王永鐸, 任玉芳

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

貫穿全文,環(huán)R都是有單位元的環(huán),模都是右R-模.對(duì)于右R-模M,S=EndR(M)表示M的自同態(tài)環(huán).對(duì)于任意的φ∈S,Kerφ表示φ的核,Imφ表示φ的像.用N≤M,N≤⊕M,L?N分別表示N是M的子模,N是M的直和項(xiàng),L和N同構(gòu).E(M)表示M的內(nèi)射包,R(n)表示R的n次直和.記

rM(φ)={m∈M|φm=0}rS(I)={φ∈S|Iφ=0}rR(N)={r∈R|Nr=0}

其中φ∈S,I是S的任意非空子集,N≤M.

Lee等[1]引入了Rickart模的概念.稱(chēng)M是Rickart模,如果S中的任意元素在M中的右零化子由S的冪等元生成.證明了環(huán)R是半單阿廷環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)所有右R-模是Rickart模當(dāng)且僅當(dāng)所有extending右R-模是Rickart模當(dāng)且僅當(dāng)所有內(nèi)射右R-模是Rickart模當(dāng)且僅當(dāng)所有內(nèi)射右R-模是Baer模.Wilson[2]提出了SIP模的概念.稱(chēng)模M為SIP模,如果M的任意一對(duì)直和項(xiàng)的交是M的直和項(xiàng).Tasdemir等[3]引入了廣義SIP模(簡(jiǎn)稱(chēng)GSIP模)的概念.稱(chēng)模M為GSIP模,如果M的任意一對(duì)直和項(xiàng)的交同構(gòu)于M的直和項(xiàng).受文獻(xiàn)[1-3]的啟發(fā),本文中引入了廣義Rickart模的概念.稱(chēng)M是廣義Rickart模,如果S的任意元素在M中的右零化子同構(gòu)于M的直和項(xiàng).給出了是廣義Rickart模但不是Rickart模的例子,并研究了廣義Rickart模的一些性質(zhì),證明了環(huán)R是半單阿廷環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)所有右R-模是廣義Rickart模.

1 預(yù)備知識(shí)

稱(chēng)M是virtually半單模[4],如果M的任意子模同構(gòu)于M的直和項(xiàng).稱(chēng)R是右遺傳環(huán)[5],如果R的每個(gè)右理想都是投射的.稱(chēng)M是不可分解模{5],如果M≠0且M只有平凡的直和項(xiàng).稱(chēng)模M是內(nèi)射模[5],如果對(duì)任意的單同態(tài)f:N→K以及R-模同態(tài)g:N→M均有模同態(tài)h:K→M使得hf=g.稱(chēng)M是Baer模[6],如果S的任意非空子集的右零化子由S的冪等元生成.稱(chēng)R是右V-環(huán)[7],如果任意單右R-模是內(nèi)射模.稱(chēng)M是有限余生成模[7],如果M的基座是有限生成的且在M中本質(zhì).稱(chēng)M是有限余表示模[7],如果M滿(mǎn)足:

1)M是有限余生成的;

2) 若在正合列0→M→L→N→0中L是有限余生成的,則N也是有限余生成的.稱(chēng)M是extending模[8],如果M的任意子模都是其直和項(xiàng)的本質(zhì)子模.

2 主要結(jié)果

定義1設(shè)M是右R-模,S=EndR(M).稱(chēng)M是廣義Rickart模,如果S的任意元素在M中的右零化子同構(gòu)于M的直和項(xiàng),即對(duì)于任意的φ∈S,存在e2=e∈S,使得

rM(φ)=Kerφ?eM

注意Kerφ=rM(φ),φ∈S.

例1Virtually半單模是廣義Rickart模.

證明設(shè)M是virtually半單模,對(duì)于任意的φ∈EndR(M),因?yàn)镸的任意子模同構(gòu)于M的直和項(xiàng),所以Kerφ同構(gòu)于M的直和項(xiàng),即M是廣義Rickart模.

Rickart模是廣義Rickart模,但是廣義Rickart模不一定是Rickart模.

