薛 健，陳后金，胡 健

(北京交通大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京100044)

0 引言

FIR數(shù)字濾波器是指系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h［k] 僅在有限范圍內(nèi)有非零值的濾波器。M階FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)可表示為

由于FIR數(shù)字濾波器很容易設(shè)計(jì)成線性相位的濾波器，在實(shí)際中FIR濾波器有著廣泛的應(yīng)用。

線性相位FIR濾波器的頻域特性，是“數(shù)字信號(hào)處理”課程中的一個(gè)重要內(nèi)容?，F(xiàn)有的教材在分析這個(gè)問題時(shí)采用了幾乎相同的方法，即利用四種線性相位FIR濾波器的時(shí)域?qū)ΨQ特性，分別求出對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)，分析其頻域特性。

本文給出了一種與傳統(tǒng)教材不同的分析方法。該方法以Ⅰ型線性相位系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為基礎(chǔ)，將其他三種類型線性相位系統(tǒng)的頻率響應(yīng)表示為Ⅰ型線性相位系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與一簡單函數(shù)的乘積。該方法的特點(diǎn)是當(dāng)Ⅰ型線性相位FIR濾波器的頻率響應(yīng)給出后，可以很容易地推得其他類型線性相位FIR濾波器的頻率響應(yīng)。由于將Ⅱ型、Ⅲ型和Ⅳ型線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)表示為Ⅰ型線性相位系統(tǒng)的幅度函數(shù)與三角函數(shù)的積，可由幅度函數(shù)表達(dá)式方便的得出不同類型線性相位FIR濾波器的頻域特性。

1 線性相位條件

若M階FIR濾波器頻率響應(yīng)H(ejΩ)可寫為

式中，α和β是與Ω無關(guān)的常數(shù)，A(Ω)是一可正可負(fù)的實(shí)函數(shù)，則該濾波器稱為廣義線性相位系統(tǒng)，A(Ω)稱為系統(tǒng)的幅度函數(shù)。

如果M階FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h［k] 是實(shí)數(shù)，則可以證明系統(tǒng)是線性相位的充要條件為［1－3]

當(dāng)h［k] 滿足h［k] =h［M－k] ，稱h［k] 為偶對(duì)稱。當(dāng)h［k] 滿足h［k] =-h［M－k] ，稱h［k] 為奇對(duì)稱。由于按對(duì)稱性h［k] 可分為偶對(duì)稱和奇對(duì)稱，按階數(shù)h［k] 又可分為M奇數(shù)和M為偶數(shù)，所以線性相位的FIR數(shù)字濾波器有四種類型，如圖1所示。

如采利用線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h［k] 的對(duì)稱性，可得

2 線性相位系統(tǒng)的頻域特性

四種不同類型的線性相位FIR系統(tǒng)，由于h［k] 的對(duì)稱性及濾波器階數(shù)M的奇偶不同，其頻域特性各有其特點(diǎn)。

1)Ⅰ型線性相位濾波器(h［k] 偶對(duì)稱，M偶數(shù))

M階Ⅰ型線性相位濾波器的頻率響應(yīng)可表示為［4-10]

由上式知，Ⅰ型線性相位系統(tǒng)幅度函數(shù)A(Ω)的周期為2π，且有

2)Ⅱ型線性相位濾波器(h［k] 偶對(duì)稱，M奇數(shù))

由系統(tǒng)的偶對(duì)稱特性，式(4)可寫為

由于M是奇數(shù)，將z=-1代入上式可得

所以，H(-1)=0。故Ⅱ型線性相位濾波器可表示為

其中，H1(z)是M－1階的Ⅰ型線性相位系統(tǒng)。由式(5)可知，H1(z)的頻率響應(yīng)可表示為

綜合式(8)和式(9)，M階Ⅱ型線性相位系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可表示為

由上式可知，Ⅱ型線性相位系統(tǒng)幅度函數(shù)的周期為4π，且

即Ⅱ型線性相位系統(tǒng)幅度函數(shù)A(Ω)關(guān)于Ω=0偶對(duì)稱，Ω=π奇對(duì)稱，并且A(π)=0。所以Ⅱ型線性相位濾波器不能用于高通和帶阻等濾波器設(shè)計(jì)。

