摘 要：主要借助序與拓?fù)浣徊娴姆椒?，得出拓?fù)淇臻g上的[T0]拓?fù)鋽?shù)與偏序之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過對(duì)極小元和極大元的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合[Hasse]圖和層級(jí)配比數(shù)，進(jìn)而采用純數(shù)學(xué)的方法計(jì)算得出[7]元素集合上[T0]拓?fù)鋽?shù)為7 544 798．

關(guān)鍵詞：偏序集；極小元；極大元；[T0]拓?fù)鋽?shù)

中圖分類號(hào)：O 189.1" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" 文章編號(hào)：1007-6883（2024）03-0001-10

DOI：10.19986/j.cnki.1007-6883.2024.03.001

[Domain]理論［1-2］作為序理論的分支，近年來受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，它的主要特征就是體現(xiàn)了序、拓?fù)洹⑦壿嬇c逼近之間的相互轉(zhuǎn)化，如文獻(xiàn)［3］和文獻(xiàn)［4］就是利用序與拓?fù)浣徊娼Y(jié)合的方法得出結(jié)論：一個(gè)偏序集是連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)它上面的scott拓?fù)涫峭耆峙涓瘢簿褪钦f內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)渑c偏序結(jié)構(gòu)之間存在著一定的關(guān)系，迄今，[Domain]理論已被諸多學(xué)者成功地應(yīng)用到了偏序結(jié)構(gòu)上，因此，利用偏序結(jié)構(gòu)去研究相關(guān)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)［5］是合理的．

[n]元素集合上拓?fù)淇倲?shù)的計(jì)算，一直是拓?fù)鋵W(xué)［6］中比較困難的問題，不少學(xué)者在研究這個(gè)問題時(shí)，多采用計(jì)算機(jī)編程進(jìn)行計(jì)算，因此以一種有別于計(jì)算機(jī)的方法去解決這個(gè)問題，尤其是[T0]拓?fù)鋽?shù)的計(jì)算，頗具技巧性與難度．如文獻(xiàn)［7］，榮宇音也是利用序與拓?fù)涞年P(guān)系計(jì)算得出[n=1，2，3，4]時(shí)，非[T0]拓?fù)鋽?shù)分別為[0，1，10，136]；[T0]拓?fù)鋽?shù)分別為[1，3，19，219]．此后，她又在文獻(xiàn)［8］中計(jì)算得出5元素集合上非[T0]拓?fù)鋽?shù)為2 711，[T0]拓?fù)鋽?shù)為4 231，拓?fù)淇倲?shù)為6 942．文獻(xiàn)［9］中，曾佳泓也是采用了類似的方法，并結(jié)合[Hasse]圖和層級(jí)配比數(shù)計(jì)算了6元素集合上的[T0]拓?fù)淇倲?shù)，本文基于前人研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步計(jì)算得出7元素集合上[T0]拓?fù)鋽?shù)為7 544 798個(gè)．

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［10］ 設(shè)[X]是非空集，[≤]是[X]上的二元關(guān)系，如果

（1）[≤]是自反的，即[?x∈X]，[x≤x]；

（2）[≤]是傳遞的，即[x≤y]，[y≤z][?][x≤z]；

（3）[≤]是反對(duì)稱的，即[x≤y]，[y≤z][?][x=z]．

則稱[≤]為[X]上的偏序關(guān)系，稱[X，≤]為偏序集．如果只滿足自反性和傳遞性，則稱[≤]為[X]上的預(yù)序，稱[X，≤]為預(yù)序集．

定義2［7］ 設(shè)[X]為預(yù)序集，[m∈X]稱為一個(gè)極小元，如果[X]中任意一元[x]，當(dāng)[x≤m]時(shí)，有[m≤x]成立．[X]的非空子集[D]稱為[X]的定向集，若對(duì)任意[a，b∈D]，[?c∈D]使[a≤c，b≤c]．

設(shè)[A?X]，記[↑A]=[y∈X：?x∈A，x≤y]及[↓A]=[y∈X：?x∈A，y≤x]．簡記[↑y]為[↑y]及[↓y]為[↓y]．

定義3［7］ 設(shè)[X]為預(yù)序集，[A?X]，A稱為[X]的[scott]-閉集，如果滿足：

（1）[A=↓A]；

（2）對(duì)[?]定向集[D?A]，若上確界[supD∈A]存在，則[supD∈A]，[X]上的全體scott-閉集記為[σ*（X）]．[X]上[scott]-閉集的補(bǔ)集全體形成[X]上的拓?fù)浞Q為scott拓?fù)?，記作[σ（X）]．

易知偏序集上的scott拓?fù)渚鶠閇T0]拓?fù)洌?/p>

定義4［8］ 設(shè)[X]為拓?fù)淇臻g，[X]上的特殊化序[≤]定義為[x≤y]當(dāng)且僅當(dāng)[x∈y-]，其中[y-]為獨(dú)立點(diǎn)集[y]的閉包．

定義5［7］ 預(yù)序集[X]的序和其上scott拓?fù)涞奶厥饣蚴且恢碌模秩鬧X]為[T0]拓?fù)淇臻g，則[X]上特殊化序?yàn)槠颍鬧X]為非[T0]拓?fù)淇臻g，則[X]上特殊化序?yàn)轭A(yù)序而非偏序（這樣的預(yù)序稱為真預(yù)序）．

引理1 設(shè)[X]為有限集，[τ]和[η]為[X]上兩個(gè)拓?fù)?，則[τ=η]當(dāng)且僅當(dāng)它們誘導(dǎo)的特殊化序相同．又設(shè)[≤1]和[≤2]為[X]上兩個(gè)預(yù)序，該兩預(yù)序相同當(dāng)且僅當(dāng)它們誘導(dǎo)的scott拓?fù)湎嗤?/p>