定義2稱(chēng)M滿(mǎn)足H3條件,如果對(duì)M的任意直和分解M=L⊕N,C≤L,D≤⊕M,由C?D可推出D≤L.稱(chēng)滿(mǎn)足H3條件的模為H3模.

例3不可分解模是H3模.

命題1H3模的直和項(xiàng)是H3模.

證明設(shè)M是H3模,M=L⊕N.令N=A⊕B,C≤A,D≤⊕N,且C?D,那么M=L⊕N=A⊕(B⊕L),D≤⊕M.因?yàn)镸滿(mǎn)足H3條件,所以D≤A,因此N是H3模.

定理1設(shè)M是廣義Rickart模,且滿(mǎn)足H3條件.則M的直和項(xiàng)是廣義Rickart模.

證明設(shè)M是廣義Rickart模,N≤⊕M,存在e2=e∈EndR(M),即N=eM,φ∈EndR(N).需要證Kerφ同構(gòu)于N的直和項(xiàng).令M=L⊕N,φ′=φ⊕1L.從而自同態(tài)φ:eM→eM可擴(kuò)展到自同態(tài)φ′:L⊕N→L⊕N,即φ′:M→M.因?yàn)?/p>

Kerφ′= Kerφ

M是廣義Rickart模,所以

Kerφ?A≤⊕M

因?yàn)镸滿(mǎn)足H3條件,所以由M=L⊕N,Kerφ≤N,A≤⊕M,Kerφ?A,可推得A≤N.從而A≤⊕N,進(jìn)而Kerφ?A≤⊕N,故N是廣義Rickart模.

注1設(shè)M是廣義Rickart模,且滿(mǎn)足H3條件,φ∈EndR(M).若φ是冪等元,則有M=Kerφ⊕Imφ,根據(jù)定理1可知,Kerφ和Imφ都是廣義Rickart模.

定義3稱(chēng)M滿(mǎn)足廣義D2條件,如果對(duì)任意的N≤M,由M/N同構(gòu)于M的直和項(xiàng)可推出N同構(gòu)于M的直和項(xiàng).稱(chēng)滿(mǎn)足廣義D2條件的模為廣義D2模.

命題2設(shè)M是模.若對(duì)于任意的φ∈EndR(M),Imφ同構(gòu)于M的直和項(xiàng).則以下條件等價(jià):

1)M是廣義D2模;

2)M是廣義Rickart模.

證明1)?2) 設(shè)M是廣義D2模.對(duì)于任意的φ∈EndR(M),由模同態(tài)基本定理可知,M/Kerφ?Imφ,因?yàn)镮mφ同構(gòu)于M的直和項(xiàng),所以M/Kerφ同構(gòu)于M的直和項(xiàng).又因?yàn)镸是廣義D2模,所以Kerφ同構(gòu)于M的直和項(xiàng),因此M是廣義Rickart模.

2)?1) 設(shè)M是廣義Rickart模,N≤M,且M/N?L≤⊕M.存在φ∈EndR(M),使得Kerφ=N.因?yàn)镸是廣義Rickart模,所以N同構(gòu)于M的直和項(xiàng),因此M是廣義D2模.

定義4[9]稱(chēng)M滿(mǎn)足H1條件,如果A≤M,B≤M且A?B,可推出M/A?M/B.

命題3設(shè)M是廣義Rickart模.若M滿(mǎn)足H1條件,則對(duì)于任意的φ∈EndR(M),Imφ同構(gòu)于M的直和項(xiàng).

證明設(shè)任意的φ∈EndR(M).因?yàn)镸是廣義Rickart模,所以

Kerφ?M′≤⊕M

記M=M′⊕N.又因?yàn)镵erφ≤M,M′≤M,且M滿(mǎn)足H1條件,所以

M/Kerφ?M/M′?N≤⊕M

由模同態(tài)基本定理可知:

M/Kerφ?Imφ

因此Imφ同構(gòu)于M的直和項(xiàng).

