喬冠 廖榮 張校民 姜廣君 馬尚君

（1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學 內(nèi)蒙古自治區(qū)先進制造技術重點實驗室，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051；2.西北工業(yè)大學 陜西省機電傳動與控制工程實驗室，陜西 西安 710072）

行星滾柱絲杠副（PRSM）作為精密機床、武器裝備和航空航天等領域的重要基礎零部件，其結構可靠性直接影響相關設備的安全性與壽命。循環(huán)式行星滾柱絲杠副（RPRSM）與PRSM 類似，由絲杠、滾柱、螺母、凸輪環(huán)和保持架等組成，其中絲杠僅自轉(zhuǎn)；滾柱為無螺旋升角的環(huán)槽，在自轉(zhuǎn)的同時繞絲杠公轉(zhuǎn)，并在凸輪環(huán)的作用下完成復位；螺母存在無螺紋區(qū)，便于滾柱跨越絲杠螺紋牙完成復位，其僅輸出位移。RPRSM由于特殊的結構［1］，在工作過程中易受到高溫、振動、沖擊等復雜載荷因素的影響，這已不是簡單的靜強度失效，而是循環(huán)應力作用下引起的動強度失效，故考慮振動情況下的RPRSM研究更符合該部件失效的實際情況。

目前，國內(nèi)外對PRSM 的理論研究主要集中在PRSM 的設計方法［2-3］、動態(tài)特性［4-5］、熱特性［6-7］和載荷分布［8-9］等方面，對RPRSM 的相關研究較少，尤其是壽命預測等相關研究。在隨機振動疲勞壽命方面，Wu 等［10］提出了以振動信號的二階譜寬參數(shù)作為權重系數(shù)的理論預測模型，其壽命預測結果準確且分散性小。Marques 等［11］提出了一種在固定隨機載荷下對疲勞裂紋進行結構健康監(jiān)測的方法。白金等［12］利用新的隨機振動疲勞損傷參量，得到了適用于隨機振動下的多軸應力-循環(huán)壽命（S-N）曲線，進而提出了一種新的隨機振動疲勞壽命預測方法。陳志英等［13］針對載荷相關性問題探究管路應力響應與疲勞壽命的變化規(guī)律，分析了彈性約束剛度值對結構疲勞壽命的影響。撒子成等［14］針對振動條件下系統(tǒng)級封裝器件的振動可靠性問題，利用ANSYS 軟件進行隨機振動仿真，并對模型進行參數(shù)校正，從而獲得器件的隨機振動疲勞壽命。沙云東等［15］基于高溫試驗臺與振動臺聯(lián)合試驗，結合數(shù)值仿真，得到了不同溫度和不同振動量級組合下試件根部與頸部的軸向動應力響應規(guī)律，采用改進的雨流計數(shù)法預估試件的疲勞壽命。周金宇等［16］根據(jù)單元失效的統(tǒng)計相關機理，利用阿基米德族的Clayton Copula 建立串聯(lián)、并聯(lián)結構系統(tǒng)的疲勞壽命可靠性模型。朱穎等［17］將結構體系中不確定參數(shù)定義為區(qū)間變量，在隨機疲勞譜分析方法的基礎上，提出了一種計算平穩(wěn)高斯荷載作用下不確定結構疲勞損傷的新方法。上述成果提出了新的或改進了壽命預測模型和方法，能較好地對相關結構或系統(tǒng)進行壽命預測。

鑒于缺乏針對新型精密傳動機構RPRSM 的壽命預測相關研究，文中利用有限元分析方法和疲勞失效理論，提出了特定結構參數(shù)下RPRSM 疲勞壽命預測分析模型；提取RPRSM 接觸的薄弱區(qū)域，探明其對疲勞壽命的影響程度，據(jù)此歸納出RPRSM 嚙合傳動的抗疲勞優(yōu)化和疲勞加速試驗的設計方向。

