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        深度探究一道拋物線模擬題

        2024-01-10 02:27:58
        數(shù)理化解題研究 2023年34期
        關(guān)鍵詞:傾斜角化簡(jiǎn)斜率

        李 寒

        (貴陽市第一中學(xué),貴州 貴陽 550081)

        數(shù)學(xué)的精髓在于不斷探索和創(chuàng)新.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)的實(shí)施過程中,應(yīng)不斷地從中發(fā)現(xiàn)新問題,獲取有用的新信息,提出新穎觀點(diǎn),探求解決問題的新方法,歸納得出新規(guī)律,進(jìn)而適時(shí)地將問題延伸推廣為一般性結(jié)論用于解決相關(guān)聯(lián)的問題.唯有這樣,才能逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維品質(zhì)和探索精神,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí),從而真正把能力的培養(yǎng)落到實(shí)處.

        1 試題呈現(xiàn)

        題目(2023屆廣州市一模第6題)已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F在x軸上,過點(diǎn)(2,0)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),且OP⊥OQ,線段PQ的中點(diǎn)為M,則直線MF的斜率的最大值為( ).

        2 試題解答

        分析1 根據(jù)題設(shè)條件,設(shè)出拋物線C與直線PQ的方程,然后利用垂直關(guān)系求出拋物線C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo),再利用斜率公式建立函數(shù)關(guān)系,最后應(yīng)用均值不等式解得最值.

        解法1 由題可知,拋物線C的焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上,設(shè)拋物線C的方程為y2=2px(p>0).

        y2-2pty-4p=0.

        y1y2=-4p.

        由OP⊥OQ,得

        解得p=1.

        所以點(diǎn)M(t2+2,t).

        顯然若直線MF的斜率最大,則必有t>0.

        故選A.

        分析2 根據(jù)單選題的題型特點(diǎn),利用下面拋物線的“二級(jí)結(jié)論1”,可迅速秒求p的值.

        解法2見結(jié)論1證明之后.

        3 結(jié)論推廣

        思考1過拋物線作兩條互相垂直的弦,分別交拋物線于P,Q兩點(diǎn),則直線PQ具有怎樣的位置關(guān)系?經(jīng)探究,有:

        結(jié)論1 過拋物線C:y2=2px(p>0)的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦,分別交拋物線于P,Q兩點(diǎn),則直線PQ必過定點(diǎn)(2p,0).

        化簡(jiǎn)整理,得

        2px-(y1+y2)y+y1y2=0.

        由OP⊥OQ,得

        解得y1y2=-4p2.

        所以直線PQ的方程為

        2px-(y1+y2)y-4p2=0.

        令y=0,得x=2p.

        所以直線PQ過定點(diǎn)(2p,0).

        若直線PQ的斜率不存在,易得P(2p,2p),Q(2p,-2p),所以直線PQ仍過定點(diǎn)(2p,0).從而結(jié)論1得證.

        根據(jù)結(jié)論1,我們可以給出試題的解法2了.

        解法2由結(jié)論1可知2p=2,解得p=1.以下同解法1.

        4 逆向探究

        思考2 若對(duì)結(jié)論1進(jìn)行逆向思考,即將直線過定點(diǎn)作為題設(shè),是否能得到“垂直”關(guān)系?經(jīng)探究,于是有:

        結(jié)論2 過定點(diǎn)(2p,0)的直線分別交拋物線C:y2=2px(p>0)于P,Q兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則OP⊥OQ.

        故OP⊥OQ.

        5 縱向探究

        思考3 結(jié)論1中,OP⊥OQ中的點(diǎn)O是拋物線C上的一個(gè)特殊的定點(diǎn)(頂點(diǎn)),若把定點(diǎn)O換作拋物線C的其它位置,那么是否能夠得到與結(jié)論1同樣的結(jié)論?即直線PQ仍過定點(diǎn)呢?