稱(chēng)M是morphic模,如果對(duì)于任意的φ∈EndR(M),

M/Imφ?Kerφ

命題4設(shè)M是滿(mǎn)足H1條件的morphic模.若對(duì)于任意的φ∈EndR(M),Imφ同構(gòu)于M的直和項(xiàng),則M是廣義Rickart模.

證明設(shè)Imφ?M′≤⊕M,記M=M′⊕N.因?yàn)镮mφ≤M,M′≤M,且M滿(mǎn)足H1條件,所以

M/Imφ?M/M′?N≤⊕M

又因?yàn)镸是morphic模,所以M/Imφ?Kerφ,因此Kerφ同構(gòu)于M的直和項(xiàng),即M是廣義Rickart模.

定理2廣義Rickart模是GSIP模.

證明設(shè)M是廣義Rickart模.令L=eM,N=fM,非零冪等元e,f∈EndR(M),M=L⊕L′=N⊕N′.那么

Ker(1-f)e=[eM∩Ker(1-f)]⊕(1-e)M= (eM∩fM)⊕(1-e)M= (L∩N)⊕L′

因?yàn)镸是廣義Rickart模,所以

(L∩N)⊕L′?M′≤⊕M

即存在同構(gòu)φ:(L∩N)⊕L′→M′,使得

φ(L∩N)+φ(L′)=M′

因?yàn)?/p>

φ(L∩N)∩φ(L′)=0,所以

φ(L∩N)⊕φ(L′)=M′

因此φ(L∩N)是M′的直和項(xiàng).因?yàn)镸′≤⊕M,所以φ(L∩N)≤⊕M.又因?yàn)長(zhǎng)∩N?φ(L∩N),所以L(fǎng)∩N同構(gòu)于M的直和項(xiàng),因此M是GSIP模.

由定理2可知廣義Rickart模是GSIP模,那么根據(jù)文獻(xiàn)[3]中的定理2.2和2.3可得以下兩個(gè)推論.

推論1若M是廣義Rickart模,則對(duì)于M的任意一對(duì)直和項(xiàng)L和N,投影映射φ:M→N,限制映射φ|L的核同構(gòu)于M的直和項(xiàng).

推論2若M是廣義Rickart模,則對(duì)于M的任意直和分解M=L⊕N,任意同態(tài)φ:L→N,Kerφ同構(gòu)于M的直和項(xiàng).

設(shè)M是右R-模.稱(chēng)M滿(mǎn)足C2條件,如果N≤M,L?N,且L≤⊕M,可推出N≤⊕M.

稱(chēng)M是準(zhǔn)內(nèi)射模,如果對(duì)于單同態(tài)f:N→M及任意同態(tài)g:N→M,存在同態(tài)g-:M→M,使得g-f=g.

稱(chēng)M是偽內(nèi)射模,如果對(duì)于任意同態(tài)β:0→A→M和α:0→A→M,存在γ∈EndR(M),使得β=γα.

定理3設(shè)M是右R-模,且M滿(mǎn)足C2條件.則以下條件是等價(jià)的:

1)M是廣義Rickart模;

2)M是Rickart模.

推論3內(nèi)射模(自?xún)?nèi)射模,準(zhǔn)內(nèi)射模,偽內(nèi)射模)M是廣義Rickart模當(dāng)且僅當(dāng)M是Rickart模.

定義5稱(chēng)M是廣義N-Rickart模,如果對(duì)于任意同態(tài)φ:M→N,Kerφ同構(gòu)于M的直和項(xiàng).

根據(jù)定義5,右R-模M為廣義Rickart模當(dāng)且僅當(dāng)M為廣義M-Rickart模.

命題5設(shè)M是廣義Rickart模,且滿(mǎn)足H3條件,M1⊕M2≤⊕M.則Mi是廣義Mj-Rickart模,對(duì)于任意的1≤i≠j≤2.