3)Ⅲ型線性相位濾波器(h［k] 奇對(duì)稱，M偶數(shù))由系統(tǒng)的奇對(duì)稱特性，式(4)可寫為

由于M是偶數(shù)，將z=-1，z=1代入上式可得

所以H(-1)=H(1)=0。故Ⅲ型線性相位濾波器可表示為

其中，H2(z)是M－2階的Ⅰ型線性相位系統(tǒng)。

由式(5)和式(10)，M階Ⅲ型線性相位系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可表示為

即幅度函數(shù)關(guān)于Ω=0和Ω=π奇對(duì)稱，并且有A(0)=A(π)=0。所以Ⅲ型線性相位濾波器不能用于高通和低通濾波器的設(shè)計(jì)。

4)Ⅳ型線性相位濾波器(h［k] 奇對(duì)稱，M奇數(shù))

由于M是奇數(shù)，將z=1代入式(9)可得H(1)=-H(1)，所以有H(1)=0。故Ⅳ型線性相位濾波器可表示為

其中，H3(z)是M－1階的Ⅰ型線性相位系統(tǒng)。

由式(5)和式(11)，M階Ⅳ型線性相位系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可表示為

由上式可知，Ⅳ型的線性相位系統(tǒng)的幅度函數(shù)A(Ω)的周期為4π，且

即幅度函數(shù)關(guān)于Ω=0奇對(duì)稱，關(guān)于Ω=π偶對(duì)稱，并且A(0)=0。所以Ⅳ型的線性相位濾波器不能用于低通濾波器的設(shè)計(jì)。

3 結(jié)語

本文給出了一種分析線性相位FIR濾波器頻率響應(yīng)的方法，該方法簡化了線性相位FIR濾波器頻率響應(yīng)的分析過程，突出了FIR濾波器頻域特性，便于學(xué)生掌握線性相位FIR濾波器頻域特性。本文推出的幅度函數(shù)的表達(dá)式與FIR濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)中用到的四種形式FIR濾波器的統(tǒng)一表示一致，但推導(dǎo)過程更加的簡單明了，有利于課堂教學(xué)的進(jìn)行和學(xué)生的理解，深受學(xué)生歡迎。

［1] S.K.Mitra，Digital Signal Processing:A Computer-Based Approach［M] .McGraw Hill，third edition，2006

［2] John.Proakis，Digital Signal Processing:Principles，Algorithms and Application［M] ，fourth edition，Prentice Hall，2007

［3] 黃建國，劉樹棠譯，離散時(shí)間信號(hào)處理［M] ，北京:科學(xué)出版社，1998年

［4] 胡廣書，數(shù)字信號(hào)處理［M] ，第2版，北京:清華大學(xué)出版社，2003

［5] 程佩青，數(shù)字信號(hào)處理教程［M] ，第3版，北京:清華大學(xué)出版社，2007

［6] 高西全，丁玉美，闊永紅，數(shù)字信號(hào)處理［M] ，第2版，北京:電子工業(yè)出版社，2010

［7] 吳鎮(zhèn)揚(yáng)，數(shù)字信號(hào)處理［M] ，第2版，北京:高等教育出版社，2010

［8] 姚天任，江太輝，數(shù)字信號(hào)處理［M] ，第3版，武漢:華中科技大學(xué)出版社，2007

［9] 鄭南寧，程洪，數(shù)字信號(hào)處理［M] ，北京:清華大學(xué)出版社，2007

［10] 陳后金，薛健，胡健，數(shù)字信號(hào)處理［M] ，北京:高等教育出版社，2008