圓錐曲線中直線的斜率之和（積）為定值問題較為復雜，且具有較強的綜合性，其難度往往較大.解答此類問題，需靈活運用直線的斜率公式、直線的方程、圓錐曲線的方程、韋達定理等.通過研究和總結(jié)，筆者發(fā)現(xiàn)解答此類問題主要有兩種途徑：利用參數(shù)方程與齊次化法.下面結(jié)合實例進行探討.

一、利用參數(shù)方程

我們知道，若直線l過點M（x0，y0），且傾斜角為α，則其參數(shù)方程為[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα，]（t為參數(shù)）；若橢圓的長半軸為a、短半軸為b，則其參數(shù)方程為[x=acosφ，y=bsinφ，]（φ為參數(shù)）．解答圓錐曲線中直線的斜率之和（積）為定值問題，可以利用圓錐曲線和直線的參數(shù)方程來求解.首先設出直線或圓錐曲線的參數(shù)方程；然后用參數(shù)表示曲線或直線上未知點的坐標，如[（acosα，bsinα）]；然后根據(jù)三角函數(shù)的和差化積公式和直線的斜率公式[k=y-y0x-x0]表示出直線的斜率；再根據(jù)題意建立直線斜率的和積關(guān)系，證明所得的結(jié)果為常數(shù)或者與變量無關(guān)，即可解題.

例1.已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）]的離心率為[22]，點[2，2]在[C]上.

（1）求橢圓[C]的方程；

（2）直線[l]不經(jīng)過原點[O]，且不平行于坐標軸，[l]與[C]有兩個交點[A，B]，線段[AB]的中點為[M]，證明：直線[OM]的斜率與直線[l]的斜率之積為定值.

解：（1）因為橢圓[C]的離心率為[22]，點[2，2]在[C]上，

所以[a2-b2a=22]，[4a2+2b2=1]，

得[a2=8，b2=4]，

所以橢圓[C]的方程為[x28+y24=1].

（2）因為[A，B]為直線[l]與橢圓[C]的兩個交點，[M]為線段[AB]的中點，

故設[A（22cosα，2sinα）]，[B（22cosβ，2sinβ）]，

則[M（2（cosα+cosβ），sinα+sinβ）]，

其中[α，β∈0，π]，[α≠β]，且[α+β≠π]，

設直線[l]的斜率為[kl]，直線[AM]的斜率為[kAM]，直線[OM]的斜率為[kOM]，

因為點[A，M]均在直線[l]上，所以[kl=kAM]，

所以[kAM=2sinα-（sinα+sinβ）2cosα-cosβ]

[=sinα-sinβ2cosα-cosβ=-22tanα+β2，]

同理可得[kOM=sinα+sinβ2cosα+cosβ=2tanα+β22]，

則[kAM?kOM=-22tanα+β2?2tanα+β22=-12]，

所以直線[OM]的斜率與直線[l]的斜率之積為定值[-12].

先根據(jù)橢圓的參數(shù)方程設出橢圓上的點A、B及其中點M，便能直接根據(jù)直線的斜率公式求得[kAM、kOM]及其乘積的表達式；然后通過三角恒等變換消去參數(shù)[α、β]，就可以得到定值.由此可以看出，運用參數(shù)方程解答圓錐曲線中直線的斜率之和（積）為定值問題，較為便捷.而運用此方法解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓錐曲線的參數(shù)方程設出相關(guān)的點，并進行合理的三角恒等變換.

二、運用齊次化法

齊次化法是指通過構(gòu)造齊次式，將問題轉(zhuǎn)化齊次方程問題來求解.運用齊次化法解答圓錐曲線中直線的斜率之和（積）為定值問題，需先引入一個新的變量，使得圓錐曲線的方程變?yōu)殛P(guān)于[yx]的齊次方程；再將橢圓方程中的平方項和常數(shù)項合并，從而得到一個更加簡單的式子，這樣可以使計算變得更加簡便.或?qū)⒆鴺嗽c平移到特殊點上，構(gòu)建新坐標系，使得直線的斜率為[k=yx]；再聯(lián)立新坐標下的直線與圓錐曲線方程，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于[yx]的一元二次方程；接著根據(jù)韋達定理建立直線斜率之間的和積關(guān)系.