        結(jié)論3 過拋物線C:y2=2px(p>0)上的定點(diǎn)T(x0,y0)作兩條互相垂直的弦,分別交拋物線于P,Q兩點(diǎn),則直線PQ必過定點(diǎn)(x0+2p,-y0).

        化簡(jiǎn)整理,得2px-(y1+y2)y+y1y2=0.

        因?yàn)辄c(diǎn)T(x0,y0)在拋物線C上,

        =-y0(y1+y2)-2px0-4p2.

        代入①并整理,得

        2p(x-x0-2p)-(y1+y2)(y+y0)=0.

        可知直線PQ過定點(diǎn)(x0+2p,-y0).

        若直線PQ的斜率不存在,即y2=-y1.

        則直線PQ的方程為x=2p+x0.

        此時(shí)顯然直線PQ也過定點(diǎn)(x0+2p,-y0).

        思考4 對(duì)于結(jié)論3中,若延長(zhǎng)TP和TQ,則“TP⊥TQ”也可以理解為直線TP與直線TQ的傾斜角之差為90°,那么當(dāng)直線TP與直線TQ的傾斜角之和為90°時(shí),直線PQ是否也過定點(diǎn)呢?

        結(jié)論4 過拋物線C:y2=2px(p>0)上的定點(diǎn)T(x0,y0)作傾斜角之和為90°的兩條直線,分別交拋物線C于P,Q兩點(diǎn),則直線PQ必過定點(diǎn)(x0-2p,-y0).

        結(jié)論4的證明,可仿照結(jié)論3的證明過程進(jìn)行,這里從略,請(qǐng)讀者自行完成.

        思考5 沿著結(jié)論4的思路,進(jìn)一步變換角度思考:當(dāng)直線TP與直線TQ的傾斜角之和為180°時(shí),直線PQ是否還過定點(diǎn)呢?有沒有其它情形呢?

        結(jié)論5 已知T(x0,y0)是拋物線C:y2=2px(p>0)上的一個(gè)定點(diǎn),P,Q是拋物線C上使直線TP與直線TQ的傾斜角之和為180°的兩點(diǎn),則直線PQ的斜率為定值,即線段PQ是一組平行弦.

        證明由題意可知直線TP與直線TQ均不垂直于坐標(biāo)軸,即直線TP的斜率kTP與直線TQ的斜率kTQ均存在且不為0.

        因?yàn)橹本€TP與直線TQ的傾斜角之和為180°,所以kTP+kTQ=0,即kTP=-kTQ.

        y2-2pty-2pty0-2px0=0.

        所以y=y0(舍去)或y=2pt-y0.

        因此直線PQ的斜率

        故線段PQ是一組平行弦.

        思考6 在結(jié)論5的基礎(chǔ)上,作一般性思考:當(dāng)直線TP與直線TQ的斜率之積為常數(shù)時(shí),直線PQ是否也能夠過定點(diǎn)呢?

        化簡(jiǎn)整理,得

        2px-(y1+y2)y+y1y2=0.

        由kTP·kTQ=λ,得

        因?yàn)辄c(diǎn)T(x0,y0)在拋物線C上,

        代入①并整理,得

        6 類比探究

        思考7 橢圓、雙曲線與拋物線有許多類似的結(jié)論,能否將拋物線的結(jié)論3類比推廣到橢圓和雙曲線呢?經(jīng)探究,于是有:

        結(jié)論7與結(jié)論8的證明可按結(jié)論3的證明過程進(jìn)行,這里從略,請(qǐng)讀者自行完成.

        對(duì)典型模擬題的多角度探究,就是指對(duì)問題從不同視角來審視,以不同的切入點(diǎn)探究問題,其實(shí)質(zhì)是對(duì)試題的“二次開發(fā)”.通過對(duì)試題的剖析和思考,展開問題的來龍去脈和知識(shí)間的縱橫聯(lián)系,站在一定的高度去思考問題,突出數(shù)學(xué)本質(zhì),使知識(shí)達(dá)到融會(huì)貫通,使思維得到升華,進(jìn)而優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)[1].

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