羅世賢 陳鑫 黃敢基

（1.廣西大學(xué) 電氣工程學(xué)院，廣西 南寧 530004；2.廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院/廣西應(yīng)用數(shù)學(xué)中心，廣西 南寧 530004）

輸出反饋控制問題一直是控制系統(tǒng)的主要研究方向之一［1-6］。特別是由于實(shí)際工程領(lǐng)域中，系統(tǒng)的狀態(tài)往往是部分已知，且動(dòng)態(tài)輸出反饋控制具有優(yōu)良的控制性能與控制效果，基于觀測器的輸出反饋控制受到學(xué)者的廣泛研究。文獻(xiàn)［7］基于脈沖觀測器研究了一類具有時(shí)變時(shí)滯線性系統(tǒng)的脈沖控制問題。文獻(xiàn)［8］則針對調(diào)度通信條件下的Lipschitz非線性系統(tǒng)提出了一種基于連續(xù)時(shí)間觀測器的動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計(jì)框架。然而，隨著網(wǎng)絡(luò)化架構(gòu)的數(shù)字控制策略的發(fā)展，基于采樣數(shù)據(jù)的輸出反饋控制更符合當(dāng)前的控制需求。文獻(xiàn)［9］針對信息物理融合系統(tǒng)提出了一種分布式采樣控制算法，能夠合理高效地配置控制器資源。與連續(xù)時(shí)間反饋控制不同，基于離散測量輸出的控制策略有時(shí)會更具有優(yōu)越性。如文獻(xiàn)［10］提出了一個(gè)連續(xù)時(shí)間靜態(tài)輸出反饋無法鎮(zhèn)定的系統(tǒng)，但可以利用離散時(shí)間輸出反饋控制實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。

目前，基于采樣數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)輸出反饋控制的研究主要包括基于離散時(shí)間逼近模型的輸出反饋控制［11］、基于采樣保持觀測器的反饋控制［12-13］、基于脈沖觀測器或連續(xù)-離散觀測器的反饋控制［14-15］等。其中采樣觀測器通過建模為脈沖系統(tǒng)進(jìn)行分析，有助于挖掘系統(tǒng)所隱含的混雜結(jié)構(gòu)，為構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)、分析觀測誤差系統(tǒng)的收斂性提供了便利，而脈沖觀測器或者連續(xù)-離散觀測器有時(shí)優(yōu)于采樣保持觀測器。文獻(xiàn)［14］證明了經(jīng)典的采樣保持觀測器無法漸近觀測存在測量誤差的系統(tǒng)，且魯棒性差，而脈沖觀測器或者連續(xù)-離散觀測器不僅結(jié)構(gòu)簡單，魯棒性強(qiáng)，還能夠?qū)崿F(xiàn)存在測量誤差的狀態(tài)重構(gòu)。近幾年，基于脈沖觀測器的反饋控制設(shè)計(jì)得到了進(jìn)一步的發(fā)展。文獻(xiàn)［15］基于Round-Robin非周期采樣測量，設(shè)計(jì)了時(shí)變增益脈沖觀測器以改善脈沖觀測器的性能，并應(yīng)用于汽車懸掛系統(tǒng)。文獻(xiàn)［16］針對一類具有采樣時(shí)滯、有界擾動(dòng)和確定性測量噪聲的非線性系統(tǒng)，提出了一種基于周期采樣數(shù)據(jù)的高增益觀測器設(shè)計(jì)方法，并應(yīng)用于四旋翼無人機(jī)。

