解答數(shù)列的通項公式問題的關鍵在于確定數(shù)列第n項的表達式.因此在求解數(shù)列的通項公式時，要重點研究數(shù)列中各項的規(guī)律，尋找項數(shù)n與對應項之間的聯(lián)系.下面以一道題為例，談一談求數(shù)列通項公式的兩種思路.

題目：設數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈Z+，且S3=15.求a1，a2，a3的值以及數(shù)列an的通項公式.

已知遞推關系式較為復雜，我們很難快速求得數(shù)列的通項公式，需靈活運用數(shù)學歸納法、an與Sn的關系來求解.

一、利用數(shù)學歸納法

對于與正整數(shù)n有關的證明題，通常可以利用數(shù)學歸納法求證.數(shù)列的通項公式一般與正整數(shù)n有關，因此在求復雜的數(shù)列的通項公式時，可以先根據(jù)題意猜想出數(shù)列的通項公式，然后運用數(shù)學歸納法進行證明.運用數(shù)學歸納法解題的兩個步驟為：第一步，證明當n=n0時命題成立；第二步，假設當n=k（k≥n0）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立，就能證明命題對于大于或等于n0的所有正整數(shù)n都成立.

解：令n=1，可得S1=2a2-7①;令n=2，可得S2=4a3-20②;令n=3，可得S3=S2+a3=5a3-20③，由①②③可得a1=3，a2=5，a3=7.

于是猜想an=2n+1.

①當n=1時，結論顯然成立.

②假設當n=k時，ak=2k+1，則Sk=k（k+2），

則當n=k+1時，由Sk=2kak+1-3k2-4k，

得ak+1=2（k+1）+1，

綜合①②可得an=2n+1.

先仔細觀察可發(fā)現(xiàn)a1、a2、a3為奇數(shù)，于是猜想數(shù)列的通項公式an=2n+1，再用數(shù)學歸納法進行證明.在運用數(shù)列歸納法證明結論時需分兩步進行，本題中n的最小值為1，所以先證明當n=1時結論成立；然后假設當n=k時結論成立，并據(jù)此證明當n=k+1時結論成立，由此即可證明對于任意正整數(shù)n，數(shù)列的通項公式為an=2n+1.

二、利用 an 與 Sn 的關系

當已知關系式中同時含有 an 和 Sn 時，可以直接利用 an 與 Sn 的關系：an = ì í ? Sn - Sn - 1（n ≥ 2，n ∈ N* ）， a1（n = 1）， 來求 an 的表達式.需先令 n = 1，求得 a1 ；再令 n = n - 1，并將 Sn、Sn - 1 作差，即可求得當 n ≥ 2 時 an 的表達式；最后將當 n = 1和 n ≥ 2 時的 an 合并，即可得到數(shù)列{an} 的通項公式.

解：

已知關系式中同時含有 an 和 Sn ，于是將 Sn、Sn - 1 作差，利用 an 與 Sn 的關系得到只含有 an 、an + 1 的式子.再將該式變形，可發(fā)現(xiàn) an + 1 -（2n + 3） 與 an -（2n + 1） 成倍數(shù)關系，于是令n=1，2，3，…，n-1，并將這n-1個式子累乘，即可求得 an 的表達式.值得注意的是，在利用 an 與 Sn 的關系求數(shù)列的通項公式時，要檢驗首項 a1 是否滿足當n≥2時 an 的表達式，若滿足，則可以將二者合并，若不滿足，則需分開表示.

對于較為復雜的數(shù)列通項公式問題，同學們不僅要將數(shù)列的遞推關系式進行合理的變形、轉化，還要學會靈活運用數(shù)學歸納法、an 與 Sn 的關系來解題.

（作者單位：江蘇省大豐高級中學）