圓錐曲線中三角形面積的最值問題具有較強的綜合性，且難度較大.這類問題通常會綜合考查圓錐曲線的方程、性質(zhì)，三角形的面積公式，函數(shù)的性質(zhì)，弦長公式，點到直線的距離公式等的應用.下面以一道題為例題，探討一下解答圓錐曲線中三角形面積的最值問題的方法.

題目：已知橢圓[Γ：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）]的上頂點[A]與左頂點[B]的距離為[41]，離心率為[35]，[P（t，0）（-4≤t≤-1）]為[x]軸上一點.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖1，連接[AP]，交橢圓于點[C]，過點[C]作[x]軸的垂線，交橢圓另一個點[D]，求[ΔABD]的面積[S]的最值.

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圖1

第一個問題較為簡單，只需根據(jù)題意確定a、b、c的值，即可求得橢圓的方程.第二個問題較為復雜，要求橢圓中三角形面積的最值，需首先確定各點的位置，求得各條直線的方程，明確直線與橢圓的位置關系；然后利用點到直線的距離公式、三角形的面積公式等求解.本題主要有以下幾種解法.

一、利用函數(shù)的性質(zhì)

解答圓錐曲線中三角形面積的最值問題，往往需先靈活運用圓錐曲線的方程、性質(zhì)，三角形的面積公式，弦長公式，點到直線的距離公式等求得三角形面積的表達式；然后將其視為函數(shù)式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，或?qū)?shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得三角形面積表達式的最值.

解法1.由（1）可知橢圓方程為[x225+y216=1]，

故[A（0，4），B（-5，0）].

根據(jù)題意可得直線[AP]的方程為[y=-4tx+4]，

聯(lián)立方程可得[y=-4tx+4，x225+y216=1，]

得點[C] [（50tt2+25，4t2-100t2+25）]，點[D][（50tt2+25，100-4t2t2+25）].

因為直線[AB]的方程為[4x-5y+20=0]，

所以點[D]到直線[AB]的距離為[d=|40t（t+5）|（t2+25）41].

由于[-4≤t≤-1]，則[1≤t+5≤4]，[t（t+5）lt;0]，

故[d=-40t（t+5）（t2+25）41]，且[|AB|=42+52=41].

所以[ΔABD]的面積為[S=12|AB|?d=12×41×] [-40t（t+5）（t2+25）41=20（-t2-5t）t2+25].

由[S′=100（t2-10t-25）（t2+25）2=0]，得[t=5（1-2）]，

從而可知[S]在[[-4，5（1-2）]]上單調(diào)遞增，在[[5（1-2），-1]]上單調(diào)遞減，

則函數(shù)[S]在[x=5（1-2）]處取得極大值.

而當[t=-4]時，[S=8041]；

當[t=-1]時，[S=8026]；

當[t=5（1-2）]時，[S=10（2-1）]，

所以[ΔABD]面積[S]的最大值為[10（2-1）]，最小值為[8041].

先利用點到直線的距離公式求[ΔABD]的[AB]邊上的高，便可用[t]表示出[ΔABD]的面積；然后對該式求導，分析導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關系，進而判斷出函數(shù)的單調(diào)性；再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大值、最小值，從而求得[ΔABD]面積的取值范圍.

解法2.由（1）可知橢圓方程為[x225+y216=1]，

故[A（0，4），B（-5，0）]，

延長[AD]，交[x]軸于點[E]，如圖2.

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圖2

由解法1得點[D]的坐標為[（50tt2+25，100-4t2t2+25）].

于是直線[AD]的率斜為[kAD=-425t]，

所以直線[AD]的方程為[y=-4t25x+4].

令[y=0]，則[x=25t]，故[E（25t，0）].

從而可得[S=SΔABE-SΔDBE=12|BE|?|yA-yD|]

[=12（-5-25t）（4-100-4t2t2+25）][=20（-t2-5t）t2+25].

下同解法1.