（注 內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)渑c序結(jié)構(gòu)之間存在著一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，且[T0]拓?fù)鋵?duì)應(yīng)于偏序，非[T0]拓?fù)鋵?duì)應(yīng)于真預(yù)序．）

引理2 （[Zorn]引理）在[?]一個(gè)[非空的偏序集]中，如果[?]一個(gè)全序子集都有上界，那么這個(gè)偏序集必然存在極大元．對(duì)偶的，在[?]一個(gè)非空的偏序集中，如果任何一個(gè)全序子集都有下界，那么這個(gè)偏序集必然存在極小元．

引理3 設(shè)[X]為偏序集，[min（X）]為[X]的極小元之集．則當(dāng)[x∈X＼min（X）]時(shí)，存在[y0∈X]使得[y0lt;x]．

引理4 設(shè)[X]為偏序集，[min（X）]為[X]的極小元之集．則[?y∈X]有[↓y?min（X）≠][?]．

引理5 設(shè)[X]為偏序集，[min（X）]為[X]的極小元之集．則[x∈X＼min（X）]時(shí)存在[m0∈min（X）]使得[m0lt;x]．

2 7元素集合上[T0]拓?fù)鋽?shù)計(jì)算

根據(jù)極小元和極大元的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類計(jì)算，對(duì)于[Hasse]圖的畫法，可參考文獻(xiàn)［9］和本文的文字描述．

2.1 含有7個(gè)極小元

此時(shí)僅可形成1個(gè)偏序．

2.2 含有6個(gè)極小元

剩下的1個(gè)元至少大于5個(gè)極小元中的一個(gè)，此時(shí)有[C67×（C16+C26+C36+C46+C56+C66）=441]個(gè)偏序數(shù)．

2.3 含有5個(gè)極小元

對(duì)剩下2個(gè)元進(jìn)行分類，情況如下：

2.3.1 剩下的2個(gè)元不可相互比較

每個(gè)元至少大于1個(gè)極小元，此時(shí)有[C57×（C15+C25+C35+C45+C55）2=20 181]個(gè)偏序．

2.3.2 剩下的2個(gè)元可相互比較

1若較小元大于1個(gè)極小元，較大元可分別大于另外的[i（i=0，1，2，3，4）]個(gè)極小元，此時(shí)有[C15×（C04+C14+C24+C34+C44）=80]個(gè)偏序；以下同理可推出

2若較小元大于[2]個(gè)極小元，有[C25×（C03+C13+C23+C33）=80]個(gè)偏序；

3若較小元大于[3]個(gè)極小元，有[C35×（C02+C12+C22）=40]個(gè)偏序；

4若較小元大于[4]個(gè)極小元，有[C45×（C01+C11）=10]個(gè)偏序；

5若較小元大于[5]個(gè)極小元，有[C55=1]個(gè)偏序．

此時(shí)，共有[80+80+40+10+1=211]個(gè)偏序．

綜上，含有[5]個(gè)極小元時(shí)共有[20 181+211=20 392]個(gè)偏序．

2.4 含有[4]個(gè)極小元

對(duì)剩下的[3]個(gè)元按照極大元的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類：

2.4.1 含有[3]個(gè)極大元

[3]個(gè)極大元不可相互比較，每個(gè)元均與極小元形成[C14+C24+C34+C44=15]個(gè)偏序，此時(shí)共有[C47×（C14+C24+C34+C44）2=7 875]個(gè)偏序；

2.4.2 含有[2]個(gè)極大元

稱除極大元極小元外剩下的元為中間元．

（1）若中間元小于[2]個(gè)極大元，且至少大于[1]個(gè)極小元，有：

1中間元大于[1]個(gè)極小元時(shí)，極大元可分別大于另外的[i（i=0，1，2，3）]個(gè)極小元，有[C14×（C03+C13+C23+C33）2=256]個(gè)偏序；由類比推理得如下情況；

2中間元大于[2]個(gè)極小元時(shí)，有[C24×（C02+C12+C22）2=96]個(gè)偏序；

3中間元大于[3]個(gè)極小元時(shí)，有[C34×（C01+C11）2=16]個(gè)偏序；

4中間元大于[4]個(gè)極小元時(shí)，有[1]個(gè)偏序；

此時(shí)有[C47×C23（256+96+16+1）=38 745]個(gè)偏序．

（2）中間元小于[1]個(gè)極大元，首先有[C23C12=6]種選擇；其次，不可與中間元比較的極大元至少大于[1]個(gè)極小元，與極小元形成[C14+C24+C34+C44=15]種選擇，對(duì)可與中間元比較的極大元，由文獻(xiàn)［9］可知，有[C14×（C03+C13+C23+C33）+C24×（C02+C12+C22）+C34×（C01+C11）+1=65]個(gè)偏序，此時(shí)有[C47C23C12×15×65=163 800]個(gè)偏序．