1 隨機振動疲勞壽命分析方法

為了估算結構的疲勞壽命，需要建立疲勞壽命與外載荷之間的關系。S-N曲線最常用的形式為冪函數(shù)型，其表達式為

式中：C和k為材料常數(shù)；N為循環(huán)壽命，單位為次；S為應力幅值。

如把振動信號的功率譜密度（PSD）表示為W(f)，則可得

式中，mi為功率譜密度曲線下的第i階慣性矩，f為頻率。

E[0+]為峰值期望值，其計算公式為

E[p]為應力響應信號的峰值頻率期望值，

時間t內(nèi)應力幅值為S的循環(huán)次數(shù)為

聯(lián)立式（1）-（5），可得到t時間內(nèi)隨機振動疲勞損傷計算公式為

式中，D為循環(huán)應力下結構的疲勞損傷值。

Miner 法則進行損傷累計的基本假設為：疲勞損傷與載荷循環(huán)數(shù)的關系是線性的，而且疲勞損傷可以線性累加，各個應力之間相互獨立和互不關聯(lián)；當結構的各個應力下?lián)p失之和疊加為1 時，結構將發(fā)生失效，即

式中，Di為第i個循環(huán)應力下結構的疲勞損傷值。

由Miner 線性疲勞累積損傷理論可知，當損傷值等于1時結構發(fā)生疲勞破壞，結構的疲勞壽命為

1.1 Dirlik（DK）方法

Dirlik 方法［18］假定雨流循環(huán)幅值概率密度函數(shù)是一個指數(shù)分布與兩個Raileigh分布，其表達式為

聯(lián)立式（5）和式（9），得到結構的疲勞損傷為

1.2 窄帶（NB）方法

假設窄帶信號峰值后面都有一個等效谷，且窄帶信號的概率密度函數(shù)服從Rayleigh 分布，則Rayleigh分布表達式為

結合Miner 線性疲勞累積損傷準則，可得窄帶隨機過程的總損傷為［10］

1.3 Tovo-Benasciutti（TB）方法

Benasciutti 和Tovo［19］基于上、下疲勞損傷強度極限值線性組合，提出了寬帶隨機過程的雨流損傷計算公式：

1.4 Zhao-Baker（ZB）方法

Zhao 和Baker［20］假設隨機振動信號的振幅概率密度分布是Rayleigh 分布和Weibull 分布的線性組合，可以表示為

結合式（15）與Miner 線性疲勞累積理論方法，可得到結構疲勞損傷為

2 隨機振動疲勞仿真分析

RPRSM 在滾柱完成循環(huán)運動過程中所產(chǎn)生的隨機振動會對絲杠與螺母產(chǎn)生損傷，因此開展RPRSM 的隨機振動疲勞仿真實驗，并與理論計算模型的結果進行對比，以驗證仿真實驗的準確性，具體的疲勞損傷評估過程如圖1所示。

圖1 疲勞損傷評估過程示意圖Fig.1 Schematic diagram of the fatigue damage assessment process

首先，對建立的三維物理模型進行有限元模態(tài)分析，隨后采用模態(tài)疊加法進行諧響應分析，將得到的頻率與加速度的關系曲線通過單位換算得到頻率與加速度功率譜密度的關系，然后分別通過隨機振動疲勞分析和4種理論模型計算損傷值，最后將兩者進行比較驗證。

2.1 RPRSM模態(tài)分析

RPRSM 在高速運轉(zhuǎn)時，滾柱在凸輪環(huán)的作用下跨越絲杠螺紋牙完成復位，故工作過程中產(chǎn)生的振動將影響機構的傳動精度。通過對RPRSM 進行模態(tài)分析，得出固有頻率與振型，可為基于該傳動機構的機電伺服系統(tǒng)的抗振設計提供依據(jù)。

文中采用Workbench 中的Modal 模塊對RPRSM進行模態(tài)分析，通過模型導入，設置絲杠、滾柱和螺母等零件的材料屬性（GCr15 彈性模量為2.19×1011N/mm2，泊松比為0.3，抗拉強度為861.3 MPa，屈服強度為518.42 MPa，材料密度為7.8 g/cm3，伸長率為27.95%，淬火硬度為62～66 HRC）及接觸，劃分網(wǎng)格，施加邊界條件及求解設置等操作，求解得到的各階主振型如圖2 所示，前6 階固有頻率及最大變形量如表1所示。由圖中可以看出：RPRSM的前六階振型主要表現(xiàn)為彎曲振動、軸向振動、扭轉(zhuǎn)振動；最大變形量出現(xiàn)在絲杠和螺母外殼，主要原因是絲杠相對較長，螺母外殼相對較薄，當螺母移動到靠近絲杠中部位置時，機構整體剛度較低，在承受外界變載荷作用時，絲杠和螺母容易發(fā)生彎曲或扭轉(zhuǎn)。由于模型的對稱性，模態(tài)分析中1階與2階、5階與6階的固有頻率出現(xiàn)了重頻現(xiàn)象。