上述文獻(xiàn)大多采用周期采樣控制策略，通過對測量信號進(jìn)行周期采樣，計(jì)算控制器輸出并周期性地執(zhí)行控制任務(wù)。由于這種設(shè)計(jì)方法比較簡便，在對觀測器的設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用，但這類設(shè)計(jì)方法存在嚴(yán)重的缺陷，在滿足性能指標(biāo)的前提下，周期性的采樣控制會導(dǎo)致系統(tǒng)的通信資源得不到有效的利用，特別是在大型控制系統(tǒng)中，會顯著增加計(jì)算機(jī)的通信負(fù)荷［17］。因此，設(shè)計(jì)一個(gè)合理的采樣傳輸機(jī)制，對于減少計(jì)算機(jī)通信資源和計(jì)算成本有十分重要的意義。目前，針對這一問題的研究成果頗多。其中，事件觸發(fā)機(jī)制因具有卓越的控制效果而引起了許多學(xué)者的重視［18-21］。但是，在事件觸發(fā)觀測器設(shè)計(jì)方面，由于系統(tǒng)狀態(tài)未知與Zeno 行為的存在，在設(shè)計(jì)事件觸發(fā)控制策略時(shí)只能利用系統(tǒng)測量輸出的有效信息，給事件觸發(fā)觀測器設(shè)計(jì)帶來了挑戰(zhàn)。目前，關(guān)于事件觸發(fā)觀測器的研究成果仍相對較少，主要集中在事件觸發(fā)機(jī)制的合理設(shè)計(jì)。例如，文獻(xiàn)［22］針對一類具有時(shí)滯與干擾的單邊Lipschitz 系統(tǒng)，提出了一種連續(xù)時(shí)間事件觸發(fā)觀測器的設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)［23］提出了一種新型的動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)觀測器設(shè)計(jì)方法。與此同時(shí)，由于系統(tǒng)自身及其外部環(huán)境的影響，對系統(tǒng)輸出進(jìn)行采樣時(shí)，系統(tǒng)的測量輸出往往會受到隨機(jī)噪聲的影響。如文獻(xiàn)［24］研究了一類在測量噪聲約束下的動(dòng)態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的分布式跟蹤控制。而在基于離散測量信息設(shè)計(jì)觀測器方面，現(xiàn)有文獻(xiàn)很少考慮測量噪聲的存在。目前，處理測量噪聲的方法主要有高增益觀測器和增益自適應(yīng)觀測器兩種方法［25-26］。如文獻(xiàn)［27］分析了一類存在未知測量噪聲的非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)輸出反饋控制問題，解決了狀態(tài)重建和測量噪聲衰減之間的權(quán)衡問題。文獻(xiàn)［25］針對含測量噪聲的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種具有增益自適應(yīng)的魯棒觀測器，通過利用增益自適應(yīng)和增量可觀測性保證了估計(jì)誤差是有界的。然而，上述結(jié)果所考慮的測量噪聲都屬于確定性噪聲，在實(shí)際的工程領(lǐng)域中，系統(tǒng)的測量噪聲往往是隨機(jī)的，而目前對含隨機(jī)測量噪聲的事件觸發(fā)觀測器的設(shè)計(jì)鮮有相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道，主要原因在于：①測量輸出信號為隨機(jī)過程，導(dǎo)致難以設(shè)計(jì)保證所有樣本軌跡避免Zeno 行為的事件觸發(fā)機(jī)制；②隨機(jī)噪聲的存在導(dǎo)致分離設(shè)計(jì)方法不再成立，傳統(tǒng)的分析方法［19，22-23］難以解決含隨機(jī)測量噪聲的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制器設(shè)計(jì)問題。

受上述研究的啟發(fā)，文中考慮一類同時(shí)受乘性與加性隨機(jī)噪聲影響、離散時(shí)間測量的Lipschitz非線性系統(tǒng)，提出了一種新型事件觸發(fā)脈沖觀測器設(shè)計(jì)方法，以解決存在隨機(jī)測量噪聲的非線性系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題；發(fā)展了擬周期離散化Lyapunov 函數(shù)方法，用以分析閉環(huán)系統(tǒng)的收斂性和穩(wěn)定性，利用聯(lián)合設(shè)計(jì)方法解決隨機(jī)測量噪聲下無法分離設(shè)計(jì)控制增益與觀測增益的難題。

1 系統(tǒng)描述

考慮如下一類離散測量輸出同時(shí)受乘性噪聲和加性噪聲影響的連續(xù)時(shí)間非線性系統(tǒng)，即

式中，κ∈R+，f(0)=0。由此可得

針對系統(tǒng)（1），設(shè)計(jì)脈沖觀測器（增益為L）

及狀態(tài)反饋控制器（增益為K）

為減少采樣數(shù)據(jù)的傳輸次數(shù)，考慮如下事件驅(qū)動(dòng)控制策略：

式中，θ∈(0，1)為事件觸發(fā)參數(shù)，Ω為待設(shè)計(jì)的正定矩陣，sl(l∈N)為觸發(fā)時(shí)刻，ζ≥0。為了分析簡便，對?t∈[tk，tk+1)，文中引入變量yˉ(t)對事件驅(qū)動(dòng)控制策略（式（5））進(jìn)行刻畫：

根據(jù)事件驅(qū)動(dòng)控制策略（式（5）），有

注1由于事件觸發(fā)機(jī)制（式（5））采用了離散時(shí)間樣本測量信息進(jìn)行設(shè)計(jì)，且采樣時(shí)間間隔tk+1-tk≥δ0，所以該事件觸發(fā)機(jī)制對所有樣本測量均避免了Zeno 行為。注意到y(tǒng)(tk)含有隨機(jī)噪聲，事件觸發(fā)時(shí)刻sl為隨機(jī)變量，因此系統(tǒng)的隨機(jī)性影響采樣測量輸出的傳輸次數(shù)。