例2.已知橢圓[C]過點[A（1，32）]，兩個焦點分別為[（-1，0）]，[（1，0）].

（1）求橢圓[C]的方程；

（2若[E，F(xiàn)]是橢圓[C]上的兩個動點，直線[AE]的斜率與[AF]的斜率互為相反數(shù)，證明直線[EF]的斜率為定值，并求出這個定值.

解：（1）由題意知[c=1]，

設橢圓的方程為[x21+b2+y2b2=1]，

因為[A]在橢圓上，

所以[11+b2+94b2=1]，

解得[b2=3]，[b2=-34]（舍去），

所以橢圓[C]的方程為[x24+y23=1].

（2）設直線[AE]的斜率為[kAE]，直線[AF]的斜率為[kAF]，直線[EF]的斜率為[kEF]，

將原坐標系先向右平移1個單位，再向上平移[32]個單位，以[A（1，32）]為坐標原點，建立新直角坐標系[xAy]，

此時[x=x+1，y=y+32，]

將其代入橢圓的方程[x24+y23=1]中，得到在新直角坐標系下的橢圓方程[C1：x-124+y-3223=1]，

即[C1：3x2-6x+4y2-12y=0]，

由題意可知直線[EF]不經(jīng)過原點[A]，

設在新的直角坐標系中，點[E（x1，y1）]，點[F（x2，y2）]，

直線[EF]的方程為[nx+my=1]，

將直線[EF]的方程與新橢圓的方程[C1]聯(lián)立，得：

[3x2-6x+4x2-12y=0，nx'+my'=1，]

可得[（3-6n）x2-（12n+6m）xy+（4-12m）y2=0]①，

因為直線[AE]與直線[AF]的斜率都存在，

所以[x1≠0， x2≠0]，

在①式的兩邊同時除以[x2]，得：

[（4-12m）y2x2-（12n+6m）yx+3-6n=0]②，

則[kAE=y1x1]，[kAF=y2x2]為②的兩個實數(shù)根，

因為直線[AE]與直線[AF]的斜率互為相反數(shù)，

根據(jù)韋達定理，得[kAE+kAF=12n+6m4-12m=0]，

即[n=-m2]，

又因為直線[EF：nx+my=1]，

所以[n，m]不可能同時為0，即[n，m]均不為0，

所以[kEF=-nm=--m2m=12]，

所以直線[EF]的斜率是一個定值，且值為[12].

解答該題，首先需將坐標軸平移，以[A]點為新的坐標原點構(gòu)建新坐標系，得到新坐標系下的橢圓方程[C1]；然后設出點[E、F]以及直線[EF]的方程，并將兩個方程聯(lián)立、化簡；再在所得方程的兩邊同時除以[x2]，使其為齊次式：[（4-12m）y2x′2-（12n+6m）yx+3-6n=0]，此時直線的斜率[kAE=y1x1]、[kAF=y2x2]為該方程的兩個實數(shù)根，根據(jù)韋達定理，即可建立直線[AE]的斜率與[AF]的斜率之和的關(guān)系式，化簡該式就能證明直線[EF]的斜率為定值.

相比較而言，運用齊次化法解題的思路更加清晰.但要注意的是，運用該方法解題需構(gòu)造出合適的齊次方程，將直線的斜率視為一元二次齊次方程的實數(shù)根，并利用韋達定理建立關(guān)于直線斜率的和積關(guān)系式.

總之，運用參數(shù)方程與齊次化法解答圓錐曲線中直線的斜率之和（積）為定值問題，都能簡化運算，使復雜的問題變得簡單化.但是這兩種解題方法的適用情形并不相同，若題干信息中提到兩條直線經(jīng)過公共點，就要優(yōu)先考慮使用齊次化法；若題干中并沒有提及，就可以結(jié)合圓錐曲線的參數(shù)方程與三角函數(shù)的和差化積公式進行求解.同學們需根據(jù)實際情況，對典型題目進行深入的分析、研究，這樣才能熟練掌握兩種方法的應用技巧.

（作者單位：閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院）