許千斤 馬尚君，2? 牛茂東 馬騰龍

（1.西北工業(yè)大學(xué) 陜西省機(jī)電傳動(dòng)與控制工程實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710072；2.西安鼎佰精密機(jī)電有限公司，陜西 西安 710061）

行星滾柱絲杠是一種將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為直線運(yùn)動(dòng)的精密傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，具有大減速比、高承載、高轉(zhuǎn)速、抗沖擊和便于安裝維護(hù)等特點(diǎn)［1］，作為直線運(yùn)動(dòng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于航空航天［2］、機(jī)器人［3］和冶金設(shè)備［4］等多種工業(yè)領(lǐng)域。行星滾柱絲杠存在兩類嚙合副：螺紋副和齒輪副，且呈現(xiàn)出同步嚙合的特征［5］，滾柱既與絲杠和螺母之間存在螺紋副嚙合，又與內(nèi)齒圈存在齒輪副嚙合。齒輪副在嚙合過(guò)程中存在嚙入激勵(lì)和時(shí)變剛度激勵(lì)等多種嚙合激勵(lì)［6］，這些激勵(lì)對(duì)螺紋副的接觸特性具有一定的影響。

目前，在齒輪的承載特性方面，周建星等［7］采用集中質(zhì)量方法建立了行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)碰撞振動(dòng)分析模型，分析了負(fù)載和轉(zhuǎn)速對(duì)嚙合接觸力的影響；陶慶等［8］采用有限元方法建立了行星齒圈結(jié)構(gòu)模型，依據(jù)嚙合力與內(nèi)齒圈的變形協(xié)調(diào)關(guān)系，建立了傳動(dòng)系統(tǒng)剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)模型；王成龍等［9］采用有限元方法建立齒圈結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析模型，將內(nèi)齒圈各輪齒嚙合區(qū)進(jìn)行劃分，用輪齒承載接觸分析（LTCA）方法確定齒間載荷分配關(guān)系，計(jì)算了不同載荷下內(nèi)齒圈齒根的動(dòng)應(yīng)力；馬騰龍等［10］采用有限元方法建立了行星滾柱絲杠數(shù)值模型，分析了螺母負(fù)載、絲杠轉(zhuǎn)速、摩擦系數(shù)對(duì)行星滾柱絲杠螺紋副及齒輪副動(dòng)態(tài)接觸載荷的影響規(guī)律，發(fā)現(xiàn)絲杠轉(zhuǎn)速及摩擦系數(shù)與螺紋副及齒輪副接觸載荷成正比，螺母負(fù)載僅與螺紋副接觸載荷成正比，與齒輪副接觸載荷無(wú)關(guān)。在螺紋副的承載特性及載荷分布方面，楊家軍等［11］考慮了螺紋牙接觸變形，絲杠、滾柱和螺母的軸段變形以及螺紋牙變形的協(xié)調(diào)關(guān)系，建立了行星滾柱絲杠載荷平衡方程，揭示了行星滾柱絲杠載荷分布規(guī)律；馬尚君等［12-13］建立了考慮加工誤差的行星滾柱絲杠載荷分布模型，揭示了正誤差和負(fù)誤差對(duì)載荷分布的影響規(guī)律；Abevi等［14-15］通過(guò)將絲杠、滾柱和螺母間螺紋接觸對(duì)等效為桿、梁和非線性彈簧，建立了靜態(tài)載荷和軸向剛度模型，并考慮了滾柱的彎曲變形，揭示了滾柱彎曲變形對(duì)行星滾柱絲杠載荷分布的影響規(guī)律；張文杰等［16］建立了不同安裝方式下行星滾柱絲杠螺紋副載荷分布模型，分析了安裝方式對(duì)載荷分布的影響規(guī)律，并探討了受力狀態(tài)、結(jié)構(gòu)參數(shù)及工況等對(duì)行星滾柱絲杠螺紋副載荷分布的影響；姚琴等［17］模擬了絲杠、螺母和滾柱的空間運(yùn)動(dòng)軌跡，得到了零件螺紋牙上的應(yīng)力循環(huán)規(guī)律，并對(duì)行星滾柱絲杠副的工作壽命進(jìn)行了預(yù)測(cè)。

