周鏡輝

一、試題分析和反思

廣東省中山市2020-2021學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末水平測(cè)試卷壓軸題（第25題），題目靈活多變，知識(shí)點(diǎn)綜合，有深度，對(duì)于考察訓(xùn)練學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，以及培養(yǎng)學(xué)生分析能力和發(fā)散思維很有幫助。題目如下：

如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，8），以O(shè)A為邊構(gòu)造菱形OABC，使點(diǎn)C恰好落在x軸上，連接AC交y軸于M，AB交y軸于點(diǎn)N。

（1）求直線AC的解析式；

（2）點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，△PQB周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)并求出△PQB周長(zhǎng)的最小值。

題目只有菱形和點(diǎn)A的坐標(biāo)這兩個(gè)條件，很多同學(xué)無從下手。從我們學(xué)校情況來看，能靈活應(yīng)用八年級(jí)上冊(cè)將軍飲馬問題（最短路徑問題）的知識(shí)解答本題的同學(xué)比較少。將軍飲馬問題出現(xiàn)在人教版八年級(jí)上冊(cè)第十三章末的課題學(xué)習(xí)之問題1，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了垂直平分線和軸對(duì)稱變換后各知識(shí)的綜合應(yīng)用。在教學(xué)中教師往往不夠重視，沒有挖掘它在圖形變換中的價(jià)值，進(jìn)行充分的變式訓(xùn)練。學(xué)生沒有真正理解好其內(nèi)在的圖形及數(shù)量關(guān)系。所以過一段時(shí)間后，遇到較綜合的問題時(shí)，便不能觸類旁通，因此變得束手無策。

二、變式訓(xùn)練開拓解題思路

在將軍飲馬問題（最短路徑問題）的教學(xué)過程中，教師在講解完問題1（人教版八年級(jí)上冊(cè)第85頁）時(shí)，即便是作圖也不要只局限于對(duì)稱軸為水平直線的作圖。

（1）對(duì)稱軸位置的改變（不是水平線）的作圖（如下圖）

（2）與剛學(xué)過的等腰和等邊三角形相結(jié)合

練習(xí)1：如圖，已知E是等邊三角形ABC的AB邊上一定點(diǎn)，AD⊥BC于點(diǎn)D，①請(qǐng)?jiān)贏D上找一點(diǎn)N，使得EN+BN有最小值；②若BC=8，點(diǎn)E恰好是AB的中點(diǎn)，求△BEN周長(zhǎng)的最小值。

（3）與矩形或正方形相結(jié)合

練習(xí)2：如圖，正方形ABCD的AB邊上有一點(diǎn)E，如何在AC上找到一點(diǎn)F，使得點(diǎn)F到點(diǎn)E，B的距離的和最短？

（4）與圓或扇形相結(jié)合

練習(xí)3：如圖，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)，若OB=2，則陰影部分周長(zhǎng)的最小值是?????? 。

三、設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練時(shí)常用的形式

（一）一題多問

做完例題后直接在原題后再添加新問題，變題目的1問為2問、3問……

如上面的練習(xí)2：在講解完本題時(shí)可以直接在題后再添加新問題：

1.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)E是線段AB的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)F到點(diǎn)E，B的距離和的最小值；

2.求第2問中△BEF周長(zhǎng)的最小值。

通過這樣的練習(xí)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通和靈活運(yùn)用，循序漸進(jìn)，層層深入，不斷深化知識(shí)。

（二）變換題目的題設(shè)與結(jié)論

通過對(duì)比練習(xí)，加深學(xué)生對(duì)十字相乘法的基本原理的認(rèn)識(shí)。并且對(duì)整式的乘法和因式分解這兩個(gè)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別理解得更準(zhǔn)確，培養(yǎng)學(xué)生綜合和歸納的能力。

（三）一題多變

通過改變題目中的條件或結(jié)論，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維，從易到難層層遞進(jìn)，學(xué)生不但容易理解和掌握，還記憶深刻，開拓了解題思路，培養(yǎng)了探索意識(shí)。

（四）一題多解

數(shù)學(xué)很多題目往往都不止一種解法，教師在講解或展示完一種解法時(shí)可以多問問同學(xué)們還有沒有其他方法，學(xué)生們的解題思路往往比老師還豐富，老師要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的這種發(fā)散思維和創(chuàng)新意識(shí)，不要局限于某種“標(biāo)準(zhǔn)解法”。

（五）一解多題

即用相同的知識(shí)點(diǎn)，相同或相似的解題方法和步驟解答不同的練習(xí)題。如上文中將軍飲馬問題（最短路徑問題）教學(xué)過程中，所設(shè)計(jì)的幾道變式訓(xùn)練題。一解多題在初三的專題學(xué)習(xí)中應(yīng)用非常廣泛。當(dāng)然，教學(xué)中在學(xué)生做完練習(xí)后，教師還要及時(shí)引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)，歸納方法，總結(jié)解題規(guī)律，真正做到融會(huì)貫通。

責(zé)任編輯? 李少杰