表1 RPRSM固有頻率與振型Table 1 RPRSM inherent frequency and vibration pattern

圖2 RPRSM各階模態(tài)振型圖Fig.2 Modal vibration diagram of RPRSM each order

2.2 RPRSM諧響應分析

從模態(tài)分析結果可知，RPRSM的第6階固有頻率為4 894.9 Hz，故在進行諧響應分析時設置激勵頻率f的范圍在0～6 kHz 之間。為較好地捕捉到響應峰值，將分析頻率間隔取為60 Hz，并對螺母法蘭施加軸向的載荷激勵，用以模擬其工作時的外部負載。

在分析結果中找出RPRSM 的最大振幅和最大等效應力響應點，取出螺母在X、Y、Z方向上的位移頻率響應、加速度頻率響應以及應力頻率響應，如圖3所示。由圖中可知，結構在不同激勵頻率作用下，當激勵頻率接近結構主振型的固有頻率時，RPRSM 的振幅出現(xiàn)極值，此時結構存在共振現(xiàn)象。對比在X、Y、Z方向的位移與加速度振幅，發(fā)現(xiàn)X和Y方向有較好的穩(wěn)定性，說明RPRSM 應對X和Y方向的振動激勵的能力較強。

圖3 RPRSM的位移、加速度和應力的諧響應分析振動曲線Fig.3 Harmonic response analysis vibration curves of RPRSM’s displacement，acceleration and stress

分別測量1 680、3 960 及6 000 Hz 激勵頻率下RPRSM 的應力云圖，結果如圖4 所示。由圖中可知，不同激勵頻率下RPRSM應力的最大值不同，且符合應力諧響應分析振動曲線的變化趨勢，即兩端數(shù)值較小，中間大。滾柱應力區(qū)域集中于滾柱的一側，主要是由負載施加方向引起的，當負載反方向時，滾柱應力區(qū)域?qū)⒓杏跐L柱的另一側。

圖4 不同激勵頻率下RPRSM的應力云圖Fig.4 Stress cloud diagrams of RPRSM under different excited frequencies

2.3 RPRSM隨機振動疲勞分析

隨機振動疲勞壽命分析可分為兩部分：①頻率響應傳遞函數(shù)的獲取，通過ANSYS 軟件對有限元模型施加載荷激勵，即可輸出結構的應力傳遞函數(shù)；同時在疲勞分析軟件中輸入PSD載荷并使用單自由度傳遞函數(shù)和模態(tài)疊加技術，可得到PSD響應。②疲勞壽命的估計，根據(jù)隨機振動理論，在疲勞分析軟件中輸入PSD載荷，得到的PSD響應函數(shù)及抗疲勞數(shù)據(jù)（S-N曲線）導入分析模塊中，選擇相應疲勞壽命預測方法，并采用疲勞損傷理論，即可求得結構的疲勞壽命。

文中疲勞壽命預測方法采用應用范圍較廣的Dirlik法，同時使用Goodman法進行平均應力修正，并基于模態(tài)分析與諧響應分析，求解出關鍵部位的損傷圖與疲勞壽命圖，結果如圖5和圖6所示，具體的節(jié)點疲勞壽命與損傷值如表2所示。從圖5、圖6及表2可知，RPRSM的滾柱螺紋牙與絲杠螺紋牙的嚙合處疲勞壽命偏低，最低為2.96×107次。這與其結構特點和結構剛度不足有關，即上述螺紋牙嚙合處發(fā)生了應力集中，同時該處局部發(fā)生了共振，顯著地放大了其動態(tài)應力響應，導致疲勞壽命降低。

