比較兩個(gè)代數(shù)式的大小問題經(jīng)常出現(xiàn)函數(shù)試題中.在解題時(shí)，我們需要仔細(xì)觀察并比較兩個(gè)代數(shù)式，建立二者之間的聯(lián)系，從中尋找到解題的思路.比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，常常需要用到函數(shù)的單調(diào)性，這就需要我們根據(jù)兩個(gè)要比較的代數(shù)式的特征構(gòu)造出合適的函數(shù)模型，以利用函數(shù)的單調(diào)性解題.那么，如何構(gòu)造函數(shù)模型呢？

一、構(gòu)造同底、同指數(shù)的函數(shù)

若要比較幾個(gè)指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、冪函數(shù)式的大小，通?？上葘⑵浠?jiǎn)、變形為指數(shù)、真數(shù)、次數(shù)相同的函數(shù)式；然后構(gòu)造出同指數(shù)、同真數(shù)、同次數(shù)的函數(shù)模型，將要比較的函數(shù)式視為取不同自變量時(shí)的函數(shù)值；再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較出函數(shù)式的大小.

例1.

解：

仔細(xì)觀察各個(gè)選項(xiàng)，可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)代數(shù)式均為指數(shù)函數(shù)式，且 ? è ? ? 1 2 1 3 和 ? è ? ? 1 2 2 3 的底數(shù)相同，? è ? ? 1 5 2 3 和 ? è ? ? 1 2 2 3 的次數(shù)相同，于是將 ? è ? ? 1 2 1 3 和 ? è ? ? 1 2 2 3 視為函數(shù) y = ? è ? ? 1 2 x 分別在 x = 1 3 和 x = 2 3 時(shí)的函數(shù)值，將 ? è ? ? 1 5 2 3 和 ? è ? ? 1 2 2 3 視為函數(shù) y = x 2 3 分別在 x = 1 5 和 x = 1 2 時(shí)的函數(shù)值.再根據(jù)指數(shù)函數(shù) y = ? è ? ? 1 2 x 和冪函數(shù) y = x 2 3 的單調(diào)性來比較代數(shù)式的大小，即可解題.

例2

解

解答本題需要引入中間值1、0，并構(gòu)造同底數(shù)的指數(shù)函數(shù) y = 3x 、同底數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù) y = log0.3 x 和 y = log5 x . 首先根據(jù)指數(shù)函數(shù) y = 3x 的單調(diào)性比較 30.1 與30 的大小，進(jìn)而比較出 a 與 1 的大??；然后根據(jù) y = log0.3 x的單調(diào)性比較出 log0.30.5與 log0.30.3的大小，進(jìn)而比較出b與1的大小；最后根據(jù) y = log5 x的單調(diào)性比較出 log50.3與 log5 1的大小，進(jìn)而比較出c與0的大小.

二、構(gòu)造同構(gòu)式

對(duì)于結(jié)構(gòu)相同、形式相似的代數(shù)式，可以根據(jù)其特征構(gòu)造出函數(shù).只要判斷出函數(shù)的單調(diào)性，便可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來比較出幾個(gè)代數(shù)式的大小.一般地，可以根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，也可以根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系來判斷函數(shù)的單調(diào)性.

例3

解

將三個(gè)要比較的函數(shù)式進(jìn)行變形，使其為同構(gòu)式，即可據(jù)此構(gòu)造出函數(shù)f（t）=.再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較出三式的大小.

總之，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性比較代數(shù)式的大小，關(guān)鍵在于明確代數(shù)式之間的異同，構(gòu)造合適的函數(shù)模型. 在解答這類問題時(shí)，同學(xué)們要注意靈活運(yùn)用不等式的傳遞性，以及導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系.

（作者單位：甘肅省慶陽第二中學(xué)）