綜上，共有38 745+163 800=202 545個(gè)偏序．

2.4.3 含有[1]個(gè)極大元

根據(jù)兩個(gè)中間元的關(guān)系，可做如下分類：

（1）[2]個(gè)中間元不可比較，每個(gè)中間元可分別與極小元形成[C14+C24+C34+C44=15]種選擇，注意：

1當(dāng)[2]個(gè)元只大于同一極小元時(shí)，極大元可大于另外的[1]或[2]或[3]個(gè)極小元，有

[C14×（C13+C23+C33）=28]個(gè)偏序；

2當(dāng)2個(gè)元一共大于2個(gè)極小元時(shí)（2個(gè)元各大于1個(gè)極小元（不相等），有[C14C13]種選擇；1個(gè)元大于兩個(gè)極小元，另1元大于兩個(gè)極小元中的1元，有[C24C12C12]種選擇；每個(gè)中間元都大于2個(gè)極小元，有[C24]種選擇），極大元可大于剩下的1或2個(gè)極小元，有[C24（C14C13+C24C12C12+C24）×（C12+C22）=756]個(gè)偏序；

3當(dāng)[2]個(gè)元一共大于[3]個(gè)極小元時(shí)

（a：[1]個(gè)元大于[1]個(gè)極小元，另一個(gè)元大于[2]個(gè)極小元，有[C14C23C12=24]種選擇；

b：[1]個(gè)元大于[3]個(gè)極小元，另一個(gè)元大于[3]個(gè)極小元中的[1]個(gè)，有[C34C13C12=24]種選擇；

c：[1]個(gè)元大于[3]個(gè)極小元，另[1]個(gè)元大于[3]個(gè)極小元中的[2]個(gè)，也有24中選擇；

d：每個(gè)元都大于[2]個(gè)極小元，有[C24C12C12=24]種選擇；

e：每個(gè)元都大于[3]個(gè)極小元，有[C34=4]種選擇），極大元可大于剩下的[1]個(gè)極小元，此時(shí)有[C34×（24+24+24+4）=400]偏序；

綜上，有[C47C13×（152+28+756+400）=147 945]個(gè)偏序．

（2）兩個(gè)中間元可比較時(shí)，即除極小元外的[3]元可比較，首先有[A33=6]種情況，將[3]元分別稱為大元、中元和小元．對(duì)小元與極小元的關(guān)系分以下情況：

1當(dāng)小元大于1個(gè)極小元時(shí)，有：

A：若中元大于0個(gè)極小元，則大元可大于另外的[i（i=0，1，2，3）]個(gè)極小元，有[C03（C03+C13+C23+C33）]=8個(gè)偏序；

B：若中元大于[1]個(gè)極小元，則大元可大于另外的[i（i=0，1，2）]個(gè)極小元，有[C13（C02+C12+C22）]=12個(gè)偏序；同理

C：若中元大于[2]個(gè)極小元，有[C23（C01+C11）=6]個(gè)偏序；

D：若中元大于[3]個(gè)極小元，有[1]個(gè)偏序；

此時(shí)，有[C14（8+12+6+1）=108]個(gè)偏序．

2當(dāng)小元大于[2]個(gè)極小元時(shí)，由類比推理得：

有[C24[C02（C02+C12+C22）+C12（C01+C11）+C22]=54]個(gè)偏序；

3當(dāng)小元大于[3]個(gè)極小元時(shí)，有[C34[（C01+C11）+1]=12]個(gè)偏序；

4當(dāng)小元大于[4]個(gè)極小元時(shí)，有[1]個(gè)偏序．

此時(shí)，共有[C47A33（108+54+12+1）=36 750]個(gè)偏序．

故含有[4]個(gè)極小元時(shí)，共有[7 875+202 545+36 750=395 115]個(gè)偏序．

2.5 含有3個(gè)極小元

對(duì)剩下[4]元按極大元個(gè)數(shù)進(jìn)行分類：

2.5.1 含有[4]個(gè)極大元

4個(gè)極大元不可相互比較，每個(gè)極大元可與極小元形成[C13+C23+C33=7]個(gè)偏序，有[C37（C13+C23+C33）4=84 035]個(gè)偏序．

2.5.2 含有[3]個(gè)極大元

根據(jù)極大元與中間元的關(guān)系可分為：

（1）中間元小于[3]個(gè)極大元，且至少大于[1]個(gè)極小元

1中間元大于[1]個(gè)極小元時(shí)，[3]個(gè)極大元可大于另外的[i（i=0，1，2）]個(gè)極小元，有[C13（C02+C12+C22）3=192]個(gè)偏序；同理：

2中間元大于[2]個(gè)極小元時(shí)，有[C23（C01+C11）3=24]個(gè)偏序；

3中間元大于[3]個(gè)極小元時(shí)，有[1]個(gè)偏序；

此時(shí)，共有[C37C34（192+24+1）=30 380]個(gè)偏序．

（2）中間元小于[2]個(gè)極大元，首先有[C34C23=12]種選擇，其次不可與中間元比較的極大元至少大于[1]個(gè)極小元，有[C13+C23+C33=7]種選擇；對(duì)于可與中間元比較的極大元，由文獻(xiàn)［9］可知，有[C13（C02+C12+C22）2+C23（C01+C11）2+1=61]個(gè)偏序；此時(shí)共有[C37×12×7×61=179 340]個(gè)偏序；

（3）中間元小于[1]個(gè)極大元，首先有[C34C13=12]種選擇，其次，不可與中間元比較的[2]個(gè)極大元至少大于[1]個(gè)極小元，有[（C13+C23+C33）2=49]種選擇，對(duì)于可與中間元比較的極大元，可分為如下情況：