表2 RPRSM隨機振動壽命值與損傷值Table 2 Random vibration life value and damage value of RPRSM

圖5 RPRSM損傷圖Fig.5 RPRSM damage diagram

圖6 RPRSM疲勞壽命圖Fig.6 RPRSM fatigue life diagram

對比圖4、圖5 與圖6 可知，RPRSM 絲杠與滾柱的實際接觸螺旋面為結構薄弱區(qū)域，易發(fā)生累積損傷，進而造成結構疲勞失效，該區(qū)域與諧響應分析下接觸應力最大的區(qū)域相吻合。此外，危險節(jié)點編號636385 輸入PSD 載荷后得到的應力PSD 響應曲線如圖7 所示。從圖中可以看出：3 960 Hz 附近的應力響應最大，為16.6 MPa2/Hz，與模態(tài)分析第4 階固有頻率相對應；隨機載荷并未激發(fā)與第1 階和第5 階模態(tài)相同的頻率，這與頻率響應分析結果一致。

圖7 RPRSM應力PSD響應曲線Fig.7 RPRSM stress PSD response curve

3 理論模型計算

為了驗證基于有限元法計算RPRSM 疲勞壽命的正確性，文中基于雨流計數(shù)法與諧響應分析，建立了4種隨機振動疲勞壽命分析理論模型，并計算損傷結構的疲勞壽命。隨機振動疲勞壽命計算的具體步驟是：①導出諧響應分析頻率與加速度的數(shù)據(jù)，建立功能函數(shù)對其進行處理，得到應力幅值等相關結果；②利用雨流計數(shù)法對應力幅值進行計算統(tǒng)計，結合材料的S-N曲線，通過Goodman 法進行應力幅值修正；③應用Miner 線性疲勞累積損傷理論計算4 種不同理論模型的疲勞累積損傷與疲勞壽命。將材料參數(shù)與PSD 載荷導入到上述4個理論模型中，得到的壽命預測結果如表3所示，不同分布模型的概率密度如圖8所示。

表3 RPRSM理論模型的壽命預測結果Table 3 Life prediction results of RPRSM theoretical model

圖8 不同分布模型的概率密度Fig.8 Probability density of different distribution models

除去表2中的最大與最小損傷值，求得損傷值均值，并將其與表3 的損傷值進行對比，DK 模型的相對誤差為10.48%，NB 模型的相對誤差為17.91%，TB 模型的相對誤差為35.04%，ZB 模型的相對誤差為47.66%。由此可知，文中仿真結果的損傷值均值與DK 模型損傷值較為一致，但仍然存在一定的誤差，主要原因是試驗的偶然因素和結構振動疲勞壽命預測的復雜性（如材料S-N曲線的準確性等）。

由圖8可知，概率密度直方圖呈DK分布特征，采用文中的4 種理論模型分布，使用Matlab 進行繪圖，其DK 分布曲線與有限元仿真結果的直方圖分布吻合良好，主要原因是疲勞分析軟件選用了DK 方法，從而驗證了文中仿真模型與方法的有效性。其余3種方法也對仿真結果直方圖進行了較好的擬合，但仍然與試驗結果有較大的誤差，主要原因是疲勞分析方法的不同和結構振動疲勞壽命預測的復雜性。

4 結論

文中利用有限元法和Miner 線性累積損傷理論對GCr15 材料的RPRSM 進行了疲勞分析與壽命預測，得出以下主要結論：

（1）模態(tài)分析與諧響應分析發(fā)現(xiàn)，3 960 Hz激勵頻率下RPRSM 的共振幅值最大，疲勞分析發(fā)現(xiàn)3 960 Hz 激勵頻率下應力的PSD 響應最大，故該頻率下外部工作載荷對RPRSM的損傷最大。

（2）基于PSD 響應和線性疲勞累積損傷理論，確定了RPRSM 的損傷和疲勞壽命區(qū)域為絲杠與滾柱螺紋嚙合處，在相同激勵頻率條件下結構最大接觸應力和最小疲勞壽命區(qū)域相同。

（3）4 種理論模型都對仿真結果進行了較好的擬合，其中DK方法的擬合結果最好。

（4）有限元仿真與理論模型計算相結合的方式，為隨機振動疲勞壽命估計應用于其他絲杠傳動結構提供參考依據(jù)。但文中對RPRSM 的支撐方式僅給定一種，且僅在Z軸方向上設置了疲勞分析的PSD載荷，對于RPRSM 固定方式與載荷施加的理論指導還不夠全面。后續(xù)研究將增加不同的支撐方式與設置多方向PSD載荷，探討其對結構疲勞壽命的影響規(guī)律，使分析結論具有更多的參考價值。