吳志勇

(安徽省合肥一六八中學(xué))

在圓錐曲線中,與定點(diǎn)、定值有關(guān)的二級(jí)結(jié)論大量存在,有的結(jié)論具有優(yōu)美的對(duì)稱性與通用性,便于記憶與應(yīng)用.大部分結(jié)論并不具備便于記憶的特點(diǎn),但這些結(jié)論的運(yùn)用往往會(huì)為解題者提供一個(gè)明晰的目標(biāo),進(jìn)而選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法使待求問(wèn)題得以順利解決.這個(gè)時(shí)候我們?cè)撊绾螌?duì)待不容易記憶但又能夠?yàn)槲覀兘忸}提供大方向的二級(jí)結(jié)論呢? 筆者認(rèn)為針對(duì)這種情況,我們應(yīng)該心懷大格局,從整體上對(duì)這些與定點(diǎn)、定值有關(guān)的二級(jí)結(jié)論進(jìn)行分類,從宏觀上理解并記住在什么條件下會(huì)有定點(diǎn),在什么條件下會(huì)有定值.筆者從斜率之和為定值、斜率之積為定值、由特殊到一般以及極點(diǎn)與極線理論的應(yīng)用四個(gè)方面,通過(guò)典型實(shí)例闡述在問(wèn)題求解過(guò)程中,如何做到心懷大格局,感受目標(biāo)引領(lǐng)方法的解題思想帶給我們的欣喜.

1 斜率之和為定值

1)已知點(diǎn)P是圓錐曲線C上一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),若直線PA,PB的斜率滿足kPA＋kPB＝0,則直線AB的斜率為定值.

例1 已知拋物線C:y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,E(－1,0)為其準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作直線與拋物線C在第一象限交于點(diǎn)A,B,且

(2)設(shè)圓M,過(guò)點(diǎn)A作圓M的兩條切線分別交拋物線C于點(diǎn)P,Q,求△APQ面積的最大值.

分析 本題第(1)問(wèn)根據(jù)準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為E(－1,0),可得p＝2,所以拋物線的方程為y2＝4x.再由拋物線的定義可得,同時(shí)可得A(4,4).第(2)問(wèn)中,因?yàn)锳M⊥x軸,再由對(duì)稱性可得kAP＋kAQ＝0,從而可得直線PQ的斜率為定值.下一步我們只需要根據(jù)條件求出直線PQ的斜率,則直線方程中只含有一個(gè)變量,即△APQ面積的表達(dá)式中只含有一個(gè)變量了,進(jìn)而得出面積的最大值.

求解時(shí)有兩處值得關(guān)注,一是能夠根據(jù)kAP＋kAQ＝0得出直線PQ的斜率為定值,進(jìn)而向著這個(gè)目標(biāo)思考求出直線的斜率,將三角形面積表示為只含有一個(gè)變量的函數(shù)式.二是求直線PQ的方程時(shí)要有整體意識(shí),根據(jù)過(guò)兩點(diǎn)有且僅有一條直線,既得出了直線的斜率為定值,又在直線方程中保留了原始的變量r,為后續(xù)求面積的最值提供了方便.從本題的解題過(guò)程中不難得出,當(dāng)我們有了大格局,就有了明確的解題方向,引領(lǐng)著正確的解題思想,從而將所求問(wèn)題順利解決.

2)若點(diǎn)P是圓錐曲線C上一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),若直線PA,PB的斜率滿足kPA＋kPB＝λ(λ≠0),則直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

分析 根據(jù)條件kPA＋kPB＝－1,可得直線l必過(guò)定點(diǎn),我們只需求出這個(gè)定點(diǎn)后,將直線l設(shè)成只含有一個(gè)參量的方程,再由直線與橢圓相交,求出參量的取值范圍.

以上兩個(gè)例題都是曲線上一定點(diǎn)與兩動(dòng)點(diǎn)的連線斜率之和λ為定值的情況,區(qū)別在于當(dāng)λ＝0時(shí),動(dòng)直線的斜率為定值;當(dāng)λ≠0時(shí),動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn).無(wú)論直線的斜率是定值,還是直線恒過(guò)定點(diǎn),都可以將直線方程轉(zhuǎn)換為只含有一個(gè)參量的方程,從而將問(wèn)題順利解決,故可將兩種情況放在一起記憶.