基于事件驅(qū)動(dòng)控制策略（式（6）），脈沖觀測器（式（3））可重構(gòu)為

注2與現(xiàn)有基于時(shí)間觸發(fā)/周期采樣數(shù)據(jù)的觀測器設(shè)計(jì)方法［7-8，12-15，22-23，28］相比，事件觸發(fā)觀測器（式（7））不僅有效地減少了測量輸出的傳輸次數(shù)，降低通信/計(jì)算資源的消耗，還同時(shí)考慮了乘性和加性的測量噪聲。

引入狀態(tài)誤差g(He(t))=f(H(t))-f(Hx(t))與e(t)=(t)-x(t)。基于系統(tǒng)（1）、觀測器（7）與控制器（4），可得誤差系統(tǒng)

引入增廣狀態(tài)η(t)=[xT(t)eT(t)]T，結(jié)合閉環(huán)系統(tǒng)（1）與誤差系統(tǒng)（9），可構(gòu)造增廣系統(tǒng)

2 主要結(jié)果

為便于分析，文中首先引入如下引理。

引理1［29］對于任意n×n矩陣X>0、U與常數(shù)ε>0，下列矩陣不等式恒成立：

引理2若分段連續(xù)函數(shù)V1：[tk，tk+1) →[0，∞)滿足微分不等式

其中η>0，ν>0，k∈N，則

證明為了簡便計(jì)算，記ak=，tk+1-tk=δk，則有

記ρ1=，M=，不等式（13）可改寫為

利用引理（2）和擬周期Lyapunov 函數(shù)方法分析增廣系統(tǒng)（10），建立閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)。

則閉環(huán)系統(tǒng)（10）關(guān)于T(δ0，δ1)均方意義下最終有界，即閉環(huán)系統(tǒng)的解滿足

證明首先，對于任意給定的兩個(gè)相鄰脈沖時(shí)刻tk、tk+1，將其脈沖間隔等分為N個(gè)子區(qū)間，第i個(gè)子區(qū)間Δik=[tk+ihk，tk+(i+1)hk)，i∈{0，1，…，N-1}，hk=

然后，引入可微分段線性函數(shù)

令ρ1i(t)=1-ρ0i(t)，容易發(fā)現(xiàn)，對任意t∈Δik，

基于上述可微分段線性函數(shù)，對任意t∈Δik，引入候選時(shí)變Lyapunov函數(shù)

式中，ξ(t)=[xT(t)，eT(t)，fT(Hx(t))，gT(Hx(t))]T，對不等式（20）兩邊取數(shù)學(xué)期望，由不等式（16）得Yc，i，l≤0，則

對不等式（21）兩邊進(jìn)行 從tk+ihk到t的積分，則

因?yàn)閂(t)在脈沖區(qū)間[tk，tk+1)內(nèi)連續(xù)，所以

當(dāng)t=tk時(shí)，

根據(jù)事件驅(qū)動(dòng)控制策略（式（5））可得

因此，由不等式（17）得

聯(lián)立不等式（20）與（23）可得

根據(jù)引理（2）可得

綜上所述，當(dāng)t→+∞時(shí)，在均方意義下最終有界。

注3與基于時(shí)不變Lyapunov 函數(shù)方法［7］或者基于一次線性插值的時(shí)變Lyapunov 函數(shù)方法［30］相比，定理1建立的穩(wěn)定性判據(jù)具有較小的保守性。此外，文獻(xiàn)［4］已證明，當(dāng)系統(tǒng)不存在測量噪聲和非線性函數(shù)，且周期脈沖tk+1-tk≡δ0時(shí)，定理1給出的穩(wěn)定性判據(jù)為充要條件。因此，隨著N的增大，該穩(wěn)定性判據(jù)的保守性將減小。

基于簡單的矩陣計(jì)算，定理1給出了閉環(huán)系統(tǒng)（式（1））滿足事件觸發(fā)控制策略（式（5））下的穩(wěn)定性判據(jù)。下面基于定理1，給出觀測器增益與控制增益的設(shè)計(jì)方案。

則系統(tǒng)（1）在控制增益K=YcX-1與觀測增益L=的作用下關(guān)于T(δ0，δ1)在均方意義下最終有界，即閉環(huán)系統(tǒng)的解滿足式（18）。

