薛 健,陳后金,胡 健
(北京交通大學電子信息工程學院,北京100044)
FIR數(shù)字濾波器是指系統(tǒng)單位脈沖響應h[k] 僅在有限范圍內(nèi)有非零值的濾波器。M階FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)可表示為
由于FIR數(shù)字濾波器很容易設(shè)計成線性相位的濾波器,在實際中FIR濾波器有著廣泛的應用。
線性相位FIR濾波器的頻域特性,是“數(shù)字信號處理”課程中的一個重要內(nèi)容?,F(xiàn)有的教材在分析這個問題時采用了幾乎相同的方法,即利用四種線性相位FIR濾波器的時域?qū)ΨQ特性,分別求出對應的頻率響應,分析其頻域特性。
本文給出了一種與傳統(tǒng)教材不同的分析方法。該方法以Ⅰ型線性相位系統(tǒng)的頻率響應為基礎(chǔ),將其他三種類型線性相位系統(tǒng)的頻率響應表示為Ⅰ型線性相位系統(tǒng)的頻率響應與一簡單函數(shù)的乘積。該方法的特點是當Ⅰ型線性相位FIR濾波器的頻率響應給出后,可以很容易地推得其他類型線性相位FIR濾波器的頻率響應。由于將Ⅱ型、Ⅲ型和Ⅳ型線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)表示為Ⅰ型線性相位系統(tǒng)的幅度函數(shù)與三角函數(shù)的積,可由幅度函數(shù)表達式方便的得出不同類型線性相位FIR濾波器的頻域特性。
若M階FIR濾波器頻率響應H(ejΩ)可寫為
式中,α和β是與Ω無關(guān)的常數(shù),A(Ω)是一可正可負的實函數(shù),則該濾波器稱為廣義線性相位系統(tǒng),A(Ω)稱為系統(tǒng)的幅度函數(shù)。
如果M階FIR濾波器的單位脈沖響應h[k] 是實數(shù),則可以證明系統(tǒng)是線性相位的充要條件為[1-3]
當h[k] 滿足h[k] =h[M-k] ,稱h[k] 為偶對稱。當h[k] 滿足h[k] =-h[M-k] ,稱h[k] 為奇對稱。由于按對稱性h[k] 可分為偶對稱和奇對稱,按階數(shù)h[k] 又可分為M奇數(shù)和M為偶數(shù),所以線性相位的FIR數(shù)字濾波器有四種類型,如圖1所示。
如采利用線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應h[k] 的對稱性,可得
四種不同類型的線性相位FIR系統(tǒng),由于h[k] 的對稱性及濾波器階數(shù)M的奇偶不同,其頻域特性各有其特點。
1)Ⅰ型線性相位濾波器(h[k] 偶對稱,M偶數(shù))
M階Ⅰ型線性相位濾波器的頻率響應可表示為[4-10]
由上式知,Ⅰ型線性相位系統(tǒng)幅度函數(shù)A(Ω)的周期為2π,且有
2)Ⅱ型線性相位濾波器(h[k] 偶對稱,M奇數(shù))
由系統(tǒng)的偶對稱特性,式(4)可寫為
由于M是奇數(shù),將z=-1代入上式可得
所以,H(-1)=0。故Ⅱ型線性相位濾波器可表示為
其中,H1(z)是M-1階的Ⅰ型線性相位系統(tǒng)。由式(5)可知,H1(z)的頻率響應可表示為
綜合式(8)和式(9),M階Ⅱ型線性相位系統(tǒng)的頻率響應可表示為
由上式可知,Ⅱ型線性相位系統(tǒng)幅度函數(shù)的周期為4π,且
即Ⅱ型線性相位系統(tǒng)幅度函數(shù)A(Ω)關(guān)于Ω=0偶對稱,Ω=π奇對稱,并且A(π)=0。所以Ⅱ型線性相位濾波器不能用于高通和帶阻等濾波器設(shè)計。
3)Ⅲ型線性相位濾波器(h[k] 奇對稱,M偶數(shù))由系統(tǒng)的奇對稱特性,式(4)可寫為
由于M是偶數(shù),將z=-1,z=1代入上式可得
所以H(-1)=H(1)=0。故Ⅲ型線性相位濾波器可表示為
其中,H2(z)是M-2階的Ⅰ型線性相位系統(tǒng)。
由式(5)和式(10),M階Ⅲ型線性相位系統(tǒng)的頻率響應可表示為
即幅度函數(shù)關(guān)于Ω=0和Ω=π奇對稱,并且有A(0)=A(π)=0。所以Ⅲ型線性相位濾波器不能用于高通和低通濾波器的設(shè)計。
4)Ⅳ型線性相位濾波器(h[k] 奇對稱,M奇數(shù))
由于M是奇數(shù),將z=1代入式(9)可得H(1)=-H(1),所以有H(1)=0。故Ⅳ型線性相位濾波器可表示為
其中,H3(z)是M-1階的Ⅰ型線性相位系統(tǒng)。
由式(5)和式(11),M階Ⅳ型線性相位系統(tǒng)的頻率響應可表示為
由上式可知,Ⅳ型的線性相位系統(tǒng)的幅度函數(shù)A(Ω)的周期為4π,且
即幅度函數(shù)關(guān)于Ω=0奇對稱,關(guān)于Ω=π偶對稱,并且A(0)=0。所以Ⅳ型的線性相位濾波器不能用于低通濾波器的設(shè)計。
本文給出了一種分析線性相位FIR濾波器頻率響應的方法,該方法簡化了線性相位FIR濾波器頻率響應的分析過程,突出了FIR濾波器頻域特性,便于學生掌握線性相位FIR濾波器頻域特性。本文推出的幅度函數(shù)的表達式與FIR濾波器優(yōu)化設(shè)計中用到的四種形式FIR濾波器的統(tǒng)一表示一致,但推導過程更加的簡單明了,有利于課堂教學的進行和學生的理解,深受學生歡迎。
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