí)域求解舉例

為了說明給出的單位階躍響應(yīng)時(shí)域求解方法的有效性，下面以兩個(gè)實(shí)際例子說明其應(yīng)用過程，分別對(duì)應(yīng)微分方程中n＞m和n=m兩類情況。

［例1] :下述某線性時(shí)不變系統(tǒng)微分方程為

試求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

解:該系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)n＞m情況，可采用如下三種方法。

(1)單位沖激響應(yīng)間接求解方法

首先利用時(shí)域方法(可以任意選擇一種)求解該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為

因此，通過對(duì)其卷積單位階躍信號(hào)(或?qū)_激響應(yīng)做積分運(yùn)算)得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

(2)直接求解階躍響應(yīng)方法

當(dāng)系統(tǒng)激勵(lì)信號(hào)為單位階躍信號(hào)時(shí)，微分方程可以寫為

因此，設(shè)階躍響應(yīng)的形式寫為

由方程得gp(t)=(3/2)u(t)，且g(0+)=g(0－)=0，g'(0+)=g'(0－)+1=1，由此確定待定系數(shù):A1=－2，A2=1/2。

可得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

(3)規(guī)范化求解方法

我們利用求解方法(3)的思路，首先求解對(duì)應(yīng)的規(guī)范化一階系統(tǒng)g1'(t)+g1(t)=u(t)的階躍響應(yīng)為g1(t)=-e－tu(t)+u(t)。則該規(guī)范化二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為

可得原系統(tǒng)階躍響應(yīng)為

［例2] :下述某線性時(shí)不變系統(tǒng)微分方程為

試求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

解:該系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)n=m情況，可采用如下三種方法。

(1)單位沖激響應(yīng)間接求解方法

首先利用時(shí)域方法(可以任意選擇一種)求解該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為

因此，通過對(duì)其卷積單位階躍信號(hào)(或?qū)_激響應(yīng)做積分運(yùn)算)得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

(2)直接求解階躍響應(yīng)方法

當(dāng)系統(tǒng)激勵(lì)信號(hào)為單位階躍信號(hào)時(shí)，微分方程可以寫成為

因此設(shè)階躍響應(yīng)的形式為

由方程得:gp(t)=(2/5)u(t);且g(0+)=g(0－)+1，g'(0+)=g'(0－)－1=-1由此確定待定系數(shù)為A1=2/3，A2=-1/15。

系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

(3)規(guī)范化求解方法

我們利用思路2求解該題，該系統(tǒng)對(duì)應(yīng)規(guī)范化系統(tǒng)沖激響應(yīng)為hx(t)=e-2tu(t)*e-5tu(t)=1/3(e-2t－e-5t)u(t)，且等效零狀態(tài)激勵(lì)為xg(t)=δ'(t)+6δ(t)+4u(t)。

可得系統(tǒng)的單位活躍響應(yīng)為

3 結(jié)語

本文對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的時(shí)域求解方法進(jìn)行了總結(jié)和歸納。這些種方法提供了直接求解或結(jié)合單位沖激響應(yīng)求解的階躍響應(yīng)時(shí)域分析思路，可根據(jù)具體的情況選擇。

［1] 奧本海姆著，劉樹棠譯.信號(hào)與系統(tǒng)(第二版)［M] .西安:西安交通大學(xué)出版社，1998

［2] 鄭君里，應(yīng)啟珩，楊為理.信號(hào)與系統(tǒng)［M] .北京:高等教育出版社，2000

［3] 管致中，夏恭恪，孟橋.信號(hào)與線性系統(tǒng)(第四版)［M] .北京:高等教育出版社，2004

［4] 吳大正，信號(hào)與線性系統(tǒng)分析(第四版)［M] .北京:高等教育出版社，2006

［5] B.P拉茲著，劉樹棠等譯.線性系統(tǒng)與信號(hào)(第2版)［M] .西安:西安交通大學(xué)出版社，2006

［6] 楊忠根，任蕾，陳紅亮，信號(hào)與系統(tǒng)［M] .北京:電子工業(yè)出版社，2009

［7] 杜世民，楊潤萍，LTI系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的時(shí)域解法研究［J] .南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，Vol.29，No.5，2007年10月，44-46