上述研究主要以有限元模型求解螺紋副載荷分布為主，尚未考慮慣性力及齒輪副嚙合激勵(lì)對(duì)螺紋副載荷分布的影響，難以表示實(shí)際應(yīng)用中行星滾柱絲杠螺紋副的載荷分布規(guī)律。為此，文中建立了考慮齒輪副嚙合激勵(lì)的螺紋副動(dòng)載荷分布模型，分析了齒輪副嚙合激勵(lì)對(duì)螺紋副動(dòng)態(tài)接觸特性的影響。首先，基于圓柱碰撞理論及能量法求解齒輪副嚙入激勵(lì)和時(shí)變嚙合剛度，基于時(shí)變彈簧模型求解齒輪副時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)；接著，以滾柱為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，依據(jù)螺紋副變形協(xié)調(diào)條件得到了考慮齒輪副嚙合激勵(lì)的螺紋副動(dòng)載荷分布規(guī)律，并與螺紋副動(dòng)態(tài)接觸有限元模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證理論模型的正確性；最后，分析嚙入激勵(lì)和時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)對(duì)螺紋副動(dòng)態(tài)接觸力及動(dòng)載荷分布的影響，以期為提升螺紋承載能力及改善螺紋接觸平穩(wěn)性提供理論基礎(chǔ)。

1 齒輪嚙入激勵(lì)和時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)

1.1 齒輪嚙入激勵(lì)

輪齒受載變形的存在，使得嚙合齒對(duì)的法節(jié)發(fā)生變化［18］，使?jié)L柱輪齒的法節(jié)PbR與內(nèi)齒圈的法節(jié)Pbg不相等，即PbR

圖1中點(diǎn)A為嚙入沖擊點(diǎn)，此點(diǎn)沖擊碰撞可等效為兩圓柱沖擊碰撞，沖擊速度為兩輪齒的法向沖擊速度，圓柱質(zhì)量等效為兩輪齒轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在瞬時(shí)嚙合線上的等效質(zhì)量。應(yīng)用反轉(zhuǎn)法確定嚙入點(diǎn)A的位置。

圖1 齒輪副嚙入沖擊模型Fig.1 Gear pair meshing impact model

由圖中幾何關(guān)系可知

式中，I為傳動(dòng)比，a為中心距，rO1A為沖擊半徑，αaR、αag分別為滾柱輪齒及內(nèi)齒圈輪齒的齒頂圓壓力角，αB為理論嚙合點(diǎn)B的壓力角，α為滾柱輪齒與內(nèi)齒圈輪齒的壓力角，rbR、rbg、raR、rag分別為滾柱輪齒、內(nèi)齒圈輪齒的基圓半徑和齒頂圓半徑，φc為輪齒變形引起的幾何間隙角。

幾何間隙角可通過(guò)前一齒對(duì)嚙合方向總變形量∑δ求得，即

式中，δ1、δ2為前一對(duì)齒沿嚙合方向產(chǎn)生的撓曲變形，δc為前一對(duì)齒的面接觸變形［20］。

由于滾柱輪齒與內(nèi)齒圈輪齒接觸產(chǎn)生變形，導(dǎo)致滾柱輪齒與內(nèi)齒圈輪齒的下一齒對(duì)線外嚙合，實(shí)際嚙合線偏離理論嚙合線，使?jié)L柱輪齒與內(nèi)齒圈輪齒在嚙入點(diǎn)的速度不等，產(chǎn)生線外嚙合沖擊速度。滾柱輪齒與內(nèi)齒圈輪齒在線外嚙合點(diǎn)A處的線速度分別為vR和vg，將其分解到瞬時(shí)嚙合線方向得到?jīng)_擊速度vs，即

式中，vs1、vs2分別為v1、v2在瞬時(shí)嚙合線上的分量，ωR、ωg分別為滾柱輪齒和內(nèi)齒圈輪齒的角速度，為內(nèi)齒圈輪齒嚙合瞬時(shí)半徑。

將滾柱輪齒和內(nèi)齒圈輪齒在A點(diǎn)的嚙入沖擊等效為兩圓柱沿實(shí)際嚙合線的沖擊碰撞行為。基于等效圓柱碰撞模型，滾柱輪齒和內(nèi)齒圈輪齒等效模型接觸力與變形量之間的關(guān)系為

式中，F(xiàn)g為滾柱輪齒與內(nèi)齒圈輪齒的接觸力，n為圓柱接觸非線性指數(shù)（n=10/9），K為等效圓柱嚙合剛度。

根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，等效圓柱碰撞過(guò)程接觸力為

式中，t為時(shí)間，mR、mg、、分別為滾柱輪齒和內(nèi)齒圈輪齒的等效圓柱的質(zhì)量和瞬時(shí)速度。

聯(lián)立式（11）、（12），對(duì)兩邊求δ的積分，則有

式中，mequ=mRmg(mR+mg)為等效質(zhì)量。

已知滾柱輪齒及內(nèi)齒圈輪齒碰撞的初始條件為：時(shí)間t=0，初始沖擊速度=vs，變形量δ=0，變形量最大即沖擊力最大時(shí)，變形速度=0。因此，線外嚙合沖擊的最大沖擊力為

