陳蓉蓉

（浙江省瑞安市濱江小學(xué)）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》在課程理念中指出：“課程內(nèi)容選擇要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律；課程內(nèi)容組織要進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合；課程內(nèi)容呈現(xiàn)要逐漸拓展加深。”在教學(xué)過(guò)程中，合理整合使用教材，一方面能夠幫助學(xué)生提高掌握知識(shí)的效率，構(gòu)建完善知識(shí)體系，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用聯(lián)系發(fā)展的眼光看問(wèn)題；另一方面，能夠有效提高整體教學(xué)質(zhì)量，更合理地開(kāi)展教學(xué)。

課程目標(biāo)中提出核心素養(yǎng)的構(gòu)成：“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界。”它指學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)的思維能夠根據(jù)已知事實(shí)或原理，合乎邏輯地推出結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學(xué)的邏輯體系，形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度和理性精神。推理意識(shí)是指對(duì)邏輯推理過(guò)程及其意義的初步感悟，通過(guò)法則運(yùn)用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)從一般到特殊的論證過(guò)程。

筆者根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況，對(duì)部分教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整與創(chuàng)造。下面就人教版“三角形的內(nèi)角和”“四邊形的內(nèi)角和”和“多邊形內(nèi)角和”的整合教學(xué)，簡(jiǎn)述教材整合與邏輯推理的策略。

一、教材編排與解讀

1.“三角形”教材解讀，理清編排的邏輯順序

人教版教材關(guān)于“三角形內(nèi)角和”的教學(xué)主要安排在四年級(jí)上冊(cè)“角的度量”和四年級(jí)下冊(cè)“三角形”兩個(gè)單元。

從教材內(nèi)容的具體編排來(lái)看，“角的度量”這一單元主要要求學(xué)生掌握角的度量方法以及初步感知直角三角形、長(zhǎng)方形、正方形等這些常見(jiàn)圖形的固定角的度數(shù)，并且能感知銳角、直角、鈍角之間的關(guān)聯(lián)，能想象把一個(gè)角分一分，把兩個(gè)角合一合；教材在四年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形和梯形”的練習(xí)中設(shè)置了測(cè)量一些四邊形各個(gè)角的度數(shù)以及四個(gè)角之和的綜合實(shí)踐；四年級(jí)下冊(cè)“三角形”這一單元主要研究三角形與四邊形的內(nèi)角和，將多邊形的內(nèi)角和作為拓展練習(xí)（見(jiàn)表1）。

表1 小學(xué)數(shù)學(xué)“三角形與多邊形”相關(guān)內(nèi)容體系

以上是小學(xué)學(xué)段關(guān)于“三角形與四邊形的內(nèi)角和”的相關(guān)編排內(nèi)容。實(shí)際上，課程內(nèi)容采取螺旋式的方法，在初中學(xué)段八年級(jí)的“三角形”單元中依然有“三角形和多邊形的內(nèi)角和”的相關(guān)知識(shí)，呈現(xiàn)方式依然是通過(guò)測(cè)量得出結(jié)論。

然而，通過(guò)測(cè)量得出三角形以及四邊形的內(nèi)角和是一個(gè)不科學(xué)、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶骄俊Ｒ虼?，教師?yīng)對(duì)三角形與多邊形的內(nèi)角和進(jìn)行整合，將未知轉(zhuǎn)化為已知，通過(guò)合理猜想、邏輯推理增強(qiáng)數(shù)學(xué)課程的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

2.“內(nèi)角和”教材解讀，明確編排側(cè)重點(diǎn)

通過(guò)對(duì)教材的研究，我們發(fā)現(xiàn)教材對(duì)于三角形與四邊形的內(nèi)角和的探究活動(dòng)方式側(cè)重于“量角、拼角”（見(jiàn)表2）。這樣的操作活動(dòng)不利于學(xué)生正確掌握內(nèi)角和的研究方法，也不利于學(xué)生構(gòu)建與掌握內(nèi)角和的規(guī)律，使他們對(duì)于圖形的內(nèi)角和的研究方法停留在淺層表面。