2 斜率之積為定值

若點(diǎn)P是圓錐曲線C上一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),若直線PA,PB的斜率滿足kPAkPB＝λ(λ≠0),則直線AB恒過(guò)定點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)斜率存在的直線l交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)(P,Q位于x軸的兩側(cè)),記直線A1P,A2P,A2Q,A1Q的 斜 率 分 別 為k1,k2,k3,k4,若k1＋k4＝,求△A2PQ面積的取值范圍.

分析 由第(1)問(wèn)得出橢圓的方程后,第(2)問(wèn)是求橢圓上一個(gè)定點(diǎn)與兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積大小問(wèn)題,故我們可以從已知條件入手,探尋出k2與k3的關(guān)系后,再得出直線PQ恒過(guò)定點(diǎn),將直線PQ轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)參量的方程,進(jìn)而將△A2PQ的面積表示出只含有這個(gè)參量的式子,最后求出取值范圍.

(2)如圖1 所示,由橢圓的第三定義可得

圖1

曲線上一定點(diǎn)與兩動(dòng)點(diǎn)連線的斜率之積為定值,則兩動(dòng)點(diǎn)連線恒過(guò)一定點(diǎn).結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程:首先設(shè)出動(dòng)直線方程y＝kx＋m,將之與曲線方程聯(lián)立,再利用根與系數(shù)的關(guān)系得出y1＋y2與y1y2的表達(dá)式,代入)中,從而得出直線方程中的兩個(gè)參數(shù)t,m的關(guān)系式,將直線的方程轉(zhuǎn)換為只含有一個(gè)參量的表達(dá)式,進(jìn)而得出直線恒過(guò)一定點(diǎn).在解題中,遇到這種類型的題目,只需要心中明了動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn)這一目標(biāo),至于定點(diǎn)是什么則因題而異,無(wú)須記憶.有了目標(biāo)的引領(lǐng),根據(jù)條件求出直線恒過(guò)的定點(diǎn),進(jìn)而順利解決具體問(wèn)題.在平時(shí)的教學(xué)中,我們不難得出一個(gè)結(jié)論:已知點(diǎn)P是圓錐曲線C上一定點(diǎn),A,B是C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)P重合),若(λ為一定值),則直線AB恒過(guò)定點(diǎn).這個(gè)結(jié)論的推導(dǎo)思路與上一個(gè)結(jié)論類似,但適用范圍更加廣泛,因?yàn)榇私Y(jié)論在斜率不存在的情況下依然適用,可以一起記憶.

3 由特殊到一般

例4 已知橢圓C,直線l與x軸交于點(diǎn)E,與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在點(diǎn)E,使得為定值? 若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)E的坐標(biāo),并求出該定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 本題的常規(guī)解題思路是直接設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)(m,0)和直線l的方程x＝ky＋m,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立后,利用根與系數(shù)的關(guān)系,將用參數(shù)k和m表示出來(lái),再找出其結(jié)構(gòu)關(guān)系,使其值與參數(shù)無(wú)關(guān),從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值.這種解法思路清晰,簡(jiǎn)潔明了,但的表達(dá)式中含有兩個(gè)參量,不易直接得出其恒過(guò)的定點(diǎn)與定值.我們可以先考慮動(dòng)直線l的兩種特殊位置,確定點(diǎn)E的坐標(biāo)與定值,然后利用所求的點(diǎn)E的具體坐標(biāo)以及的值,再驗(yàn)證當(dāng)直線不是特殊位置時(shí),所求的點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值也滿足題意.

由特殊到一般的解題思想是一種常見的數(shù)學(xué)思想,在求解圓錐曲線定點(diǎn)與定值的探索性問(wèn)題中經(jīng)常用到.解題思路:先通過(guò)分析特殊位置確定出所求的定點(diǎn)或定值,再驗(yàn)證此定點(diǎn)或定值在一般情況下也成立.

