正弦定理是高中數(shù)學(xué)中的一個重要定理，常用于解答解三角形問題、平面向量問題、平面幾何問題、三角函數(shù)問題等.熟練掌握該定理，并熟悉其推導(dǎo)過程是非常重要的，不僅可以加深對該定理的理解，還有利于熟悉其本質(zhì)，提升解題的效率.為此，筆者對正弦定理的推導(dǎo)過程進行了探究，給出了證明正弦定理的四種方法.

正弦定理：在銳角ΔABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則==.

證法一：構(gòu)造垂線段

構(gòu)造垂線段是解答三角形問題的常用方法.對于看似毫無關(guān)系的線段、角，可以嘗試通過垂線段來建立幾何關(guān)系，直接根據(jù)勾股定理、三角函數(shù)的定義來建立線段、角之間的代數(shù)關(guān)系式.

證明：

利用三角函數(shù)的定義將垂線段用三角形的不同邊以及角的正弦值表示出來，即可快速建立邊、角之間的等量關(guān)系，并以此推出正弦定理.

證法二：等面積法

等面積法是解答三角形問題的常用方法，即利用三角形的面積公式，根據(jù)三角形的面積相等來建立等式關(guān)系，從而使問題獲解.

證明：

我們根據(jù)三角形的面積公式S=ab?sinC，用不同的角和邊表示ΔABC的面積，并據(jù)此建立關(guān)于三角形邊、角的關(guān)系式ac?sin B=ab?sinC=bc?sin A，從而證明正弦定理.

證法三：構(gòu)造外接圓

三角形的外接圓是研究三角形性質(zhì)的一個重要工具.我們可以構(gòu)造三角形的外接圓，利用圓的幾何性質(zhì)來構(gòu)建三角形邊、角的等量關(guān)系式.

證明：

構(gòu)造出三角形的外接圓后，根據(jù)同弦所對的圓周角相等得出∠A=∠D，并在RtΔBCD中，根據(jù)三角函數(shù)的定義建立三角形的邊、角關(guān)系式，即可證明正弦定理.

證法四：向量法

向量是解答平面幾何問題的重要工具.運用向量法證明正弦定理，需構(gòu)造出合適的向量模型，通過向量運算，利用數(shù)量積公式得出結(jié)論.

證明：如圖3，構(gòu)造向量、、、，其中⊥.

在ΔABC中，+）=，

則=，可得asinC=csin A，

即=，同理可得==.

構(gòu)造出向量，并使⊥，即可根據(jù)向量的加法運算、數(shù)乘運算法則，以及數(shù)量積公式證明結(jié)論.

對于鈍角三角形、直角三角形也可以采用同樣的方法進行證明.需要注意的是，這些方法同樣也是解答解三角形問題的重要方法.因此，對定理進行深入的分析、研究，不僅有利于加深對定理的理解，還能掌握其本質(zhì)以及應(yīng)用技巧.

（作者單位：江蘇省沭陽如東中學(xué)）