1中間元大于[1]個(gè)極小元，極大元可大于另外的[0]或[1]或[2]個(gè)極小元，有[C13（C02+C12+C22）]=12個(gè)偏序；

2中間元大于[2]個(gè)極小元，有[C23（C01+C11）]=6個(gè)偏序；

3中間元大于[3]個(gè)極小元，有[1]個(gè)偏序．

此時(shí)，共有[C37×12×49×（12+6+1）=349 860]個(gè)偏序．

綜上，含有[3]個(gè)極大元時(shí)共有[30 380+179 340+349 860=559 580]個(gè)偏序．

2.5.3 含有2個(gè)極大元

除[2]個(gè)極大元和[3]個(gè)極小元外的[2]個(gè)元為中間元，根據(jù)兩個(gè)中間元的關(guān)系，可分為如下情況：

（1）[2]個(gè)中間元不可相互比較，根據(jù)極大元和中元的關(guān)系，分以下情況；

1[2]個(gè)中間元小于同一個(gè)極大元時(shí)，首先有[C12]種情況，另[1]極大元至少大于[1]個(gè)極小元，形成[C13+C23+C33=7]個(gè)偏序，對(duì)于可與中間元比較的極大元，由文獻(xiàn)［9］可得有[（C13+C23+C33）2+C13（C12+C22）+（C13C12+C23C12C12+C23）=79]個(gè)偏序，此時(shí)，共有[C37C24C12×7×79=232 260]個(gè)偏序；

2[2]個(gè)中間元小于不同極大元，首先有[C12]種情況，對(duì)于其中一組可比較的極大元和中間元而言，若中間元大于[1]個(gè)極小元，極大元可大于另外的[0]或[1]或[2]個(gè)極小元，有[C13（C02+C12+C22）=12]個(gè)偏序；若中間元大于[2]個(gè)極小元，極大元可大于另外的[0]或[1]個(gè)極小元，有[C23（C01+C11）=6]個(gè)偏序；若中間元大于[3]個(gè)極小元有[1]個(gè)偏序，另外一組同理．

此時(shí)共有[C37C24C12[C13（C02+C12+C22）+C23（C01+C11）+1]2=151 620]個(gè)偏序．

3[1]個(gè)極大元大于[1]個(gè)中間元，另一個(gè)極大元大于[2]個(gè)中間元時(shí)，首先有[C12C12=4]種選擇，2個(gè)中間元與極小元均形成[C13+C23+C33=7]種選擇，值得注意的是：

A：[2]個(gè)中間元大于同一極小元，有[1]或[2]個(gè)極大元可大于另外的[1]或[2]個(gè)極小元，有[C13（C12+C22）（C12+C22）=27]個(gè)偏序；

B：[2]個(gè)中間元一共大于[2]個(gè)極小元時(shí)，有[1]或[2]個(gè)中間元可大于另外的[1]個(gè)極小元，有[（C13C12+C23C12C12+C23）（C12+C22）=63]個(gè)偏序；

C：[2]個(gè)中間元一共大于[3]個(gè)極小元時(shí)（[1]個(gè)中間元大于[1]個(gè)極小元，另[1]個(gè)中間元大于另外[2]個(gè)中間元，有[6]種選擇，只大于[1]個(gè)中間元的極大元可單獨(dú)大于另外的[1]或[2]個(gè)極小元，有[6（C12+C22）=18]種選擇；1個(gè)中間元大于[1]個(gè)極小元，另[1]個(gè)中間元大于[3]個(gè)極小元，同上有[18]種選擇；[1]個(gè)中間元大于[2]個(gè)極小元，另1個(gè)中間元大于[3]個(gè)極小元，有[6]種情況，只大于[1]個(gè)中間元的極大元可單獨(dú)大于另外[1]個(gè)極小元；2個(gè)中間元各大于[2]個(gè)極小元，也有[6]種選擇，只大于[1]個(gè)中間元的極大元可單獨(dú)大于另外[1]個(gè)極小元），此時(shí)有[18+18+6+6=48]個(gè)偏序；

此時(shí)，有[C37C24×（C12+C22）[72+27+63+48]=157 080]個(gè)偏序．

4[2]個(gè)極大元均大于[2]個(gè)中間元，[2]個(gè)中間元均與極小元形成[C13+C23+C33=7]種情況，值得注意的是，當(dāng)[2]個(gè)中間元只大于同一個(gè)極小元時(shí)，[2]個(gè)極大元均可單獨(dú)大于另外的[1]或[2]個(gè)極小元；當(dāng)[2]個(gè)中間元一共大于[2]個(gè)極小元時(shí)，[2]個(gè)極大元均可單獨(dú)大于另外的[1]個(gè)極小元，此時(shí)有[C37C24×[72+C13（C12+C22）（C12+C22）+C23（C13C12+C23C12C12+C23）（C12+C22）]=55 650]個(gè)偏序．

綜上，[2]個(gè)中間元不可比較時(shí)，共有[232 260+151 620+157 080+55 650=596 610]個(gè)偏序．

（2）若[2]個(gè)中間元可比較，首先有[A22=2]種選擇，其次

1若較大中間元小于[2]個(gè)極大元，有以下情況：

A：若較小元大于[1]個(gè)極小元時(shí)，較大中間元大于[0]個(gè)極小元，則[2]個(gè)極大元可分別大于另外的[0]或[1]或[2]個(gè)極小元，有[（C02+C12+C22）2=16]個(gè)偏序；若較大中間元大于另外的[1]個(gè)極小元，則[2]個(gè)極大元可分別大于另外的[0]或[1]個(gè)極小元，有[C12（C01+C11）2=8]個(gè)偏序；若較大中間元大于剩下的[2]個(gè)極小元，有[1]個(gè)偏序；此時(shí)，共有[C13（16+8+1）=75]個(gè)偏序．