證明設(shè)φ∈HomR(Mi,Mj).令

N={(mi+φmi)|mi∈Mi}

則N≤⊕M,那么Kerφ=Mi∩N.因?yàn)镸是廣義Rickart模,由定理2知M是GSIP模,所以Kerφ=Mi∩N同構(gòu)于M的直和項(xiàng).記

Kerφ?H≤⊕M

則存在M的子模L,使得

M=L⊕H,Kerφ≤Mi≤⊕M

因?yàn)镸滿(mǎn)足H3條件,所以H≤Mi.又因?yàn)?/p>

Mi∩M=Mi∩(L⊕H)

由模律可知

Mi=(Mi∩L)⊕(Mi∩H)=(Mi∩L)⊕H

從而H≤⊕Mi,所以Kerφ同構(gòu)于Mi的直和項(xiàng),因此Mi是廣義Mj-Rickart模,對(duì)于任意的1≤i≠j≤2.

定理4設(shè)R是環(huán).則以下條件是等價(jià)的:

1) 所有右R-模是廣義Rickart模;

2) 所有extending右R-模是廣義Rickart模;

3) 所有內(nèi)射右R-模是廣義Rickart模;

4) 所有內(nèi)射右R-模是Baer模;

5)R是半單阿廷環(huán).

證明1)?2)?3)是顯然的.

3)?4) 設(shè)右R-模M是內(nèi)射模.由于內(nèi)射模都滿(mǎn)足C2條件,因此M是滿(mǎn)足C2條件的廣義Rickart模,故由定理3知M是Rickart模.由文獻(xiàn)[1]中定理2.25知,所有內(nèi)射的Rickart模是Baer模.

4)?5) 由文獻(xiàn)[6]中定理2.20可得.

5)?1) 由文獻(xiàn)[1]中定理2.25知所有右R-模都是Rickart模,所以所有右R-模都是廣義Rickart模.

引理1[7]設(shè)R是環(huán).則以下條件等價(jià):

1)R是右V-環(huán);

2) 所有有限余生成R-模是半單模;

3) 所有有限余表示R-模是內(nèi)射模.

定理5設(shè)R是右遺傳環(huán).則以下條件等價(jià):

1)R是右V-環(huán);

2) 所有有限余生成R-模是廣義Rickart模;

3) 所有有限余表示R-模是廣義Rickart模.

證明1)?2) 由文獻(xiàn)[7]中引理23.1可得.

2)?3) 由定義可知,如果M是有限余表示模,那么M是有限余生成模,因此由2)知所有有限余表示R-模都是廣義Rickart模.

3)?1) 設(shè)M是有限余表示R-模.由文獻(xiàn)[7]中的命題30.1知,E(M)和E(M)/M是有限余生成的.從而由文獻(xiàn)[7]中命題21.4可知,E(M)⊕E(M)/M是限余生成的.因?yàn)镽是右遺傳環(huán),所以?xún)?nèi)射模的商模是內(nèi)射模,從而E(M)/M是內(nèi)射模.又因?yàn)閮?nèi)射模的有限直和是內(nèi)射模,所以E(M)⊕E(M)/M是內(nèi)射模.因?yàn)橛邢抻嗌蓛?nèi)射模是有限余表示的,所以E(M)⊕E(M)/M是限余表示R-模,從而E(M)⊕E(M)/M是廣義Rickart模,由推論2可知,對(duì)于自然滿(mǎn)同態(tài)φ:E(M)→E(M)/M,Kerφ=M同構(gòu)于E(M)⊕E(M)/M的直和項(xiàng).因?yàn)閮?nèi)射模的直和項(xiàng)是內(nèi)射模,所以M同構(gòu)于內(nèi)射模.因此由引理1可知,R是右V-環(huán).

3 結(jié)論

本文對(duì)Rickart模進(jìn)行推廣, 給出廣義Rickart模的概念, 研究了廣義Rickart模的一些性質(zhì),證明了廣義Rickart模是GSIP模;所有右-R模是廣義Rickart模的環(huán)R是半單阿廷環(huán); 滿(mǎn)足H3條件的廣義Rickart模的直和項(xiàng)是廣義Rickart模等.本文的研究使得模類(lèi)更加豐富,同時(shí)希望能夠?yàn)檫M(jìn)一步研究環(huán)與模提供新的方法和思路.