設(shè)碰撞沖擊過(guò)程為沖擊力與沖擊時(shí)間的半正弦脈沖，則滾柱輪齒與內(nèi)齒圈線外嚙合沖擊力為

1.2 齒輪副時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)激勵(lì)主要包含齒輪副嚙合本身所產(chǎn)生的內(nèi)部激勵(lì)和系統(tǒng)的其他因素對(duì)齒輪嚙合產(chǎn)生的外部激勵(lì)。由于同時(shí)嚙合齒對(duì)的變化、輪齒的誤差等內(nèi)部激勵(lì)引起的時(shí)變動(dòng)態(tài)嚙合力使其與一般的傳動(dòng)系統(tǒng)不同，即使外部激勵(lì)為0 或常值，齒輪系統(tǒng)也會(huì)受這種內(nèi)部激勵(lì)的影響而產(chǎn)生振動(dòng)。滾柱齒輪與內(nèi)齒圈齒輪的時(shí)變嚙合剛度是行星滾柱絲杠齒輪副主要的內(nèi)部激勵(lì)，是滾柱輪齒與內(nèi)齒圈輪齒嚙合激勵(lì)的重要部分。因此，求解滾柱齒輪與內(nèi)齒圈齒輪的時(shí)變嚙合剛度是求解行星滾柱絲杠齒輪副嚙合激勵(lì)的基礎(chǔ)。文中擬基于能量法建立滾柱輪齒與內(nèi)齒圈輪齒基體剛度及非線性接觸的時(shí)變嚙合剛度數(shù)學(xué)模型。

滾柱齒輪與內(nèi)齒圈為內(nèi)嚙合齒輪，在計(jì)算時(shí)變嚙合剛度時(shí)將滾柱輪齒與內(nèi)齒圈輪齒簡(jiǎn)化為約束在齒根圓上的懸臂梁，如圖2所示。

圖2 內(nèi)齒輪輪齒懸臂梁模型Fig.2 Cantilever beam model of internal gear teeth

基圓半徑rb、齒根圓半徑rf可以表示為

式中，M為齒輪模數(shù)，z為齒輪齒數(shù)，、c*分別為齒頂高系數(shù)及頂隙系數(shù)。

由于滾柱齒輪與內(nèi)齒圈的重合度e>1，存在單雙齒交替嚙合狀態(tài)，而雙齒嚙合區(qū)需要考慮基體修正的影響，因此，對(duì)雙齒嚙合區(qū)基體剛度進(jìn)行修正，此時(shí)齒輪副的時(shí)變嚙合剛度為

式中，kfR和kfg分別為滾柱齒輪及內(nèi)齒圈的基體剛度，λR和λg分別為滾柱齒輪和內(nèi)齒圈的基體修正系數(shù)，ktooth為e對(duì)齒輪對(duì)應(yīng)的輪齒部分的嚙合剛度，

由于齒輪基體修正理論計(jì)算方法的空缺，文中根據(jù)有限元方法計(jì)算滾柱齒輪及內(nèi)齒圈的基體修正系數(shù)λR和λg［22］。

根據(jù)Sainsot 等［23］推導(dǎo)的基體表達(dá)式，可得到基體剛度的計(jì)算公式為

式中，系數(shù)L*、M*、P*和Q*可以通過(guò)多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)確定，其表達(dá)式為

基于基體剛度計(jì)算公式（22）計(jì)算滾柱齒輪與內(nèi)齒圈基體剛度時(shí)，根據(jù)圖3內(nèi)嚙合齒輪基體變形幾何關(guān)系可知：

圖3 內(nèi)嚙合齒輪基體變形幾何參數(shù)Fig.3 Geometric parameters of internal meshing gear matrix deformation

式中，zg為內(nèi)齒圈的齒數(shù)。

由于滾柱齒輪與內(nèi)齒圈的嚙合重合度1

式中，yR(t)和yg(t)分別為滾柱齒輪和內(nèi)齒圈基圓上一點(diǎn)的線振動(dòng)位移。

經(jīng)分析可知，滾柱齒輪與內(nèi)齒圈的剛度激勵(lì)是因嚙合剛度的時(shí)變性產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)嚙合力并對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生動(dòng)態(tài)激勵(lì)的現(xiàn)象。文中假設(shè)滾柱齒輪與內(nèi)齒圈基圓上某條母線的線振動(dòng)位移為常值，利用齒輪嚙合剛度及式（29）求出齒輪動(dòng)態(tài)嚙合激勵(lì)力。假設(shè)齒輪副嚙合過(guò)程為沖擊力與沖擊時(shí)間的半正弦脈沖，則滾柱輪齒與內(nèi)齒圈嚙合激勵(lì)表達(dá)式為