4 極點(diǎn)與極線理論

4.1 極點(diǎn)與極線的定義與性質(zhì)

定 義 已 知 圓 錐 曲 線C:ax2＋cy2＋2dx＋2ey＋f＝0,則稱點(diǎn)P(x0,y0)與直線l:ax0x＋cy0y＋d(x0＋x)＋e(y0＋y)＋f＝0是圓錐曲線的極點(diǎn)與極線.

性質(zhì)1 當(dāng)點(diǎn)P在圓錐曲線C上時(shí),其極線l是C在點(diǎn)P處的切線.

性質(zhì)2 如圖2所示,當(dāng)點(diǎn)P(xP,yP)不在圓錐曲線C上時(shí),過(guò)點(diǎn)P引兩條割線依次交圓錐曲線C于E,F,G,H四點(diǎn),這四點(diǎn)兩兩連線的交點(diǎn)為M,N,則直線MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線,MN的方程為

圖2

圖3

同理,可得點(diǎn)N(xN,yN)的極線方程為

點(diǎn)M(xM,yM)的極線方程為

4.2 極點(diǎn)與極線理論的應(yīng)用舉例

有關(guān)以極點(diǎn)與極線理論為背景的考題有很多,但是在解答題中,其解答方式與規(guī)范解答方式是相悖的,不能直接使用,但極點(diǎn)與極線理論的運(yùn)用,可以很快得出所求問(wèn)題的答案,為我們規(guī)范解題提供一個(gè)方向.一旦有了明確的目標(biāo),我們就能夠增強(qiáng)自己解題的信心,從而在解題中做到游刃有余,使問(wèn)題得以順利解決.下面我們以一道高考真題的常規(guī)解法和在極點(diǎn)與極線理論指引下的解法為例,來(lái)感受一下目標(biāo)引領(lǐng)方法的解題思想帶給我們的欣喜.

例5 (2020年全國(guó)Ⅰ卷理20)已知A,B分別為橢圓E(a＞1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),P為直線x＝6 上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn).

(2)方法1 設(shè)P(6,y0),則直線AP的方程為,將之與橢圓方程聯(lián)立可得

又因?yàn)?/p>

本題常規(guī)解法(方法1)的解題思路是設(shè)出直線PA,PB的方程,然后與橢圓方程聯(lián)立,利用“知點(diǎn)求點(diǎn)”的想法,分別得出C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出直線CD的方程,再把直線方程進(jìn)行化簡(jiǎn)整理,最后得出直線CD恒過(guò)定點(diǎn).這種解法思路簡(jiǎn)單明了,但運(yùn)算量較大,而且在得出直線方程后,不易化簡(jiǎn)得到直線恒過(guò)定點(diǎn)這一結(jié)論.方法2運(yùn)用極點(diǎn)與極線的理論能夠直接得出直線恒過(guò)定點(diǎn)這一解題目標(biāo),有了這一目標(biāo)的指引后,我們只需證明C,T,D三點(diǎn)共線即可,從而使所求問(wèn)題得以快速解決.通過(guò)對(duì)比兩種解法,不難發(fā)現(xiàn)雖然極點(diǎn)與極線的理論不能直接運(yùn)用于解題,但它可以幫助我們快速得出問(wèn)題的答案,在正確答案的指引下,我們只需選取合適的解題方法,說(shuō)明這一結(jié)論的正確性即可.

5 復(fù)習(xí)指導(dǎo)

1)重視圓錐曲線的定義學(xué)習(xí).

