侯明霞

章建躍教授在《理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提》一文中指出數(shù)學(xué)教師必須在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)上狠下功夫.數(shù)學(xué)理解不僅僅是對教材的內(nèi)容知識、實質(zhì)性結(jié)構(gòu)知識等方面的理解，還包括對教材編者意圖的深度理解.新高考形勢下，隨著新教材的使用和課程改革的不斷深入，各版本教材的不同之處及新版教材的編寫意圖受到廣大教師越來越多的關(guān)注.解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì).坐標(biāo)法作為研究解析幾何的通性通法，在教學(xué)中已經(jīng)得到了教師的足夠重視.向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁.向量方法的運用突出了幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合，這一點正是高中數(shù)學(xué)新教材（2019人教A版）與以往版本教材的重要區(qū)別之一.能否領(lǐng)會教材編者意圖，是衡量教師理解教材程度的一個重要標(biāo)志，對編者意圖領(lǐng)會得越深，越能充分發(fā)揮教材在教學(xué)中的作用.本文中以“點到直線的距離公式”為例，說明在教學(xué)設(shè)計中如何充分領(lǐng)會新教材編者意圖，多角度、多方面、多層次提升核心素養(yǎng)的具體做法.

1 教學(xué)支持條件分析

教學(xué)要基于學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗即學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”來開展.通過“直線方程”的學(xué)習(xí)，學(xué)生在用代數(shù)方法研究幾何元素間的位置關(guān)系方面已經(jīng)積累了必要的思想方法；在“空間向量與立體幾何”一章的學(xué)習(xí)中，學(xué)生學(xué)會了運用向量運算研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系的方法.尤其在“用空間向量研究距離、夾角問題”一節(jié)中，學(xué)生進(jìn)一步理解了“向量的投影”和“投影向量”這兩個概念，學(xué)習(xí)了用投影向量求解點到直線距離的方法，體會到向量是研究幾何問題的一個強有力的工具.這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)都為本節(jié)課的教學(xué)開展奠定了堅實的基礎(chǔ).

2 教學(xué)過程設(shè)計

2.1 知識回顧，奠定課程學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

問題1點P1（x1，y1），P2（x2，y2），則|P1P2|=.該公式是如何證明的？

問題2已知直線l的單位方向向量為n，則向量PM在直線l上的投影向量PQ=，|PQ|=.

設(shè)計意圖：問題1通過復(fù)習(xí)兩點間的距離公式及其證明方法，強調(diào)向量是解決幾何中距離問題的有效工具，從而引起學(xué)生的聯(lián)想與關(guān)注.同時，此知識點學(xué)生在前一節(jié)剛剛學(xué)習(xí)過，處于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，使得學(xué)生在后面探索點到直線的距離時很容易聯(lián)想到“定義法”，能夠較好地鋪設(shè)學(xué)生從已有認(rèn)知水平到能達(dá)到的認(rèn)知水平的“探索”之路.問題2通過復(fù)習(xí)“投影向量”和“投影向量的?！?，強化利用向量解決距離問題的程序，即要求|PQ|，只需將PQ看作任意向量PM在PQ方向上的投影向量，利用PM和PQ的單位方向向量n即可求出.高中數(shù)學(xué)新教材（2019人教A版）選擇性必修第一冊第33頁明確提出了投影向量AQ=（a·u）·u的公式，其中a=AP，u為AQ方向上的單位方向向量.然而，筆者在外校借班上公開課以及后期的調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，一部分教師在教學(xué)過程中，并未將用向量解決幾何中距離問題的方法程序化.問題2的復(fù)習(xí)補充了這個空缺，有利于學(xué)生自主探究過程的順利進(jìn)行.

2.2 活動探究，發(fā)揮學(xué)生主體作用

問題3你能求出點P（－1，2）到直線l：x－y－3=0的距離|PQ|嗎？

生1：過點P作垂直于y軸的直線交直線l于點H，把PQ看作PH的投影向量來求.

點評：此為向量法.通過上一環(huán)節(jié)的知識回顧，學(xué)生順利應(yīng)用向量知識完成了解答，符合課程設(shè)計的預(yù)期.在問題2的基礎(chǔ)上，有的學(xué)生首先選擇了用向量來求解，恰恰說明向量法在程序化處理后，是容易被學(xué)生聯(lián)想到的.

生2：過點P作平行于y軸的直線交直線l于點M，|PM|=6，在等腰直角三角形PQM中求解|PQ|.

點評：此為構(gòu)造直角三角形法.由于問題3中給定的直線的斜率等于1，因此可以作y軸的平行線構(gòu)造等腰直角三角形來求解.

追問：如果直線l的斜率不特殊，該如何構(gòu)造直角三角形呢？

生3：分別作x軸、y軸的平行線構(gòu)造直角三角形.

點評：生2、生3兩位同學(xué)的方法雖然不同，但其本質(zhì)是一樣的.生3的方法與“兩點間的距離公式”的“構(gòu)造直角三角形”的證明方法不謀而合，體現(xiàn)了各部分知識之間的連貫性、統(tǒng)一性.

生4：先求直線PQ的方程，再求交點Q的坐標(biāo)，最后利用兩點間距離公式求解|PQ|.

點評：此為定義法.此方法利用“兩點間距離的公式”，突出了用代數(shù)方法研究幾何問題即“幾何表達(dá)、代數(shù)運算”的解決思路，大多數(shù)學(xué)生選擇了這一方法，恰恰體現(xiàn)了用坐標(biāo)法研究幾何問題的普適性.