式中，F(xiàn)G(t)為齒輪嚙合激勵(lì)，單齒嚙合剛度激勵(lì)用FGs表示，雙齒嚙合剛度激勵(lì)用FGd表示，ωf為半波正弦脈沖角頻率，tf為輪齒嚙合時(shí)間。

2 齒輪副嚙合激勵(lì)對(duì)螺紋副動(dòng)態(tài)接觸力的影響

2.1 受力分析

滾柱齒輪與內(nèi)齒圈嚙合時(shí)會(huì)產(chǎn)生嚙入激勵(lì)Fg及嚙合過(guò)程中的時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)FG，這兩部分激勵(lì)均為行星滾柱絲杠齒輪副嚙合的內(nèi)部激勵(lì)，若考慮其對(duì)螺紋副動(dòng)態(tài)接觸載荷的影響，則可將其等效為內(nèi)齒圈施加在滾柱上的外部載荷。滾柱齒輪與內(nèi)齒圈的嚙入激勵(lì)方向?yàn)榻佑|點(diǎn)法向方向，存在于滾柱端面，因此，嚙入激勵(lì)Fg對(duì)滾柱螺紋副動(dòng)態(tài)接觸載荷的影響僅在徑向和切向存在。同理，滾柱齒輪與內(nèi)齒圈的時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)FG也僅在螺紋副徑向和切向存在。

在滾柱中心建立空間坐標(biāo)系，以滾柱軸向?yàn)閦軸。滾柱齒輪與內(nèi)齒圈的受力分析如圖4所示。

滾柱齒輪與內(nèi)齒圈的法向接觸力FRg為

式中，F(xiàn)Rgy為法向接觸力FRg的橫向分量。

同理，滾柱齒輪與內(nèi)齒圈的嚙入激勵(lì)Fg和時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)FG可以分別表示為

式中，F(xiàn)gy和FGy分別為Fg和FG的橫向分量。

2.2 考慮齒輪副嚙合激勵(lì)的螺紋副動(dòng)態(tài)接觸力

基于行星滾柱絲杠螺旋曲面嚙合原理［25］，在圖5所示的局部坐標(biāo)系oPR-xPRyPRzPR中對(duì)滾柱與絲杠接觸側(cè)進(jìn)行受力分析。圖中，XOY為整體坐標(biāo)系，φSR為滾柱側(cè)嚙合偏角，為絲杠側(cè)嚙合偏角，rSR為滾柱側(cè)嚙合半徑，為絲杠側(cè)嚙合半徑，oR為滾柱軸線在局部坐標(biāo)系上的投影，oSR為絲杠與滾柱的接觸點(diǎn)，為滾柱與絲杠的靜態(tài)接觸力。

圖5 滾柱-絲杠側(cè)接觸力示意圖Fig.5 Schematic diagram of roller-screw side contact force

根據(jù)絲杠和滾柱螺旋曲面在接觸點(diǎn)處的法向量分析結(jié)果［25］，接觸力可表示為

λSR和βSR分別為絲杠與滾柱接觸點(diǎn)處的螺旋升角和牙側(cè)角，φSR為滾柱在絲杠側(cè)的嚙合偏角，F(xiàn)Nz為螺母上的負(fù)載，nroller為滾柱個(gè)數(shù)，LR為滾柱的導(dǎo)程，rR為滾柱的名義半徑，rTR為滾柱的牙型輪廓半徑，uTR為滾柱牙型輪廓圓心在螺紋牙截面uRvRwR的uR坐標(biāo)值，螺紋牙截面和參數(shù)定義見(jiàn)文獻(xiàn)［25］。

同理，對(duì)滾柱與螺母?jìng)?cè)進(jìn)行受力分析，如圖6所示，XOY為整體坐標(biāo)系，φNR為滾柱側(cè)嚙合偏角，為螺母?jìng)?cè)嚙合偏角，rNR為滾柱側(cè)嚙合半徑，為螺母?jìng)?cè)嚙合半徑，oR為滾柱軸線在局部坐標(biāo)系上的投影，oNR為滾柱與螺母在局部坐標(biāo)系oPR-xPRyPRzPR中的接觸點(diǎn)，為滾柱與螺母的靜態(tài)接觸力。