B：若較小元大于[2]個(gè)極小元，同理可得，有[C23[（C01+C11）2+1]=15]個(gè)偏序；

C：若較小元大于[3]個(gè)極小元，有[1]個(gè)偏序．

此時(shí)，共有[C37C24A22（75+15+1）=38 220]個(gè)偏序．

2[1]個(gè)極大元大于較大中間元，另一個(gè)極大元大于較小中間元，有以下情形：

A：若較小中間元大于[1]個(gè)極小元，大于較小中間元的極大元可單獨(dú)大于另外的[1]或[2]個(gè)極小元，同時(shí)，大于較大元的極大元和較大元均可大于另外的[1]或[2]個(gè)極小元，有[C13（C12+C22）（C12+C22）（C12+C22）=81]個(gè)偏序；

B：若較小中間元大于[2]個(gè)極小元，大于較小中間元的極大元可單獨(dú)大于另外的[1]個(gè)極小元，同時(shí)，大于較大元的極大元和較大元至多有[1]個(gè)大于另外的[1]個(gè)極小元，有[C23（C12+C22）=9]個(gè)偏序；

C：若較小中間元大于[3]個(gè)極小元，有[1]個(gè)偏序；

此時(shí)，共有[C37C24A22C12][×][（81+9+1）]=76 440個(gè)偏序；

3[1]個(gè)極大元大于較大中間元，另[1]個(gè)極大元與中間元不可比較時(shí)，該極大元與極小元形成[C13+C23+C33=7]個(gè)偏序，同時(shí)，對(duì)于可與中間元比較的極大元，由文獻(xiàn)［9］可得，有37種選擇，此時(shí)有[C37C24A22C12×7×37=217 560]個(gè)偏序．

綜上，兩個(gè)中間元可比較時(shí)，共有[38 220+76 440+217 560=332 220]個(gè)偏序．

故含有[2]個(gè)極大元時(shí)，共有[596 610+332 220=928 830]個(gè)偏序．

2.5.4 含有1個(gè)極大元

根據(jù)[3]個(gè)中間元的關(guān)系可分為如下情況：

（1）[3]個(gè)中間元不可相互比較，每個(gè)中間元均與極小元形成[C13+C23+C33=7]種選擇，需要注意以下情況：

1[3]個(gè)中間元只大于[1]個(gè)極小元，極大元可大于另外的[1]或[2]個(gè)極小元，有[C13（C12+C22）]=9個(gè)偏序；

2[3]個(gè)中間元一共大于[2]個(gè)極小元（即先在[3]個(gè)極小元中選[2]個(gè)，[2]個(gè)極小元小于[3]個(gè)極大元時(shí)有25種情況，共有[25×3=75]種情況），極大元可大于另外的[1]個(gè)極小元，有[C23×75=225]個(gè)偏序；

此時(shí)，共有[C37C14[（C13+C23+C33）3+9+225]=80 780]個(gè)偏序．

（2）若有[2]個(gè)中間元不可相互比較，且大于第三個(gè)中間元，首先有[C13=3]種情況，較小中間元與極小元形成[C13+C23+C33=7]種選擇；若較小中間元大于[1]個(gè)極小元時(shí)，極大元和[2]個(gè)較大中間元中至多有[2]個(gè)可大于另外的[1]或[2]個(gè)極小元，有[C13（C03+C13+C23）（C12+C22）=63]個(gè)偏序；若中間元大于[2]個(gè)極小元，極大元和[2]個(gè)較大中間元中至多有[1]個(gè)可大于另外的[1]個(gè)極小元，有[C23（C03+C13）=12]個(gè)偏序；

此時(shí)，有[C37C14C13[（C13+C23+C33）+63+12]=34 440]個(gè)偏序．

（3）若有[2]個(gè)中間元不可相互比較，且小于第三個(gè)中間元，首先有[C13=3]種情況，較小中間元均與極小元形成[C13+C23+C33=7]種選擇；注意以下情況：

1[2]個(gè)較小中間元大于同[1]個(gè)極小元時(shí)，較大中間元和極大元至多有[1]個(gè)可大于另外的[1]或2個(gè)極小元；

2[2]個(gè)較小中間元一共大于[2]個(gè)極小元時(shí)，較大中間元和極大元可大于另外的[1]個(gè)極小元；

此時(shí)，有[C37C14C13[72+C13（C02+C12）×（C02+C12）+（C13C12+C23C12C12+C23）×（C02+C12）]=58 380]個(gè)偏序．

（4）若只有[2]個(gè)中間元可比較，首先有[C13A22=6]種選擇，可相互比較的中間元中的較小元和不可比較的中間元均可與極小元形成[C13+C23+C33]=7種選擇，值得注意以下情況：

1上述[2]元大于同一極小元時(shí)，極大元和較大中間元均可單獨(dú)大于另外的[1]或[2]個(gè)極小元，有[C13（C12+C22）×（C12+C22）=27]個(gè)偏序；

2上述[2]元一共大于[2]個(gè)極小元時(shí)，極大元和較大中間元至多有[1]個(gè)可單獨(dú)大于另外的[1]個(gè)極小元，有[C23（C13C12+C23C12C12+C23）×（C02+C12）=189]個(gè)偏序；