解法3.由（1）可知橢圓的方程為[x225+y216=1]，

故[A（0，4），B（-5，0）]，連接[DO]，如圖3.

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圖3

由解法1，可得點[D]的坐標為[（50tt2+25，100-4t2t2+25）].

顯然[S=SΔBOD+SΔAOD-SΔAOB]

[=12|OB|?|yD|+12|OA|?|xD|-12|OB|?|OA|]

[=12×5×100-4t2t2+25+12×4×-50tt2+25-12×4×5]

[=20（-t2-5t）t2+25].

下同解法1.

解法2與解法3都是將[ΔABD]拆成幾個三角形，通過求這幾個三角形面積的和與差，求得[ΔABD]面積的表達式.這樣就不需要用點到直線的距離公式，避開了大量繁瑣的運算，其過程簡潔，有利于提高解題的效率.

解法4.由（1）可知橢圓的方程為[x225+y216=1]，

故[A（0，4），B（-5，0）]，

連接[DO]，并延長[DO]交橢圓于點[E]，如圖4.

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圖4

因為[P（t，0）]，所以直線[AC]的斜率為[kAC=-4t].

顯然直線[AC]與[AE]關于[y]軸對稱，

則直線[AC，AE]的斜率互為相反數(shù)，即[kAE=-kAC=4t].

由橢圓的第三定義可知，直線[AD，AE]的斜率之積為定值，

即[kAE?kAD=-b2a2=-1625].

將兩式聯(lián)立可得[kAD=-425t].

下同解法2.

我們?nèi)杂媒夥?的思路求得[ΔABD]的面積.但在求直線[AD]的斜率時，利用了圖形的對稱性與橢圓的第三定義，解法4比解法2更簡單.

上述4種解法中，在求得[ΔABD]面積的表達式后，都需將其構(gòu)造函數(shù)，運用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得最值.區(qū)別在于求[ΔABD]面積表達式的方式不同.

二、利用基本不等式

若[a、bgt;0]，則[a+b≥2ab]，當且僅當[a=b]時等號成立，該式被稱為基本不等式.基本不等式是解答最值問題的重要工具.在解答圓錐曲線中三角形面積的最值問題時，往往要先利用圓錐曲線和平面幾何知識求得三角形面積的表達式；然后將其變形、配湊為兩式的和或積的形式，并使其中之一為定值，才能運用基本不等式求得最值.

解法5.由（1）可知橢圓的方程為[x225+y216=1]，

故[A（0，4），B（-5，0）]，

連接[DO]，如圖3.

設[D（-m，n）（mgt;0，ngt;0）]，則[S=SΔBOD+SΔAOD-SΔAOB]

[=12×5×n+12×4×m-12×4×5][=10（n4+m5-1）].

因為[P（t，0）]，所以直線[AC]的斜率為[kAC=-4t].

設直線[AC]的方程為[y=kx+4]，則[k=-4t]，

可得[t=-4k∈[-4，-1]]，所以[k∈[1，4]].

聯(lián)立方程可得[x225+y216=1，y=kx+4，]

消去[y]得[（125+k216）x2+k2x=0]，

解得[xC=-8kk2+1625=-m]，

所以[m=8kk2+1625=8k+1625k].

由[k∈[1，4]]，可得[m∈[2513，20041]]，

所以[m5∈[513，4041]].

因為[D（-m，n）]在橢圓上，所以[（m5）2+（n4）2=1].

由基本不等式可得[（m5+n4）2≤2[（m5）2+（n4）2]=2]，

即[m5+n4≤2]，

當[m5=n4=22]時等號成立.

當[m5=513]時，[n4=1213]；

當[m5=4041]時，[n4=941]，

所以[m5+n4≥min513+1213，4041+941=min1713，4941]

[=4941]，當[m5=4041]時等號成立.

于是[10（4941-1）≤10（n4+m5-1）≤10（2-1）]，

即[8041≤10（n4+m5-1）≤10（2-1）].