圖6 滾柱-螺母?jìng)?cè)接觸力示意圖Fig.6 Schematic diagram of roller-nut side contact force

根據(jù)絲杠和滾柱螺旋曲面在接觸點(diǎn)處的法向量分析結(jié)果［25］，滾柱-螺母?jìng)?cè)接觸力可表示為

由于螺母在觸點(diǎn)處的螺旋升角λNR和牙側(cè)角βNR分別等于滾柱的螺旋升角λR和牙側(cè)角βR，則螺母與滾柱的嚙合偏角φNR=0，故可表示為

由于滾柱兩側(cè)均存在齒輪副激勵(lì)，因此，考慮滾柱齒輪與內(nèi)齒圈的嚙入激勵(lì)和時(shí)變嚙合激勵(lì)影響下的滾柱-絲杠側(cè)接觸力及滾柱-螺母?jìng)?cè)的接觸力可表示為

式中，ts為線外嚙入沖擊的時(shí)間，te為一對(duì)輪齒嚙合結(jié)束的時(shí)間。

2.3 考慮慣性力及齒輪副嚙合激勵(lì)的螺紋副動(dòng)態(tài)接觸力

行星滾柱絲杠在高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，滾柱繞絲杠公轉(zhuǎn)產(chǎn)生不可忽略的慣性力。考慮慣性力對(duì)滾柱與絲杠及螺母?jìng)?cè)的受力影響，建立如圖7所示受力示意圖。由圖7可知，滾柱與絲杠及螺母之間存在方向相反的動(dòng)態(tài)接觸力和，接觸角αSR和αNR為法向接觸力與絲杠徑向的夾角，慣性力垂直于絲杠軸線方向，沿絲杠指向螺母。將滾柱作為研究對(duì)象對(duì)其進(jìn)行受力分析，在其軸向和徑向列力平衡方程：

圖7 行星滾柱絲杠螺紋副受力示意圖Fig.7 Schematic diagram of the force acting on the thread pair of planetary roller screw mechanism

式中，m為滾柱的質(zhì)量，F(xiàn)c為慣性力，ωP為滾柱公轉(zhuǎn)角速度，r為絲杠和滾柱的中徑之和。

2.4 考慮齒輪副嚙合激勵(lì)及慣性力的螺紋副動(dòng)載荷分布

同理，考慮齒輪副嚙合激勵(lì)的滾柱-螺母?jìng)?cè)螺紋副動(dòng)載荷分布方程為

式中，kSB、kRB、kNB分別為絲杠、滾柱、螺母的螺紋軸段剛度，kST、kRT、kNT分別為絲杠、滾柱、螺母的螺紋牙剛度，kSRC、kNRC分別為滾柱-絲杠、滾柱-螺母?jìng)?cè)的螺紋牙軸向接觸剛度，、分別為滾柱-絲杠、滾柱-螺母?jìng)?cè)第j個(gè)螺紋牙所受軸向載荷，為滾柱-螺母?jìng)?cè)第i個(gè)螺紋牙的接觸載荷。

聯(lián)立式（47）-（50），根據(jù)圖8 所示流程求解滾柱-絲杠側(cè)及滾柱-螺母?jìng)?cè)的動(dòng)載荷分布。

圖8 螺紋副動(dòng)載荷分布計(jì)算方法流程圖Fig.8 Flow chart of calculation method for dynamic contact force of threaded pairs

3 算例及模型驗(yàn)證

3.1 算例

為詳述考慮齒輪副嚙合激勵(lì)影響的行星滾柱絲杠螺紋副動(dòng)態(tài)接觸特性的求解方法，特舉實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明，行星滾柱絲杠材料彈性模量為212 GPa，泊松比為0.29。表1 為一組行星滾柱絲杠螺紋副參數(shù)。

表1 行星滾柱絲杠主要結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Main structural parameters of planetary roller screw mechanism

根據(jù)表1給出的滾柱螺紋副參數(shù)及滾柱輪齒參數(shù)推導(dǎo)方法［5］，確定滾柱兩端輪齒參數(shù)如表2所示。

表2 齒輪副結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Structural parameters of gear pair

根據(jù)嚙入沖擊理論，定義螺母負(fù)載為5 kN，絲杠轉(zhuǎn)速為200 rad/s，求解得到圖9 所示理論嚙入沖擊力。從圖中可知，齒輪副最大嚙入沖擊力為34 N，外線嚙合時(shí)間為156 μs。齒輪副嚙入沖擊力的數(shù)值相對(duì)螺母負(fù)載較小，但齒輪副的微小沖擊亦會(huì)影響螺紋副的接觸位置，導(dǎo)致螺紋副接觸力的改變，故齒輪副的嚙入沖擊力不可忽略。