證明取P1(t)=，P2(t)=(t)，利用Young不等式，根據(jù)不等式（16）可以導(dǎo)出

因此，當(dāng)不等式（25）成立時(shí)，不等式（16）成立。定義Yd=，利用不等式（16），根據(jù)Schur引理與引理1可知

因此，當(dāng)不等式（26）-（28）成立時(shí)，不等式（17）也成立。

控制增益和觀測增益算法的步驟如下：

（1）給定正整數(shù)N、脈沖周期的下界δ0、事件觸發(fā)參數(shù)θ、ζ及收斂率μ；

（2）通過四維搜索方法選取正數(shù)ε、τ、ι和脈沖周期上界δ1，求解線性矩陣不等式（25）-（28）；

（3）若線性不等式有可行解，則控制增益K=YcX-1，觀測增益L=否則返回步驟（1）重新調(diào)節(jié)參數(shù)。

3 仿真實(shí)例

文中以圖1所示的連桿機(jī)械臂系統(tǒng)為例［31］進(jìn)行仿真，并假設(shè)系統(tǒng)的測量輸出同時(shí)受到加性噪聲和乘性噪聲的影響，以驗(yàn)證文中提出方法的有效性。

根據(jù)圖1，將連桿機(jī)械臂系統(tǒng)建模成四階動(dòng)力學(xué)模型：

式中，Jm、Jl分別為直流電機(jī)與連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，θl為連桿轉(zhuǎn)角，θm為電機(jī)轉(zhuǎn)角，ωl為連桿角速度。

根據(jù)實(shí)際工程應(yīng)用可知，Jm=3.7 × 10-3kg·m2，Jl=9.3 × 10-3kg·m2，B=4.6 × 10-2N·m/V，Kr=8.0 ×10-2N·m/V，m=2.1 × 10-1kg，k=1.8 × 10-1N·m/rad。選擇θm、ωm、θl、ωl作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，θm和ωm作為系統(tǒng)的測量輸出，則連桿機(jī)械臂模型的狀態(tài)空間可建模成系統(tǒng)（1），其系統(tǒng)參數(shù)為

給定(μ，ε，τ，θ，ι，ζ)=(0.15，0.15，0.2，0.5，0.1，0)，設(shè)定最小脈沖周期δ0=0.001，針對不同插值點(diǎn)N，求解線性矩陣不等式（25）-（28），可得到如表1 所示的最大脈沖周期δmax。從表中可以發(fā)現(xiàn)，插值點(diǎn)N越大，脈沖周期的上界越大，說明N越大，結(jié)果的保守性越小。選取N=1時(shí)，得到待設(shè)計(jì)的正定矩陣Ω、控制增益矩陣K與觀測增益矩陣L為

在連桿機(jī)械臂系統(tǒng)與觀測系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x(0)=[0.1，-0.2，0.3，-0.5]T、e(0)=[0.2，-0.4，0.6，-1]T的條件下，連桿機(jī)械臂閉環(huán)系統(tǒng)及其估計(jì)誤差的樣本軌跡、對應(yīng)的事件觸發(fā)間隔如圖2 所示。可以看出，該系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡與估計(jì)誤差的狀態(tài)軌跡在控制增益K與觀測增益L的作用下最終有界。此外，該系統(tǒng)分別在文中方法與文獻(xiàn)［8］方法作用下，測量輸出在30 s 內(nèi)的傳輸次數(shù)分別為48和409，說明事件觸發(fā)機(jī)制的引入有效地減少了系統(tǒng)測量輸出的傳輸次數(shù)，提高了通信資源的利用率。

圖2 連桿機(jī)械臂閉環(huán)系統(tǒng)及其估計(jì)誤差的樣本軌跡與事件觸發(fā)間隔Fig.2 Sample-path trajectories of the connecting rod robotic arm system and its estimation error and event-triggered interval

4 結(jié)論

基于事件觸發(fā)控制策略，文中研究了一類測量輸出同時(shí)受到乘性噪聲與加性噪聲影響的Lipschitz非線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)觀測器設(shè)計(jì)。通過聯(lián)合設(shè)計(jì)的方法，將閉環(huán)系統(tǒng)與觀測誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)換為求解一組線性矩陣不等式的可行解問題。與現(xiàn)有的結(jié)果相比，文中方法通過將事件觸發(fā)控制策略與觀測器設(shè)計(jì)相結(jié)合，有效地減少了系統(tǒng)狀態(tài)的傳輸次數(shù)，節(jié)省計(jì)算機(jī)的通信資源。連桿機(jī)械臂系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了文中所提方法的有效性。需要指出的是，文中研究僅考慮Lipschitz常數(shù)為已知的情形，如何對Lipschitz常數(shù)為未知的控制系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)重構(gòu)和控制，是一個(gè)值得探討的問題。