3上述[2]元一共大于[3]個(gè)極小元時(shí)，有如下情況：

a：較小中間元大于[1]個(gè)極小元，不可比較的中間元大于[3]個(gè)極小元時(shí)，較大中間元可大于另外的[1]或[2]個(gè)極小元，有[C13（C12+C22）=9]個(gè)偏序；較小中間元大于[1]個(gè)極小元，不可比較的中間元大于另外[2]個(gè)極小元時(shí)，較大中間元可大于另外的1或[2]個(gè)極小元，同上有9個(gè)偏序；較小中間元大于[2]個(gè)極小元，不可比較的中間元大于[3]個(gè)極小元時(shí)，較大中間元可大于另外的[1]個(gè)極小元，有[C23=3]個(gè)偏序；較小中間元大于[2]個(gè)極小元，不可比較的中間元大于[2]個(gè)極小元時(shí)，較大中間元可大于另外的[1]個(gè)極小元，有[C23C12=6]個(gè)偏序；此時(shí)，有27個(gè)偏序．

b：不可比較的中間元大于[1]個(gè)極小元，較小中間元大于[3]個(gè)極小元時(shí)，極大元可大于另外的1或[2]個(gè)極小元，類比上面有9個(gè)偏序；后面情況同理有[7]個(gè)偏序和[3]個(gè)偏序，至于上述2元各大于[2]個(gè)極小元時(shí)重復(fù)；此時(shí)有21個(gè)偏序．

因此，此時(shí)有[C37C14C13A22[72+27+189+27+21]=262 920]個(gè)偏序；

（5）3個(gè)中間元可相互比較，首先有[A33=6]種選擇，并將三個(gè)中間元稱為，小元，中元，大元．

1若小元大于[1]個(gè)極小元時(shí)，中元，大元，極大元至多有[2]個(gè)可大于另外的[1]或[2]個(gè)極小元，有[C13（C03+C13+C23）（C12+C22）=63]個(gè)偏序；

2若小元大于[2]個(gè)極小元，則中元，大元，極大元至多有[2]個(gè)可大于另外的極小元，有[C23（C03+C13）]=12個(gè)偏序；

3若小元大于[3]個(gè)極小元，則有[1]個(gè)偏序；

此時(shí)，有[C37C14A33（63+12+1）=63 840]個(gè)偏序．

綜上，含有[1]個(gè)極大元時(shí)，共有[80 780+34 440+58 380+262 920+63 840=500 360]個(gè)偏序．

因此，含有3個(gè)極小元時(shí)，共有[80 435+559 580+928 830+500 360=2 072 805]個(gè)偏序．

2.6 含有[2]個(gè)極小元時(shí)

對(duì)剩下元按極大元個(gè)數(shù)進(jìn)行分類：

2.6.1 含有[5]個(gè)極大元

[5]個(gè)極大元不可相互比較，每個(gè)元均可與極小元形成[C12+C22=3]種偏序，此時(shí)有[C2735=5 103]個(gè)偏序．

2.6.2 含有[4]個(gè)極大元

由中間元和極大元的關(guān)系，可分為如下情況：

1中間元小于[4]個(gè)極大元且至少大于[1]個(gè)極小元：

中間元大于[1]個(gè)極小元時(shí)，[4]個(gè)極大元可分別大于另外的[0]或[1]個(gè)極小元；中間元大于[2]個(gè)極小元時(shí)，有[1]種情況，此時(shí)，有[C27C45[C12（C01+C11）4+C22]=3 465]個(gè)偏序．

2中間元小于[3]個(gè)極大元，首先有[C45C34=20]種選擇，不可與中間元比較的極大元可與極小元形成[C12+C22=3]種選擇，對(duì)于可與中間元比較的極大元，有[C12（C01+C11）3+1=17]種選擇，此時(shí)共有[C27C45C34×3×17=21 420]偏序．

3中間元小于[2]個(gè)極大元，首先有[C45C24=30]種選擇，同理，此時(shí)有[C27C45C24×（C12+C22）2×[C12（C01+C11）2+C22]=51 030]個(gè)偏序．

4中間元小于[1]個(gè)極大元時(shí)，有[C27C45C14×（C12+C22）3×[C12（C01+C11）+C22]=56 700]個(gè)偏序．

因此，含有[4]個(gè)極大元時(shí)共有[3 465+21 420+51 030+56 700=132 615]個(gè)偏序．

2.6.3 含有3個(gè)極大元時(shí)

根據(jù)兩個(gè)中間元的關(guān)系分為如下情況：

（1）[2]個(gè)中間元不可比較，根據(jù)中間元和極大元的情況分為：

1[2]個(gè)中間元小于同一個(gè)極大元，首先有[3]種情況，其次，[2]個(gè)不可比較的極大元均可與極小元形成[C12+C22=3]種偏序，對(duì)于可比較的極大元，由文獻(xiàn)［8］中計(jì)算可得，有[（C12+C22）2+C12]=11種情況，此時(shí)有[C27C35C13×（C12+C22）2×11=62 370]個(gè)偏序；

2[2]個(gè)中間元共小于[2]個(gè)極大元，首先有[（C13C12+C23C12C12+C23）=21]種選擇，其次對(duì)于不可與中間元比較的極大元，可與極小元形成[3]個(gè)偏序，對(duì)可與中間元比較的極大元，由文獻(xiàn)［9］中計(jì)算得[4]種情況下共有[206]種選擇，因此，此時(shí)有[C27C35×21×3×206=2 725 380]個(gè)偏序．

3[2]個(gè)中間元共小于3個(gè)極大元時(shí)，分以下情況：

a：[1]個(gè)中間元小于[1]個(gè)極大元，另一個(gè)中間元小于另外[2]個(gè)極大元，首先有[C23C12=6]種選擇，每個(gè)中間元均可與極小元形成[C12+C22=3]個(gè)偏序，注意：[2]個(gè)中間元大于同一極小元時(shí)，[3]個(gè)極大元均可大于另外的極小元，有[C12（C13+C23+C33）=14]個(gè)偏序；[2]個(gè)中間元大于不同極小元時(shí)，只大于[1]個(gè)中間元的極大元可大于另外的極小元，同時(shí)，另外[2]個(gè)極大元可大于該極小元，有[C12（C12+C22）=6]種選擇，此時(shí)，共有[C27C35×6×[32+14+6]=36 540]個(gè)偏序．