有關(guān)圓錐曲線的很多性質(zhì)或二級(jí)結(jié)論就是從圓錐曲線的定義出發(fā)引申得出的.例如,由橢圓的第二定義,我們可以得出橢圓上任意一點(diǎn)P與橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)A,B連線的斜率之積為定值,即;由雙曲線的定義我們可以得出雙曲線的焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓圓心一定在直線x＝a或x＝－a上;由拋物線的定義我們可以得出以拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切……

我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中,不僅要重視教材中給出的圓錐曲線的定義,還要深入挖掘教材的例題和習(xí)題所蘊(yùn)含的圓錐曲線的其他定義.例如,高中數(shù)學(xué)人教A版新教材中,將橢圓的第二定義和第三定義就分別以例題和課后習(xí)題的形式給出,需要通過(guò)結(jié)論一般化的形式得出.通過(guò)對(duì)圓錐曲線定義的深入探究,不僅可以加深我們對(duì)圓錐曲線的幾何性質(zhì)和代數(shù)性質(zhì)的理解,更能夠?qū)⒍x的推導(dǎo)或驗(yàn)證過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和解題方法運(yùn)用在實(shí)際的解題中,從而潛移默化地提升我們的數(shù)學(xué)思維能力和學(xué)科素養(yǎng).

2)學(xué)會(huì)從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度去理解圓錐曲線的有關(guān)性質(zhì)與二級(jí)結(jié)論.

圓錐曲線從具體的定義到方程的得出實(shí)際上就是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的典例.對(duì)于每一種圓錐曲線的學(xué)習(xí),教材都是按照先明確其幾何特征,再利用幾何特征建立坐標(biāo)系、求出坐標(biāo)方程,最后通過(guò)方程運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓錐曲線的性質(zhì).我們?cè)谔骄坑嘘P(guān)圓錐曲線的性質(zhì)或二級(jí)結(jié)論時(shí),也要學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想,從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度去理解和運(yùn)用這些性質(zhì)和結(jié)論.例如,在研究拋物線y2＝2px(p＞0)過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí),可得弦長(zhǎng)的代數(shù)形式為|AB|＝x1＋x2＋p,幾何形式為為直線的傾斜角).代數(shù)形式的得出是有關(guān)求弦長(zhǎng)問(wèn)題通性通法的應(yīng)用,有助于我們對(duì)拋物線定義的進(jìn)一步理解與應(yīng)用;而幾何形式有助于我們從幾何角度理解,當(dāng)直線與對(duì)稱軸垂直,即傾斜角時(shí),|AB|min＝2p.這種幾何表達(dá)形式也可以自然推廣到橢圓與雙曲線中的弦長(zhǎng)公式,從而有助于我們從直觀上理解弦長(zhǎng)的最值問(wèn)題.

3)心懷大局意識(shí),從宏觀上把握與圓錐曲線性質(zhì)有關(guān)的二級(jí)結(jié)論.

從圓錐曲線的性質(zhì)出發(fā)可以得出的二級(jí)結(jié)論有很多,有的結(jié)論具有通用性與對(duì)稱性,便于我們記憶、理解與運(yùn)用,但更多的二級(jí)結(jié)論是經(jīng)過(guò)深入探究后得出的,具有各自的獨(dú)立性與偶然性,并不具備便于記憶的特點(diǎn).從近幾年與圓錐曲線有關(guān)的高考題的命制中,不難發(fā)現(xiàn)以這些二級(jí)結(jié)論為背景命制的試題不在少數(shù),那么如何對(duì)待這些與圓錐曲線性質(zhì)有關(guān)的二級(jí)結(jié)論,就成為我們需要認(rèn)真思考的問(wèn)題.筆者認(rèn)為對(duì)于圓錐曲線中二級(jí)結(jié)論的學(xué)習(xí),我們可采取“理解為主,記憶為輔;分類總結(jié),宏觀把握”的教學(xué)方式展開.通過(guò)對(duì)以圓錐曲線二級(jí)結(jié)論為命題背景的高考題或?？碱}的分析,不難發(fā)現(xiàn)這些試題的解答往往并不是這些結(jié)論的直接應(yīng)用,更多考查的是這些二級(jí)結(jié)論在推導(dǎo)過(guò)程中所用到的數(shù)學(xué)思想與方法.在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,應(yīng)該把對(duì)這些結(jié)論推導(dǎo)過(guò)程中所用到基本思想的領(lǐng)悟與基本方法的掌握放在首位,在此基礎(chǔ)上加以記憶.

(完)