圖9 齒輪副的嚙入沖擊力Fig.9 Meshing impact force of gear pair

根據(jù)表1 和表2 中的螺紋副和齒輪副的參數(shù)建立行星滾柱絲杠三維模型，為提高計(jì)算效率，滾柱個(gè)數(shù)設(shè)置為3。將三維模型導(dǎo)入有限元軟件中，得到行星滾柱絲杠有限元模型，并對(duì)其進(jìn)行模型前處理。設(shè)置絲杠轉(zhuǎn)速為200 rad/s，螺母負(fù)載為5 kN，計(jì)算滾柱齒輪與內(nèi)齒圈的接觸應(yīng)力，分析其單雙齒嚙合的時(shí)間。有限元模型計(jì)算結(jié)果如圖10 所示，滾柱齒輪與內(nèi)齒圈雙齒嚙合為AB段，單齒嚙合為BC段。從圖中可知，絲杠轉(zhuǎn)速為200 rad/s 時(shí)，滾柱齒輪與內(nèi)齒圈單齒嚙合時(shí)間為0.7 ms，雙齒嚙合時(shí)間為1.5 ms。

圖10 滾柱齒輪-內(nèi)齒圈的單、雙齒嚙合周期Fig.10 Single and double tooth meshing cycles of gear of roller-inner ring gear

將求得的基體修正系數(shù)λR和λg代入滾柱齒輪與內(nèi)齒圈時(shí)變嚙合剛度計(jì)算模型中，求得單、雙齒時(shí)變嚙合剛度，如圖11 所示。從圖中可知，滾柱齒輪與內(nèi)齒圈的單齒嚙合剛度為1.21×106N/m，雙齒嚙合剛度為1.02×106N/m。

圖11 滾柱齒輪-內(nèi)齒圈的時(shí)變嚙合剛度Fig.11 Time-varying meshing stiffness of gear of roller-inner ring gear

將求解得到的單、雙齒嚙合剛度代入式（30）中，單、雙齒嚙合時(shí)間代入式（32）中，求得滾柱齒輪與內(nèi)齒圈的單齒嚙合激勵(lì)FGs為135.1 N，雙齒嚙合激勵(lì)FGd為112.8 N。

根據(jù)式（30）可求得齒輪副單齒嚙合剛度激勵(lì)FGs=135.1 sin雙齒嚙合剛度激勵(lì)為FGd=112.8 sin

根據(jù)齒輪副嚙合激勵(lì)計(jì)算方法求解在轉(zhuǎn)速200 rad/s及負(fù)載5 kN 條件下滾柱輪齒與內(nèi)齒圈輪齒的嚙合激勵(lì)，結(jié)果如圖12 所示。從圖中可知，滾柱輪齒與內(nèi)齒圈輪齒的嚙入沖擊載荷最大值Fg，max為35.2 N，單齒嚙合剛度激勵(lì)最大值為135.3 N，雙齒嚙合剛度激勵(lì)最大值為112.8 N，齒輪副平均沖擊載荷為70.6 N。

圖12 滾柱齒輪-內(nèi)齒圈的嚙合激勵(lì)Fig.12 Meshing excitation of gear of roller-inner ring gear

將滾柱齒輪與內(nèi)齒圈的單齒和雙齒嚙合激勵(lì)代入式（45）及式（46）中，求解得到滾柱-絲杠側(cè)及滾柱-螺母?jìng)?cè)的接觸力和并與未考慮齒輪副影響的螺紋副動(dòng)態(tài)接觸力進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖13所示。從圖中可知，未考慮齒輪副影響的滾柱-絲杠側(cè)及滾柱-螺母?jìng)?cè)接觸力和分別為2 381 N和2 372 N，考慮齒輪副影響的滾柱-絲杠側(cè)及滾柱-螺母?jìng)?cè)接觸力和的平均值分別為2 523 N 和2 514 N。此外，根據(jù)圖13可以知道齒輪副對(duì)螺紋副接觸力影響的大小及時(shí)間。螺紋副接觸力的波動(dòng)隨齒輪副的嚙合狀態(tài)發(fā)生變化，線外嚙入激勵(lì)對(duì)螺紋副接觸力的影響較小，單齒嚙合剛度激勵(lì)對(duì)螺紋副接觸力的影響較大，雙齒嚙合剛度激勵(lì)對(duì)螺紋副接觸力的影響時(shí)間較長(zhǎng)，約為單齒嚙合剛度激勵(lì)時(shí)間的兩倍。齒輪副嚙合激勵(lì)對(duì)滾柱-絲杠側(cè)的影響僅占滾柱-絲杠側(cè)接觸力的5.96%，對(duì)滾柱-螺母?jìng)?cè)的影響僅占滾柱-螺母?jìng)?cè)的5.98%。與齒輪副沖擊力類似，齒輪副的嚙合激勵(lì)亦會(huì)對(duì)螺紋副接觸位置造成影響，故不可忽略。