下面情況可采用相同的分析方法：

b：[1]個(gè)中間元小于[1]個(gè)極大元，另一個(gè)中間元小于[3]個(gè)極大元，同樣有36 540個(gè)偏序．

c：[1]個(gè)中間元小于[2]個(gè)極大元，另一個(gè)中間元小于[3]個(gè)極大元，有[C27C35×6×[32+14+2]=31 500]個(gè)偏序．

d：[1]個(gè)中間元小于[2]個(gè)極大元，另一個(gè)中間元也小于[2]個(gè)極大元，此時(shí)也有31 500個(gè)偏序．

e：每個(gè)中間元均小于[3]個(gè)極大元，此時(shí)有[C27C35×6×[32+14]=28 980]個(gè)偏序．

因此，[2]個(gè)中間元不可比較時(shí)，共有[62 370+2 725 380+36 540+36 540+31 500+31 500+28 980=2 952 810]個(gè)偏序．

（2）[2]個(gè)中間元可比較時(shí)，首先有[A22=2]種選擇，根據(jù)較大中間元與極大元的情況可分為：若較大元小于[3]個(gè)極大元，有以下情形：

1較小元大于[1]個(gè)極小元時(shí)，若較大元大于[0]個(gè)極小元，則[3]個(gè)極大元可大于另外的[0]或[1]個(gè)極小元，有[（C01+C11）3=8]種情況；若較大元大于[1]個(gè)極小元；有[1]種情況；此時(shí)有[C12×（8+1）=18]個(gè)偏序；較小元大于[2]個(gè)極小元時(shí)，有[1]個(gè)偏序．

此時(shí)，有[C27C35A22×（18+1）=7 980]個(gè)偏序．

2較大元小于[2]個(gè)極大元，首先有[3]種情況，其次，當(dāng)另[1]極大元只大于較小元時(shí)，有以下情況：

若較小元大于[1]個(gè)極小元，那么只大于較小元的極大元可單獨(dú)大于另外的極小元，同時(shí)，另外[2]個(gè)極大元和較大元至多有[1]個(gè)同時(shí)大于該極小元，由文獻(xiàn)［9］知有10種選擇；若較小元大于[2]個(gè)極小元，有[1]種情況，此時(shí)有[C27C35A22C23×（10+1）=13 860]個(gè)偏序．

3較大元小于[2]個(gè)極大元，首先有[3]種情況，其次，當(dāng)另[1]極大元不可與中間元比較時(shí)，有以下情況：

不可與中間元比較的極大元可與極小元形成[C12+C22=3]個(gè)偏序，對(duì)于其余[6]元，由文獻(xiàn)［9］知共有66種情況，此時(shí)有[C27C35A22C23×3×66=249 480]個(gè)偏序．

4較大元小于[1]個(gè)極大元，另外[2]個(gè)極大元均只大于較小元，類比上述情況，有[C27C35A22C13×（C12+C22）2[C12（C12+C22）+1]=79 380]個(gè)偏序．

5較大元大于[1]個(gè)極大元，另外2個(gè)極大元[1]個(gè)大于較小元，1個(gè)不可與中間元比較，對(duì)不可與中間元比較的極大元，與極小元形成[3]個(gè)偏序，對(duì)剩下的[6]元，由文獻(xiàn)［9］知有13種情況，此時(shí)，有[C27C35A22C13C12×3×13=98 280]個(gè)偏序．

6較大元大于[1]個(gè)極大元，另外[2]個(gè)極大元不可與中間元比較，則該[2]元均與極小元形成[3]個(gè)偏序，對(duì)于剩下的[5]元，由文獻(xiàn)［8］可知有7種情況，此時(shí)有[C27C35A22C13×9×7=158 760]個(gè)偏序．因此[2]個(gè)中間元可比較時(shí)，共有[7 980+13 860+249 480+79 380+98 280+158 760=607 740]個(gè)偏序．

綜上含有[3]個(gè)極大元時(shí)，有[2 952 810+607 740=3 560 550]個(gè)偏序．

2.6.4 含有[2]個(gè)極大元時(shí)

根據(jù)3個(gè)中間元的關(guān)系，可作如下分類：

（1）3個(gè)中間元不可比較，均與極小元形成3個(gè)偏序，注意，3個(gè)中間元只大于[1]個(gè)極小元時(shí)，兩個(gè)極大元均可大于另外的極小元，有[C27C35[（C12+C22）3+C12（C12+C22）]=6 930]個(gè)偏序．

（2）若有[2]個(gè)中間元不可相互比較，且大于第[3]個(gè)中間元，較小元大于[1]個(gè)極小元時(shí)，[2]個(gè)極大元或[2]個(gè)較大中間元至多有[1]個(gè)可大于另外的極小元，較小元大于[2]個(gè)極小元時(shí)，有[1]個(gè)偏序；此時(shí)有[C27C35C13[（C12+C22）+C12（C02C02+C12C02+C02C12+C02C22+C22C02）]=9 450]個(gè)偏序．

（3）若有[2]個(gè)中間元不可比較，且小于第[3]個(gè)中間元，首先有[C13=3]種選擇，較小元與極小元均可形成[（C12+C22）=3]個(gè)偏序，注意，較小元大于[1]個(gè)極小元時(shí)，[2]個(gè)極大元和[1]個(gè)較大中間元至多有[1]個(gè)可大于另外的極小元，有[C27C35C13[（C12+C22）2+C12（C01C02+C11C02+C01C12+C01C22）]=11 970]個(gè)偏序．

