空間中線段長問題側重于考查空間中點、線、面的位置關系，簡單空間幾何體的性質，以及線面平行、垂直性質定理的應用.這類問題對同學們的運算能力和抽象思維能力有較高的要求.下面主要探討一道空間中線段長問題的兩種解法.

題目：

對于第一個問題，我們可以根據長方體的性質判定 AC ⊥ BD，EA ⊥ BD ，進而根據線面垂直的判定定理證明 BD ⊥面EACC1 ，再根據線面垂直的性質定理證明 BD ⊥ EC1 .這里主要討論第二個問題的解法.要求得 AA1 的長，主要有兩種思路：（1）將問題轉化為平面幾何問題；（2）構建空間直角坐標系.

一、將立體幾何問題轉化為平面幾何問題

在求空間中線段的長時，往往可以運用轉化法求解.先添加輔助線，構造出三角形、平行四邊形、圓等平面幾何圖形，并將所求線段置于三角形、平行四邊形、圓等圖形內，這樣便可將問題轉化為平面幾何問題；再運用平面幾何知識，如點到直線的距離公式、兩點間的距離公式、勾股定理、正余弦定理、等腰三角形的性質等，建立關系式，從而求得線段的長.

解法1

我們需將 AA1 視為矩形 ACC1A1 的一條邊長，先根據長方體的性質求得 A1C1 、AO 的長；然后在矩形 ACC1A1 內，根據 ΔOEA～ΔEA1C1 建立邊長之間的比例關系式，從而求得 AA1 的長.

解法2.如圖3所示，連接 OC1 ，

根據長方體的性質求得A1C1、AO的長后，便可將空間中的線段長問題轉化為求ΔOCC1的邊長CC1.再根據矩形的性質可知ΔOEC1、ΔOEA、ΔA1EC1、ΔOCC1均為直角三角形，于是根據勾股定理求得OE、EC1、OC1的邊長，并建立關系式，即可解題.

二、建立空間直角坐標系

對于規(guī)則的幾何體，我們通常很容易找到三條互相垂直的直線，便可將其視為坐標軸，建立空間直角坐標系.求得各個點的坐標以及線段的方向向量，就可以將線段的長視為向量的模長，通過向量運算求得問題的答案.

解：

在立體圖形中尋找到合適的點和垂線，并將其作為坐標原點和坐標軸，即可建立空間直角坐標系.再將幾何圖形中的點用坐標表示出來，借助向量的坐標運算法則來求解即可.

總之，求解空間中線段長問題，需注意：（1）明確線段的位置；（2）添加合適的輔助線；（3）將問題進行合理的轉化，以運用平面幾何知識、向量知識順利解題.

（作者單位：江蘇省南通第一中學）