圖13 考慮齒輪副影響的螺紋副接觸力Fig.13 Contact force of threaded pair considering the influence of gear pair

圖14 考慮慣性力和齒輪副影響的螺紋副動(dòng)態(tài)接觸力Fig.14 Dynamic contact force of thread pair considering the influence of inertia force and gear pair

3.2 有限元模型驗(yàn)證

根據(jù)表1 螺紋副參數(shù)及表2 齒輪副參數(shù)建立行星滾柱絲杠三維模型。由于行星滾柱絲杠為滾柱均布的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，為提高計(jì)算效率，對(duì)三維模型進(jìn)行簡(jiǎn)化處理：僅保留滾柱、絲杠、螺母、保持架及內(nèi)齒圈等主要零件，將原有的10個(gè)滾柱簡(jiǎn)化為均布的3個(gè)，每個(gè)滾柱保留20個(gè)螺紋牙。零件材料均選擇GCr15，密度為7 810 kg/m3，彈性模量為212 GPa，泊松比為0.29。

根據(jù)行星滾柱絲杠各零件的運(yùn)動(dòng)方式分別添加對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)副［10］。接觸分別為滾柱和絲杠及螺母螺紋副之間的接觸、滾柱齒輪和內(nèi)齒圈之間的齒輪副接觸、滾柱和保持架之間的接觸。對(duì)絲杠施加轉(zhuǎn)速200 rad/s，對(duì)螺母施加與運(yùn)動(dòng)方向相反的軸向負(fù)載5 kN，在滾柱上施加徑向慣性力。前處理后的行星滾柱絲杠有限元模型如圖15所示。

圖15 行星滾柱絲杠有限元模型Fig.15 Finite element model of planetary roller screw mechanism

對(duì)考慮齒輪副嚙合激勵(lì)影響的螺紋副動(dòng)載荷分布有限元模型進(jìn)行求解，得到滾柱齒輪與內(nèi)齒圈、滾柱-絲杠側(cè)及滾柱-螺母?jìng)?cè)的接觸力曲線如圖16所示。從圖16（a）可知，滾柱齒輪與內(nèi)齒圈的接觸力在穩(wěn)定后呈周期性波動(dòng)，在一個(gè)嚙合周期內(nèi)，第一個(gè)凸峰為齒輪副線外嚙入激勵(lì)，中間較大的凸峰為單齒嚙合剛度激勵(lì)，較小的凸峰為雙齒嚙合剛度激勵(lì)，最小的凸峰為嚙出激勵(lì)。滾柱齒輪與內(nèi)齒圈的接觸力平均值為65 N，與理論值的誤差為8%，誤差來(lái)源于齒輪副嚙出激勵(lì)。從圖16（b）可知：考慮齒輪副影響的滾柱-絲杠側(cè)、滾柱-螺母?jìng)?cè)動(dòng)態(tài)接觸力、的平均值分別為2 481 N和2 472 N。有限元模型的結(jié)果與理論模型計(jì)算結(jié)果的最大誤差為1.7%，此結(jié)果驗(yàn)證了考慮齒輪副影響的螺紋副接觸力計(jì)算方法的正確性。

圖16 考慮齒輪副嚙合激勵(lì)影響的齒輪副和螺紋副動(dòng)態(tài)接觸力Fig.16 Dynamic contact force of gear pair and threaded pair considering the influence of meshing excitation of gear pair

考慮慣性力及齒輪副影響的螺紋副動(dòng)態(tài)接觸力如圖17 所示，從圖中可知，考慮慣性力及齒輪副影響的滾柱-絲杠側(cè)、滾柱-螺母?jìng)?cè)動(dòng)態(tài)接觸力的平均值分別為2 466 N 和2 487 N。有限元模型結(jié)果與理論模型計(jì)算結(jié)果的最大誤差為1.8%，此結(jié)果驗(yàn)證了考慮慣性力及齒輪副影響的螺紋副動(dòng)態(tài)接觸力計(jì)算方法的正確性。

圖17 考慮慣性力及齒輪副影響的螺紋副動(dòng)態(tài)接觸力Fig.17 Dynamic contact force of threaded pair considering the influence of inertia force and gear pair