表2 小學(xué)數(shù)學(xué)“三角形與多邊形內(nèi)角和”相關(guān)內(nèi)容

筆者認(rèn)為，對(duì)三角形與四邊形的內(nèi)角和的教材內(nèi)容有必要進(jìn)行整合，從而加強(qiáng)嚴(yán)密性與邏輯性。

二、學(xué)情調(diào)查與分析

筆者就自己教學(xué)的兩個(gè)班學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，用作“三角形的內(nèi)角和”整合課的教學(xué)前測(cè)。此次前測(cè)，第1 題調(diào)查學(xué)生是否理解“內(nèi)角”這一概念，第2 題考查學(xué)生對(duì)“三角形的內(nèi)角和是180°”的推導(dǎo)方法。

1.你知道下面這些圖形的內(nèi)角在哪里嗎？請(qǐng)?jiān)趫D上標(biāo)出來(lái)。

2.猜一猜：三角形的內(nèi)角和是（）度。

寫(xiě)一寫(xiě)：寫(xiě)下你猜測(cè)的理由：

通過(guò)對(duì)前測(cè)的分析可知，第1 題中，兩個(gè)班的學(xué)生都能夠根據(jù)字面意思理解“內(nèi)角”并用角的符號(hào)標(biāo)出各個(gè)平面圖形的內(nèi)角；第2 題中，88.3%的學(xué)生猜測(cè)三角形的內(nèi)角和是180°，其中92.1%的學(xué)生通過(guò)量角器量出三個(gè)角的度數(shù)從而得出結(jié)論，5.2%的學(xué)生通過(guò)剪下三個(gè)角拼在一起獲得結(jié)果，幾乎沒(méi)有學(xué)生從推理的角度得出三角形的內(nèi)角和是180°?？梢?jiàn)學(xué)生對(duì)“三角形的內(nèi)角和是180°”有一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，但是缺乏嚴(yán)謹(jǐn)客觀(guān)的論證方法。

三、教學(xué)策略與思考

基于對(duì)教材與學(xué)情的分析以及新課標(biāo)對(duì)學(xué)生素養(yǎng)的要求，筆者認(rèn)為，可以對(duì)“三角形的內(nèi)角和”“四邊形的內(nèi)角和”以及“多邊形內(nèi)角和的練習(xí)”進(jìn)行適當(dāng)整合，并從更科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评硪庾R(shí)展開(kāi)教學(xué)，從而使知識(shí)聯(lián)系更緊密。

1.以舊知為根，引推理猜想

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)扎根于學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)。美國(guó)教育家杜威說(shuō)：“一盎司經(jīng)驗(yàn)勝過(guò)一噸理論?！睂W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是教師開(kāi)展課堂教學(xué)的基礎(chǔ)。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師要充分利用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有效引導(dǎo)學(xué)生以已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)。在設(shè)計(jì)“三角形與多邊形的內(nèi)角和”一課時(shí)，通過(guò)前測(cè)，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)三角形和一些特殊四邊形的內(nèi)角和并非一無(wú)所知，而是有了一定的知識(shí)積累。學(xué)生能找出圖形中的內(nèi)角，并通過(guò)測(cè)量等“科學(xué)”的方法計(jì)算三角形與特殊四邊形（長(zhǎng)方形和正方形）的內(nèi)角和。那么，該如何在此基礎(chǔ)上突破原有思維，從而通過(guò)有條理、有邏輯性的猜想來(lái)驗(yàn)證？于是，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山設(shè)計(jì)第一個(gè)問(wèn)題串：你認(rèn)為什么是內(nèi)角？什么是內(nèi)角和？