（4）若只有[2]個(gè)中間元可比較，有[C13A22=6]種選擇，稱可比較中間元中的較大元為[a]，較小中間元為[c]，不可比較的中間元為[b]，首先[a]和[c]和極大元的關(guān)系可分為：[a，c]小于[1]個(gè)極大元，有[2]種；[a]小于[1]個(gè)極大元，[c]小于[2]個(gè)極大元，有[2]種；[a]小于[2]個(gè)極大元，[c]小于[1]個(gè)極大元有[2]種；各小于[2]個(gè)極大元有[1]種情況；結(jié)合文獻(xiàn)［9］中引理3.5情形[4]的（3）可知，上述情況下的偏序數(shù)分別為：

[C25C13A22×2[（C12+C22）2+C12（C12+C22）+C12（C12+C22）+C12（C12+C22）]=68 040]

[C25C13A22×2[（C12+C22）2+C12（C12+C22）+C12（C12+C22）+C12]=57 960]

后[2]種情況與第二種相同，均為[57 960]個(gè)偏序．

此時(shí)有[68 040+57 960+57 960+57 960=241 920]個(gè)偏序．

（5）3個(gè)中間元可比較，首先有[A33=6]選擇，[3]個(gè)中間元稱為大元，中元和小元，當(dāng)小元大于[1]個(gè)極小元時(shí)，中元，大元，極大元至多有[1]個(gè)可大于另外的極小元；若小元大于[2]個(gè)極小元，有[1]個(gè)偏序，此時(shí)有[C27C35C13×6[C22+C12（C01C01C02+C11C01C02+C01C11C02+C01C01C12+C01C01C22）]=16 380]個(gè)偏序．

綜上，含有[2]個(gè)極大元時(shí)，共有[6 930+9 450+11 970+241 920+16 380=286 650]個(gè)偏序．

2.6.5 含有1個(gè)極大元

根據(jù)中間元的關(guān)系，可分為如下情況：

（1）[4]個(gè)中間元不可比較，每個(gè)中間元與極小元可形成[3]個(gè)偏序，值得注意，當(dāng)中間元大于同一極小元時(shí)，極大元可大于另外的極小元，有[C27C15[（C12+C22）4+C12]=8 715]個(gè)偏序；由同樣的分析方法得如下情況；

（2）[3]個(gè)中間元不可比較，且大于第[4]個(gè)中間元，有[C27C15C14[C12（C04+C14）]=4 200]個(gè)偏序．

（3）[3]個(gè)中間元可比較，且小于第[4]元，有[C27C15C14[（C12+C22）3+C12（C02+C12）]=13 860]個(gè)偏序．

（4）[4]個(gè)中間元中有[2]個(gè)不可比較，剩下的兩個(gè)也不可比較，有[C27C15C24[（C12+C22）2+C12（C03+C13）]=10 710]個(gè)偏序．

（5）[4]個(gè)中間元中有[2]個(gè)不可比較，剩下的兩個(gè)元可比較，且可比較的元大于不可比較的元有[C27C15C24A22[（C12+C22）2+C12（C03+C13）]=21 420]個(gè)偏序．

（6）[4]個(gè)中間元中有[2]個(gè)不可比較，剩下的兩個(gè)元可比較，且可比較的元小于不可比較的元，有[C27C15C24A22[（C12+C22）+C12（C04+C14）]=16 380]個(gè)偏序．

（7）[3]個(gè)中間元可比較時(shí)，有[C27C15C14A33[（C12+C22）2+C12（C03+C13）+C13+C13]=57 960]個(gè)偏序．

（8）[4]個(gè)中間元可比較時(shí)，有[C27C15A44[C12（C04+C14）+C22]=27 720]個(gè)偏序．

此時(shí)，共有[8 715+4 200+13 860+10 710+21 420+16 380+57 960+27 720=160 965]個(gè)偏序．

綜上，含有[2]個(gè)極小元時(shí)，共有[5 103+132 615+3 560 550+286 650+160 965=4 145 883]個(gè)偏序．

2.7 含有[1]個(gè)極小元時(shí)

由文獻(xiàn)［9］知其余6元形成的偏序?yàn)?30[ ]023，此時(shí)共有[C17×130 023=910 161]個(gè)偏序．

3 結(jié)論

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，通過偏序結(jié)構(gòu)與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的交叉融合，計(jì)算得出[7]元素集合上[T0]拓?fù)鋽?shù)為：[1+441+20 392+395 115+2 072 805+4 145 883+910 161=7 544 798]個(gè)，本文和文獻(xiàn)［9］所采用的方法可以繼續(xù)向8元素集合上[T0]拓?fù)鋽?shù)去推廣，但隨著元素的增多，需要做的分類討論會(huì)越來越多，計(jì)算難度也會(huì)越來越大．

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Calculation of the [T0]-Topological Number on a 7-Element Set

LIU Sheng-yun，WANG Xiao-xia*，WANG Yu-huan

（College of Mathematics and Computer Science，Yan’an University，Yan’an，Shaanxi，716000）

Abstract：This paper mainly uses the method of order and topological intersection to obtain the one-to-one correspondence between topological numbers and partial orders in topological space. By classifying and discussing the number of the minimal element and maximal element，combining" "Hasse graph and hierarchical matching number，the [T0]-topological number on a 7-element set is calculated as 7 544 798 through pure mathematical methods.

Key words：partially ordered set；minimal element; maximal element；[T0]-topological number

責(zé)任編輯 朱本華