賀鳳梅

(新疆伊犁鞏留縣高級中學(xué),新疆 伊利 835400)

題目呈現(xiàn)(2022年山東數(shù)學(xué)模擬試題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna,

(1)當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

1 總體分析

本題第(1)問考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于常規(guī)題.第(2)問則是利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題,求參數(shù)的范圍.此問可以多視角解答,涉及隱零點、同構(gòu)法、切線放縮、分類討論、反函數(shù)法等多種策略.

2 試題解答

以下重點探討第(2)問.

視角1 隱零點.

解法1令g(x)=aex-1-lnx+lna-1,x∈(0,+∞),a>0,則

①

兩邊取自然對數(shù),整理,得

lna+x0-1=-lnx0.

②

所以g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

且x→0+時,g′(x)→-∞;

x→+∞時,g′(x)→+∞.

所以x∈(0,x0)時,g′(x)<0;x∈(x0,+∞)時,g′(x)>0.

因此g(x)在x=x0處取得極小值,也為最小值,即g(x)min=aex0-1-lnx0+lna-1.

顯然,要使原不等式恒成立,必有

解得a≥1,即a∈[1,+∞).

評注此解法通過構(gòu)造函數(shù)g(x),利用隱零點x0表示出g(x)的最小值,借助基本不等式得出關(guān)于a的不等式,求解即得[1].

視角2 同構(gòu).

條件f(x)≥1,即aex-1-lnx+lna-1≥0(*)在x∈(0,+∞)上恒成立.

解法2將(*)式變形得ex-1+lna+x-1+lna≥x+lnx=elnx+lnx.

構(gòu)造函數(shù)g(t)=et+t,求導(dǎo)得g′(t)=et+1>0.

所以函數(shù)g(t)=et+t在R上單調(diào)遞增.

由g(x-1+lna)≥g(lnx),得x-1+lna≥lnx.

即lna≥lnx-x+1在x∈(0,+∞)上恒成立.

令h(x)=lnx-x+1,x>0,

視角3同構(gòu)+切線放縮.

解法3將(*)式變形,得

ex-1+lna+lnex-1+lna≥x+lnx.

構(gòu)造函數(shù)g(x)=x+lnx,x>0,

由g(ex-1+lna)≥g(x),得ex-1+lna≥x.

結(jié)合ex≥x+1,得x-1+lna≥x-1.

所以lna≥0,解得a≥1,即a∈[1,+∞).

解法4將(*)式變形,得

構(gòu)造函數(shù)H(x)=xex,x>0,H′(x)=(x+1)ex>0,

所以H(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增.

易證x≥1+lnx,所以lna≥0即可,解得a≥1,即a∈[1,+∞).

評注視角2中的三種解法均屬于同構(gòu)法,從解答過程可以知曉,根據(jù)不同的變形形式,得到有一定差異的同構(gòu)函數(shù),借助于函數(shù)的單調(diào)性,得出變量間的關(guān)系,進一步變形求解,問題也就迎刃而解了.當然,在解答的過程中,用到了ex≥x+1與x≥1+lnx這兩個有關(guān)切線放縮的不等式,作為解答題,需要簡單證明方可使用[2].

視角4 放縮+極值.

解法5由已知條件,得aex-1+lna≥1+lnx.

易證x-1≥lnx,即x≥1+lnx.

所以只需aex-1+lna≥x.

構(gòu)造函數(shù)φ(x)=aex-1+lna-x,

求導(dǎo)得φ′(x)=aex-1-1.

以下對a分情況討論:

(Ⅰ)當a≥e時,φ′(x)=aex-1-1≥e·ex-1-1=ex-1>0在(0,+∞)上恒成立,φ(x)=aex-1+lna-x≥e·ex-1+lne-x=ex-x+1>0(x>0),滿足題意.

(Ⅱ)當0

所以φ(x)≥φ(1-lna)=ae-lna+2lna-1≥0.

所以lna≥0即可,解得1≤a

綜上可得a∈[1,+∞).

評注此解法通過不等式放縮,介入中間量,借助于極值求解也可以成功突破.但因為定義域的限定,需對a進行分類討論,再取兩種情況的并集,此處易出現(xiàn)紕漏,值得大家重視.再給一例,感興趣的讀者可以自行求解或查閱.

已知函數(shù)f(x)=ex-2-lnx.若g(x)=f(x)+lnx-ax,討論g(x)的單調(diào)性.

視角5 分類討論.

解法6由f(x)=aex-1-lnx+lna,x∈(0,+∞),a>0,對a進行分類討論:

(Ⅰ)當0

(Ⅱ)當a=1時,f(x)=ex-1-lnx,則

x∈(0,1)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

所以f(x)≥f(1)=1,滿足題意.

(Ⅲ)當a>1時,

f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx,

易證ex-1≥(x-1)+1=x,

x≥1+lnx,

所以f(x)≥f(1)=1,滿足題意.

綜上可得a∈[1,+∞).

評注此解法屬于對a進行分類討論求解,通過推理和論證,符合就要,不符合則舍去.難點在于找參數(shù)a的分類界限,這需要通過日積月累的訓(xùn)練方能達成.

視角6 反函數(shù).

解法7 由已知,得aex-1-lnx+lna≥1.

所以aex-1≥lnx-lna+1.

所以G(x)在(0,1)單調(diào)遞增,在(1,+∞)單調(diào)遞減.

則G(x)≤G(1)=1,故a≥1.

即a∈[1,+∞).

評注此法確實很巧妙,能通過變形、觀察和求解得出不等式兩邊對應(yīng)函數(shù)恰好互為反函數(shù),利用凸凹反轉(zhuǎn),借助于臨界的切線得出大小關(guān)系,化繁為簡.

3 試題鏈接

題1(2010年高考新課標卷理科)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2,a∈R.若當x≥0時,f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

題2若不等式ax-lnx≥a(2x-x2)對?x∈[1,+∞)恒成立,求a的取值范圍.

導(dǎo)數(shù)問題博大精深,對于學(xué)生而言,基礎(chǔ)知識和基本理論易于學(xué)懂,但是,受眾多關(guān)聯(lián)知識和高數(shù)背景的限制,很多導(dǎo)數(shù)問題難以突破.對于高校來講,導(dǎo)數(shù)是學(xué)生深造學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ).基于此種原因,高考一直重點考查導(dǎo)數(shù),因此我們有必要多花時間和精力研究導(dǎo)數(shù),總結(jié)規(guī)律,提煉解法,積累經(jīng)驗,創(chuàng)新思路,在比較和不斷嘗試中增長技能.這類參數(shù)問題入口寬,結(jié)果唯一,研究它就是對導(dǎo)數(shù)的全面理解和應(yīng)用,這對我們的學(xué)習(xí)大有裨益.