所以[ΔABD]的面積[S]的取值范圍為[[8041，10（2-1）]]，

即[ΔABD]面積[S]的最大值為[10（2-1）]，最小值為[8041].

先根據(jù)解法3的思路求[ΔABD]面積的表達式；然后引入變量[m、n]，設出點[D]的坐標[（-m，n）]，將[ΔABD]的面積轉(zhuǎn)化為關于[m、n]的代數(shù)式；再根據(jù)橢圓的范圍約束[m、n]，利用基本不等式求出[m5+n4]的范圍.該解法中的變量增加了，看似復雜，實則思路簡單，但運算量較大.

三、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合思想在解答高中數(shù)學問題中應用十分廣泛.運用數(shù)形結(jié)合法解答圓錐曲線中三角形面積的最值問題，要結(jié)合圖形，根據(jù)點、直線、三角形與圓錐曲線的位置關系，找到最大（最小）的高線長、底邊長，進而求得三角形面積的最值.在解題時，我們要學會“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，用直觀的幾何圖形呈現(xiàn)出抽象的代數(shù)關系，用精確的代數(shù)運算確定幾何圖形的形狀、大小等，這樣才能有效地提高解題的效率.

解法6.由（1）可知橢圓的方程為[x225+y216=1]，

故[A（0，4），B（-5，0）]，[|AB|=42+52=41]，

設點[D]到直線[AB]的距離為[d]，

于是[ΔABD]的面積為[S=12|AB|?d=41d2].

由圖5可知，要求[ΔABD]的面積[S]的取值范圍，只需求[d]的取值范圍.

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圖5

過點[D]作橢圓的切線，當切線與直線[AB]平行時，點[D]到直線[AB]的距離最大.

設此切線的方程為[4x-5y+m=0（mgt;0）]，

聯(lián)立方程得[4x-5y+m=0，x225+y216=1，]

消去[y]得[32x2+8mx+m2-400=0]，

則[Δ=（8m）2-4×32（m2-400）=0]，解得[m=202].

由于直線[AB]的方程為[4x-5y+20=0]，

所以切線到直線[AB]的距離為[|202-20|41=d].

所以[Smax=41d2=412×|202-20|41=10（2-1）].

易得切點[D（-522，22）]，即[C（-522，-22）]，

將點[C]的坐標代入直線[AP]的方程[y=-4tx+4]，可得[P（5（1-2），0）].

由解法1，可知點[D]的坐標為[（50tt2+25，100-4t2t2+25）]，且[-4≤t≤-1].

則當[t∈[-4，5（1-2）]]時，點[D]到直線[AB]的距離增大；當[t∈（5（1-2），-1]]時，點[D]到直線[AB]的距離減小.

當[t=-1]時，[P]在[E（-1，0）]處，則[D（-2513，4813）]，

此時點[D]到直線[AB]的距離為[d1=801341]，

故[S1=41d2=412×801341=4013].

當[t=-4]時，[P]在[F（-4，0）]處，則[D（-20041，3641）]，

此時點[D]到直線[AB]的距離為[d2=1604141]，

故[S2=41d2=412×1604141=8041lt;4013].

所以[ΔABD]的面積[S]的最小值為[8041].

綜上所述，即[ΔABD]面積[S]的最大值為[10（2-1）]，最小值為[8041].

該解法主要利用了數(shù)形結(jié)合的思想.通過觀察圖形，過點[D]作橢圓的切線，將求[ΔABD]面積的最值問題轉(zhuǎn)化為求切線到直線[AB]距離的最值，通過數(shù)形結(jié)合求得問題的答案.

可見，解答圓錐曲線中三角形面積的最值問題，可以從不同的角度尋找到不同的解題思路.同學們在解題時，要善于觀察、思考、轉(zhuǎn)化，以便利用函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、數(shù)形結(jié)合思想順利求得問題的答案.

（作者單位：山東省北鎮(zhèn)中學）