教學(xué)片段一：

師：你能說(shuō)出下面圖形的名稱(chēng)嗎？

生：三角形、長(zhǎng)方形、正方形、四邊形、五邊形、六邊形。

師：今天我們要來(lái)研究三角形與多邊形的內(nèi)角和。你知道這些圖形的內(nèi)角在哪兒?jiǎn)幔?/p>

生上臺(tái)指出，PPT 配合出示。

師：你理解內(nèi)角和嗎？

生1：每個(gè)圖形里所有內(nèi)角加起來(lái)。

師：不用測(cè)量，你已經(jīng)知道哪些圖形的內(nèi)角和？為什么？

生2：長(zhǎng)方形和正方形的內(nèi)角和都是360°。

生3：長(zhǎng)方形和正方形各有4 個(gè)直角。

生4：90°× 4=360°。

引導(dǎo)學(xué)生回憶鞏固以往學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，又可以為后續(xù)新知識(shí)的導(dǎo)入做好教學(xué)鋪墊。從長(zhǎng)方形和正方形的內(nèi)角和是360°，而想到直角三角形的內(nèi)角和，很容易推理得出結(jié)論。鼓勵(lì)學(xué)生在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)上大膽猜測(cè)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的邏輯性與趣味性。

2.以推理為枝，建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出：“在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系?！逼喗艿恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)學(xué)說(shuō)認(rèn)為：兒童的認(rèn)識(shí)能力不能從外部形成，兒童思維結(jié)構(gòu)的變化是由內(nèi)部決定的，教育就是要用最合適的方法，在最合適的環(huán)境中去幫助兒童發(fā)展自己的認(rèn)知能力。皮亞杰強(qiáng)調(diào)，兒童不是被動(dòng)地接受知識(shí)，而是主動(dòng)地探索知識(shí)，進(jìn)行創(chuàng)新。三角形內(nèi)角和的學(xué)習(xí)不僅僅要達(dá)成使學(xué)生掌握內(nèi)角和是180°的知識(shí)性目標(biāo)，更要指向?qū)W生推理能力的培養(yǎng)。根據(jù)學(xué)生敢想敢說(shuō)、愛(ài)問(wèn)問(wèn)題的心理特點(diǎn)以及思維正處于逐步抽象化和邏輯化的年齡特點(diǎn)，在本課的設(shè)計(jì)中，筆者通過(guò)關(guān)鍵問(wèn)題的設(shè)置引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化思想，將未知變已知，由已知推未知，幫助學(xué)生搭建思維的支架，從不同的學(xué)習(xí)視角驗(yàn)證猜想的正確性，從而深度探究數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

教學(xué)片段二：

前測(cè)反饋：

師：大部分的同學(xué)猜測(cè)三角形的內(nèi)角和是180°，不少同學(xué)通過(guò)測(cè)量得出結(jié)論，可也有一些同學(xué)猜測(cè)三角形的內(nèi)角和是175°、182°，你認(rèn)為是什么原因？

生：測(cè)量存在誤差。

師：既然測(cè)量存在誤差，你還有其他方法探究三角形的內(nèi)角和嗎？

生：可以先研究直角三角形，兩個(gè)直角三角形可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是360°。

師：我們可以將未知的直角三角形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為已知的長(zhǎng)方形的內(nèi)角和，從而推導(dǎo)出直角三角形的內(nèi)角和。

活動(dòng)一：探究直角三角形的內(nèi)角和

活動(dòng)要求：

1.拼一拼：把兩個(gè)完全相同的直角三角形拼成已知內(nèi)角和的圖形。

2.算一算：算出直角三角形的內(nèi)角和。（ ）

3.說(shuō)一說(shuō)：同桌交流想法。

在學(xué)生探究展示后，借助多媒體演示任何的直角三角形都可以由兩個(gè)完全相同的直角三角形拼成長(zhǎng)方形得出內(nèi)角和。在初次操作、推理、驗(yàn)證的學(xué)習(xí)過(guò)程中，讓學(xué)生感知測(cè)量的不嚴(yán)謹(jǐn)，意識(shí)到轉(zhuǎn)化思想以及用推理驗(yàn)證猜想的嚴(yán)密客觀(guān)，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解，為后面銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和以及四邊形、多邊形的內(nèi)角和教學(xué)做鋪墊。