設(shè)計意圖：通過對已學(xué)知識的回顧，針對提出的問題，留給學(xué)生較大的自主空間，讓學(xué)生積極參與、主動建構(gòu)，培養(yǎng)獨立自主分析問題、解決問題的能力.

2.3 公式推導(dǎo)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

問題4一般地，對于平面直角坐標(biāo)系中的任意一點P0（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0），你能夠在剛才問題的研究基礎(chǔ)上，推導(dǎo)點到直線的距離公式嗎？

方案1：由定義法出發(fā)進(jìn)行公式的推導(dǎo).

問題5上述推導(dǎo)過程運算復(fù)雜，有沒有簡化運算的技巧呢？

問題6問題4針對的是A≠0，B≠0的一般直線方程，對于A=0或B=0的特殊情況，結(jié)論是否成立呢？

設(shè)計意圖：基于具體問題的分析與解決，由大多數(shù)同學(xué)選擇的定義法出發(fā)，從特殊到一般，給予學(xué)生足夠的時間讓他們獨立運算，充分體驗公式推導(dǎo)過程中的運算難度.在此基礎(chǔ)上，適度地引導(dǎo)，教會學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)倪\算方法，提高學(xué)生對復(fù)雜代數(shù)式的處理能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).同時，復(fù)雜的代數(shù)運算必然會激發(fā)學(xué)生尋求簡化運算的動力，此時適時地介紹“設(shè)而不求”的簡化運算方法，讓學(xué)生初步感悟“設(shè)而不求”方法的巧妙之處.教材在編寫時首先展現(xiàn)了這一推導(dǎo)過程，筆者認(rèn)為其意圖是由思路自然的“大眾化”方法出發(fā)，在強調(diào)坐標(biāo)法的普適性的同時，一步步引出簡化運算的探索過程.

方案2：由構(gòu)造直角三角形出發(fā)進(jìn)行公式的推導(dǎo).

設(shè)計意圖：通過教師完整呈現(xiàn)公式的推導(dǎo)過程，引導(dǎo)學(xué)生體會傳統(tǒng)幾何與解析幾何方法上的融合與統(tǒng)一.方案2的設(shè)計意圖是讓學(xué)生從不同角度嘗試簡化運算，進(jìn)行公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生對知識的遷移與聯(lián)想能力.教材在“兩點間的距離公式”和“點到直線的距離公式”兩節(jié)課內(nèi)容的編寫上都有意識地強化了這一思想.

方案3：由向量法出發(fā)進(jìn)行公式的推導(dǎo).

設(shè)計意圖：通過與前面用解析法推導(dǎo)公式的比較，向量法具有明顯的運算優(yōu)勢，更為簡潔.教學(xué)設(shè)計過程能夠讓學(xué)生充分體會到向量是研究有關(guān)角度、距離等幾何問題的強有力的工具.向量的學(xué)習(xí)對高中生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的意義重大，這也是高中數(shù)學(xué)新教材（2019人教A版）的一個重要的編寫意圖.與以往版本教材不同，新版教材無論是在平面幾何還是在立體幾何中，處理有關(guān)距離和角度的問題時，都重點強化了向量這一有力工具.教師參考書中也明確地要求“課堂教學(xué)要讓學(xué)生能夠掌握運用向量研究角度、距離的方法并能夠描述解決這一類問題的程序，要充分發(fā)揮向量及其方法在研究幾何問題的重要作用.教材的這一設(shè)計為學(xué)生進(jìn)入高等教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，也是全面落實立德樹人根本任務(wù)的基本要求.

2.4 公式應(yīng)用，完善知識整體體系

例1求點P（－1，2）到下列直線的距離：

（1）2x+y－10=0；（2）3y=x+7；（3）3x=2.

例2已知兩條平行直線l1：2x－7y－8=0，l2：6x－21y－1=0，求l1與l2之間的距離.

設(shè)計意圖：例1檢測、鞏固學(xué)生對公式的理解與應(yīng)用.例2通過讓學(xué)生獨立探究兩平行線之間的距離，拓展學(xué)習(xí)的寬度，進(jìn)一步強化學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力.

3 教學(xué)總結(jié)

本節(jié)課由一個具體的問題出發(fā)，采用從特殊到一般的探究、學(xué)習(xí)過程，完成了建構(gòu)知識的目的.教學(xué)過程中樹立發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)意識，啟發(fā)學(xué)生獨立思考，暴露學(xué)生的思維過程，注重學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位，滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法，著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計上，在強化坐標(biāo)法解決幾何問題的程序性與普適性，強調(diào)它的重要地位的同時，也突出了向量的工具性，凸顯它在處理有關(guān)角度、距離等幾何問題的優(yōu)越性.教學(xué)活動的設(shè)計充分落實了教材編寫意圖.

4 結(jié)束語

章建躍教授在新教材培訓(xùn)會議中提出，教材、課程標(biāo)準(zhǔn)與教師教學(xué)用書應(yīng)該是每一位教師的枕邊書，是教育教學(xué)的根本依據(jù).教師必須認(rèn)真研讀教材，深入研究普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與教師教學(xué)用書，準(zhǔn)確把握教材編寫意圖，將課堂教學(xué)落到實處.本節(jié)課在課堂設(shè)計過程中既注重了解析幾何中通性通法的學(xué)習(xí)，也突出了向量在教材中運用的連貫性，教材的編寫意圖在一定程度上得到了較好的詮釋與闡述.