三角函數(shù)求值問(wèn)題主要考查同學(xué)們對(duì)三角函數(shù)定義的理解和三角函數(shù)基本公式的應(yīng)用.下面結(jié)合一道例題，探討一下三角函數(shù)求值問(wèn)題的解法.

題目：已知[a∈R]，[sinα+2cosα=102]，則[tan2α=]（" " ）.

A.[43]" " " " " " B.[34]" " " " " C.[-34]" " " " " D.[-43]

該題看似較為簡(jiǎn)單，事實(shí)上比較復(fù)雜.仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)題目涉及了三種函數(shù)名稱(chēng)、二倍角，我們需將三角函數(shù)名稱(chēng)和角統(tǒng)一，才能順利求得問(wèn)題的答案.主要有如下三種求解思路.

一、運(yùn)用方程思想

若題目中給出了有關(guān)[sinα]和[cosα]的關(guān)系式，通?？梢韵壤猛堑娜呛瘮?shù)關(guān)系式[sin2α+cos2α=1]以及[tanα=sinαcosα]來(lái)建立關(guān)系式；然后根據(jù)已知關(guān)系式來(lái)建立方程（組），通過(guò)解方程（組）求出[sinα]和[cosα]的值；最后將其代入目標(biāo)式進(jìn)行計(jì)算，才能順利求值.

解法1.因?yàn)閇sin2α+cos2α=1]，

可得[sinα+2cosα=102，sin2α+cos2α=1，]

解得[cosα=310，sinα=-110]或者[cosα=110，] [sinα=310].

所以[tanα=-13或3]，則[tan2α=2tanα1-tan2α=-34].

將已知關(guān)系式[sinα+2cosα=102]與同角的三角函數(shù)關(guān)系式[sin2α+cos2α=1]聯(lián)立成方程組，即可通過(guò)解方程組求得[cosα]、[sinα]，進(jìn)而根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式[tanα=sinαcosα]求得[tanα]、[tan2α].

解法2.由[sinα+2cosα=102]，

可得[（sinα+2cosα）2=52]，

所以[sin2α+4cos2α+4sinαcosα=52（sin2α+cos2α）]，

可得[32（sin2α-cos2α）-4sinαcosα=0]，

從而得到[-32cos2α=2sin2α]，所以[tan2α=-34].

先將已知關(guān)系式平方，得到二次三角函數(shù)式；再根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式[sin2α+cos2α=1]將其化簡(jiǎn)，得[-32cos2α=2sin2α]，便可直接根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式[tanα=sinαcosα]和二倍角公式求得[tan2α]的值.

解法3.令[cosα-2sinα=t]，

將其代入[sinα+2cosα=102]，

得[5=52+t2]，解得[t=±102].

①當(dāng)[t=102]時(shí)，[tanα=-13]，

所以[tan2α=2tanα1-tan2α=-34].

②當(dāng)[t=-102]時(shí)，[tanα=3]，

所以[tan2α=2tanα1-tan2α=-34].

令[cosα-2sinα=t]，并根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式[sin2α+cos2α=1]，可將已知關(guān)系式[sinα+2cosα=102]化為[5=52+t2]，進(jìn)而通過(guò)解方程求得t的值.通過(guò)合理?yè)Q元，便可將較為復(fù)雜的三角函數(shù)表達(dá)式簡(jiǎn)化.

解法4.由[sinα+2cosα=102]

可得[（sinα+2cosα）2=52]，

所以[sin2α+4cos2α+4sinαcosαsin2α+cos2α=52]，

將上式的分子、分母同時(shí)除以[cos2α]，

得[tan2α+4tanα+4tan2α+1=52]，

解得[tanα=-13或3]，則[tan2α=2tanα1-tan2α=-34].

先將已知關(guān)系式平方，并根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式[sin2α+cos2α=1]，進(jìn)行“1”的代換，即可構(gòu)造出齊次式；然后將分子、分母同時(shí)除以[cos2α]，即可化弦為切，通過(guò)解方程求得[tanα]的值.

二、運(yùn)用輔助角公式

對(duì)于含有[sinα]和[cosα]的三角函數(shù)式，可以直接利用輔助角公式[asinα+bcosα=a2+b2sinα+φ]，其中[tanφ=ba]，將函數(shù)式中的角、函數(shù)名稱(chēng)統(tǒng)一，這樣便可快速求得三角函數(shù)式的值.

解法5.[sinα+2cosα=5sin（α+?）=102]，

所以[sin（α+?）=22]，其中[tan?=2]，

所以[α+?=2kπ+π4或者α+?=2kπ+3π4，k∈Z]，

所以[tan2α=tan（2α+2?-2?）=tan（π2-2?）]

[=1tan2?=-34].

運(yùn)用輔助角公式可直接求得[sin（α+?）]的值，但往往需根據(jù)兩角和差公式、二倍角公式、誘導(dǎo)公式，以及[tan?]的值來(lái)求目標(biāo)式的值.

三、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想之一.在求三角函數(shù)的值時(shí)，可根據(jù)題意構(gòu)造出三角形、矩形等，設(shè)出邊、角的大小，即可根據(jù)三角函數(shù)的定義、勾股定理、正余弦定理來(lái)求值.

解法6.在正方形ABCD中，[ΔABM和ΔDEM]為直角三角形，其中BM=2，ME=1，設(shè)[∠BMA=∠MED=α]，如圖所示.

因?yàn)閇sinα+2cosα=102]，

所以[BC=102]，

又因?yàn)閇ΔABM]∽[ΔDME]，

所以[MB⊥ME]，

所以[BE=5]，[∠BEC=45°]，[tanθ=2]，

則[α=34π-θ]，可得[tan2α=tan（32π-2θ）=1tan2θ=-34].

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，關(guān)鍵是根據(jù)題意和已知關(guān)系式構(gòu)造出合適的圖形，通?？筛鶕?jù)勾股數(shù)來(lái)構(gòu)造直角三角形，這樣便可直接利用三角函數(shù)的定義求得銳角的三角函數(shù)值.

三角函數(shù)求值問(wèn)題具有較強(qiáng)的綜合性，同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)需：（1）將已知關(guān)系式和所求目標(biāo)式關(guān)聯(lián)起來(lái)；（2）選擇合適的三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變換；（3）靈活運(yùn)用方程和數(shù)形結(jié)合思想；（4）運(yùn)用發(fā)散性思維，從不同角度尋找解題的思路，以優(yōu)化解題的方案.

（作者單位：江蘇省射陽(yáng)縣高級(jí)中學(xué)）