教學(xué)片段三：

活動(dòng)二：探究銳角、鈍角三角形的內(nèi)角和

活動(dòng)要求：

1.分一分：把銳角三角形、鈍角三角形轉(zhuǎn)化為已知內(nèi)角和的圖形。

2.算一算：算出銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和。

銳角三角形的內(nèi)角和：（ ）

鈍角三角形的內(nèi)角和：（ ）

3.說(shuō)一說(shuō)：同桌交流想法。

活動(dòng)三：探究四邊形的內(nèi)角和

活動(dòng)要求：

1.分一分：把四邊形分成已知內(nèi)角和的圖形。

2.算一算：算出四邊形的內(nèi)角和。（）

3.說(shuō)一說(shuō)：同桌之間交流想法。

在經(jīng)過(guò)銳角三角形、鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形的操作后，學(xué)生感知數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，在探究推理過(guò)程中完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)。在探究四邊形的內(nèi)角和的活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)實(shí)驗(yàn)操作，實(shí)踐應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，建構(gòu)模型，發(fā)展學(xué)生演繹推理能力。

3.以拓展為果，深化推理意識(shí)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)該是僵化的知識(shí)記憶，練習(xí)是學(xué)生鞏固知識(shí)、提升技能的主要途徑。學(xué)生在理解知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，借助習(xí)題拓展相關(guān)知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用，對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行內(nèi)化深入。而如何創(chuàng)新習(xí)題設(shè)計(jì)，讓習(xí)題環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心素養(yǎng)，是筆者設(shè)計(jì)后續(xù)練習(xí)時(shí)考慮的重點(diǎn)。筆者在設(shè)計(jì)練習(xí)時(shí)依舊重視轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，從四邊形拓展到五邊形、六邊形、七邊形……的內(nèi)角和，破除題海戰(zhàn)術(shù)，用有效的推理學(xué)習(xí)思路應(yīng)對(duì)變化的數(shù)學(xué)習(xí)題，從而發(fā)展到更高思維，發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和的規(guī)律，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)建構(gòu)。

教學(xué)片段四：

作業(yè)設(shè)計(jì)：

1.你能用轉(zhuǎn)化的方法求其他多邊形的內(nèi)角和嗎？快來(lái)試一試。

仔細(xì)觀(guān)察上表，你有什么發(fā)現(xiàn)？_________

2.拓展探究

（1）三角形ABC有3 個(gè)內(nèi)角，也有3 個(gè)外角。如圖所示∠1、∠2、∠3 是三角形ABC的內(nèi)角，∠4、∠5、∠6 是三角形ABC的外角，請(qǐng)你算一算三角形ABC的外角和是多少。

（2）四邊形ABCD有4 個(gè)內(nèi)角，也有4 個(gè)外角。如圖所示∠1、∠2、∠3、∠4 是四邊形的內(nèi)角。

①請(qǐng)標(biāo)出下圖四邊形的外角。

②請(qǐng)你算一算四邊形的外角和是多少。

3.實(shí)踐發(fā)展

猜一猜，五邊形、六邊形分別有多少個(gè)外角？它們的外角和又是多少度呢？動(dòng)手驗(yàn)證自己的猜想。

總之，發(fā)展數(shù)學(xué)推理意識(shí)要考慮學(xué)生的實(shí)際情況。在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要抓住學(xué)生對(duì)推理的濃厚興趣的心理，讓學(xué)生經(jīng)歷觀(guān)察、猜測(cè)、驗(yàn)證等活動(dòng)，提高思維認(rèn)知水平，在操作活動(dòng)中理性認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，發(fā)展推理意識(shí)。