李智清 馬 瑜

(玉溪師范學(xué)院,云南 玉溪 653100)

全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽是中國(guó)高中數(shù)學(xué)學(xué)科較高等級(jí)的競(jìng)賽,旨在培養(yǎng)高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣,并能不斷開(kāi)拓學(xué)生的思維和激發(fā)學(xué)生的鉆研精神.同時(shí),在探索求解的過(guò)程中,從不同角度出發(fā)思考問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題,體驗(yàn)一題多解的妙趣.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題如圖1所示,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC平分∠BAD,在CD上取一點(diǎn)E,BE與AC相交于點(diǎn)F,延長(zhǎng)DF交BC于點(diǎn)G.求證:∠GAC=∠EAC.

2 問(wèn)題解析

2.1 利用梅涅勞斯定理

分析通過(guò)讀圖發(fā)現(xiàn),B,F,E三點(diǎn)共線,且直線BFE是△DCG的截線,再由題可知∠BAC=∠DAC.本題要證明∠GAC=∠EAC.而∠GAC=∠BAC-∠BAG,∠EAC=∠DAC-∠DAE,因此,可以對(duì)直線BFE和△DCG利用第二角元形式的梅涅勞斯定理.同理,D,F,G三點(diǎn)共線,且直線DFG截△BCE,也可以對(duì)直線DFG和△BCE使用第二角元形式的梅涅勞斯定理[1].

證明如圖1,直線BFE是△DCG的截線,由第二角元形式的梅涅勞斯定理可得:

圖1 梅涅勞斯定理圖

因?yàn)锳C平分∠BAD,所以∠DAC=∠CAB.

亦即(sin∠BAC·cos∠GAC-cos∠BAC·sin∠GAC)sin∠CAE=(sin∠DAC·cos∠CAE-cos∠DAC·sin∠CAE)sin∠GAC.

化簡(jiǎn)后,可得cot∠GAC=cot∠EAC.

又∠GAC和∠EAC均是銳角,

故∠GAC=∠EAC.

2.2 利用塞瓦定理

分析通過(guò)讀圖發(fā)現(xiàn),AC,BE,DG三條線段交于點(diǎn)F,且∠BAC=∠DAC,要證明∠GAC=∠EAC.而∠GAC=∠BAC-∠BAG,∠EAC=∠DAC-∠DAE,因此,連接BD,對(duì)點(diǎn)F及△BCD利用第二角元形式的塞瓦定理.同理,對(duì)點(diǎn)C及△BFD利用第二角元形式的塞瓦定理也是可行的.

證明如圖2所示,連接BD交AC于點(diǎn)H,對(duì)點(diǎn)F及△BCD應(yīng)用第二角元形式的塞瓦定理可得:

圖2 梅涅勞斯定理圖

因?yàn)锳C平分∠BAD,所以∠DAH=∠HAB.

亦即:(sin∠BAC·cos∠GAC-cos∠BAC·sin∠GAC)sin∠CAE(sin∠DAC·cos∠CAE-cos∠DAC·sin∠CAE)sin∠GAC.

化簡(jiǎn)后,可得cot∠GAC=cot∠EAC.

又∠GAC和∠EAC均是銳角,

故∠GAC=∠EAC.

2.3 利用全等三角形的性質(zhì)

分析求證兩個(gè)角相等的常用方法是利用全等三角形的性質(zhì).題中求證∠GAC=∠EAC,且這兩個(gè)角的AC邊是公共邊,就只需構(gòu)造兩個(gè)全等三角形即可.

證明如圖3所示,連接BD交AC于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)C作CK∥AB交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K, 過(guò)點(diǎn)C作CL∥AD交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)L.

圖3 全等三角形圖

①

對(duì)點(diǎn)F及△BCD應(yīng)用塞瓦定理可得:

②

因?yàn)镃K∥AB,所以△ABG∽△KCG.

③

④

將①③④代入②中,可得:

即CL=CK,且∠KCA=180°-∠BAC=180°-∠DAC=∠LCA,在△ACK和△ACL中,有

所以△ACK≌△ACL.故∠GAC=∠EAC.

2.4 利用直角坐標(biāo)系

證明如圖4所示建立直角坐標(biāo)系,以A為原點(diǎn),以AC所在直線為x軸,以垂直于線段AC的直線為y軸,設(shè)A(0,0),B(b,-kb),D(d,kd),C(c,0),F(f,0),其中,k為直線AD的斜率.

圖4 直角坐標(biāo)系圖

即kAE=-kAG.故∠GAC=∠EAC.

2.5 利用解析幾何知識(shí)

證明如圖5所示建立直角坐標(biāo)系,以A為原點(diǎn),以AC所在直線為y軸,以垂直于AC的直線為x軸,設(shè)C(0,c),F(0,f),直線BC,CD,BE,DG的斜率分別為k1,k2,k3,k4,則直線BC的方程為y=k1x+c,即k1x-y+c=0.

圖5 解析幾何知識(shí)圖

直線CD的方程為k2x-y+c=0.

直線BE的方程為k3x-y+f=0.

直線DG的方程為k4x-y+f=0.

又由直線系知識(shí)可得,直線AB的方程為

(k1x-y+c)+λ1(k3x-y+f)=0.

即(k1+λ1k3)x-(1+λ1)y+(c+fλ1)=0.

直線AD的方程為

(k2+λ2k4)x-(1+λ2)y+(c+fλ2)=0.

直線AE的方程為

(k2+λ3k3)x-(1+λ3)y+(c+fλ3)=0.

直線AG的方程為

(k1+λ4k4)x-(1+λ4)y+(c+fλ4)=0.

又因?yàn)橹本€AB,AD,AE,AG都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,0),

由∠BAC=∠CAD,得kAB+kAD=0.

所以∠GAC=∠EAC.

證明兩個(gè)角相等的方法多種多樣,常見(jiàn)的途經(jīng)有:(1)利用全等三角形的性質(zhì);(2)利用等腰(邊)三角形的性質(zhì);(3)利用平行四邊形的性質(zhì);(4)利用等腰梯形的性質(zhì);(5)利用兩角的比例關(guān)系;(6)圓內(nèi)相關(guān)定理,如:切線長(zhǎng)定理、圓周角定理、弦切角定理、垂徑定理等;(7)利用解析法,可以建立直角坐標(biāo)系;(8)利用三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算.