文中所建理論模型能夠考慮齒輪副嚙合激勵(lì)，實(shí)現(xiàn)螺紋副動(dòng)載荷分布計(jì)算，真實(shí)反映了行星滾柱絲杠螺紋副和齒輪副的同步嚙合特征，相比于有限元模型計(jì)算方法，解決了有限元模型規(guī)模大、約束條件多、難以計(jì)算螺紋副動(dòng)態(tài)載荷分布的難題。文中所建模型還可以改變行星滾柱絲杠結(jié)構(gòu)參數(shù)，快速求解參數(shù)變化對(duì)螺紋副動(dòng)載荷分布的影響規(guī)律。

3.3 考慮慣性力及齒輪副嚙合激勵(lì)的螺紋副動(dòng)載荷分布

將考慮慣性力及齒輪副嚙合激勵(lì)影響的滾柱-絲杠側(cè)及滾柱-螺母?jìng)?cè)的動(dòng)態(tài)接觸力和代入式（49）及（50）中，求解考慮齒輪副嚙合激勵(lì)的滾柱-絲杠側(cè)及滾柱-螺母?jìng)?cè)的螺紋副動(dòng)載荷分布，結(jié)果如圖18 所示。未考慮齒輪副嚙合激勵(lì)的螺紋副載荷分布如圖19所示。

圖18 考慮齒輪副嚙合激勵(lì)的螺紋副動(dòng)載荷分布Fig.18 Dynamic load distribution of threaded pairs considering gear pair meshing excitation

圖19 未考慮齒輪副嚙合激勵(lì)的螺紋副載荷分布Fig.19 Load distribution of threaded pairs without considering gear pair meshing excitation

從圖18可知，考慮齒輪副嚙合激勵(lì)時(shí)，滾柱-絲杠側(cè)螺紋牙接觸力隨著螺紋牙序號(hào)的增大而減小，滾柱-螺母?jìng)?cè)螺紋牙接觸力隨著螺紋牙序號(hào)的增大而增大，與圖19 所示未考慮齒輪副嚙合激勵(lì)的螺紋副載荷分布規(guī)律相同。考慮齒輪副嚙合激勵(lì)后，滾柱-絲杠側(cè)及滾柱-螺母?jìng)?cè)各螺紋牙的接觸力隨著時(shí)間的變化會(huì)有相同規(guī)律的波動(dòng)，其大小取決于齒輪副嚙合激勵(lì)的大小。考慮齒輪副嚙合激勵(lì)及慣性力的螺紋副動(dòng)載荷分布計(jì)算結(jié)果與未考慮齒輪副嚙合激勵(lì)及慣性力的螺紋副載荷分布計(jì)算結(jié)果相比，更能體現(xiàn)行星滾柱絲杠實(shí)際工作中的載荷分布特性，為研究工況及設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)載荷分布規(guī)律的影響提供理論基礎(chǔ)。

4 結(jié)論

文中求解了滾柱齒輪與內(nèi)齒圈的線外嚙入激勵(lì)、單雙齒時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)，建立了考慮慣性力及齒輪副嚙合激勵(lì)的螺紋副動(dòng)態(tài)接觸力及動(dòng)載荷分布模型，并將其計(jì)算結(jié)果與行星滾柱絲杠螺紋副接觸有限元模型的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，兩者最大誤差為8%，驗(yàn)證了文中所建理論模型的正確性，并得出主要結(jié)論如下：

（1）螺紋副接觸力的波動(dòng)隨齒輪副的嚙合狀態(tài)發(fā)生變化，線外嚙入激勵(lì)對(duì)螺紋副接觸力的影響較小，單齒嚙合剛度激勵(lì)對(duì)螺紋副接觸力的影響較大，雙齒嚙合時(shí)間約為單齒嚙合時(shí)間的兩倍。

（2）慣性力使?jié)L柱-螺母?jìng)?cè)動(dòng)態(tài)接觸力大于滾柱-絲杠側(cè)。滾柱繞絲杠公轉(zhuǎn)產(chǎn)生的慣性力使?jié)L柱靠近螺母遠(yuǎn)離絲杠，從而使?jié)L柱-螺母?jìng)?cè)的變形增大、滾柱-絲杠側(cè)的變形減小，最終導(dǎo)致滾柱-絲杠側(cè)的動(dòng)態(tài)接觸力小于滾柱-螺母?jìng)?cè)。

（3）考慮齒輪副嚙合激勵(lì)時(shí)，滾柱-絲杠側(cè)螺紋牙接觸力隨著螺紋牙序號(hào)的增大而減小，滾柱-螺母?jìng)?cè)螺紋牙接觸力隨著螺紋牙序號(hào)的增大而增大。滾柱-絲杠側(cè)及滾柱-螺母?jìng)?cè)各螺紋牙的接觸力隨著時(shí)間的變化發(fā)生相同規(guī)律的波動(dòng)。