函數(shù)的性質(zhì)主要有奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、周期性.有些函數(shù)同時(shí)具有兩種或兩種以上的性質(zhì)，需靈活運(yùn)用一些相關(guān)的結(jié)論和賦值法來(lái)判斷出函數(shù)的性質(zhì).下面，筆者總結(jié)了一些有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的結(jié)論.

結(jié)論1.若f（x+2a）=f（-x）和f（x+a）=f（-x+a），則x=a為函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱(chēng)軸.

結(jié)論2.若f（x+a）=-f（x）、f（x+2a）=f（x），則T=2|a|（a≠0）為函數(shù)y=f（x）的周期.

結(jié)論3.若x1+x2為常數(shù)，且f（x1）=f（x2），則x=為y=f（x）的對(duì)稱(chēng)軸；當(dāng)f（x1）+f（x2）=c時(shí)，，為y=f（x）的對(duì)稱(chēng)中心.

結(jié)論4.若x1+x2不為常數(shù)，且f（x）+f（x+a）=0，則函數(shù)y=f（x）的周期為T(mén)=2a.

根據(jù)這些結(jié)論，我們可以快速求得函數(shù)的周期、對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心.下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行分析.

例1.若函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=f（2a-x），f（x）+f（a-x）=0且a≠0，求y=f（x）的周期.

解：因?yàn)閒（x）=f（2a-x），所以由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知x=a為函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱(chēng)軸.因?yàn)閒（x）+f（a-x）=0，且x+a-x=a為常數(shù)，由結(jié)論3可知（，0）為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心.由f（x）=f（2a-x），f（x）+f（a-x）=0，可知f（2a-x）+f（a-x）=0.令x=a-x，由f（2a-x）+f（a-x）=0可得f（a+x）+f（x）=0.且x+a+x=a+2x不為常數(shù)，由結(jié)論4可知函數(shù)y=f（x）的周期為T(mén)=2a.

解答本題主要運(yùn)用結(jié)論3、結(jié)論4.在解題時(shí)，需判斷x1+x2是否為常數(shù)，以便根據(jù)結(jié)論3、結(jié)論4判斷出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和周期性.運(yùn)用結(jié)論3、結(jié)論4的關(guān)鍵是：（1）判斷x1+x2是否為常數(shù)；（2）明確f（x1）、f（x2）之間的關(guān)系.

例2.（2022年新高考Ⅰ卷，第12題）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)數(shù)f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）.若f（-2x），g（2+x）均為偶函數(shù)，則（）

.A.f（0）=0 B.g（-）=0 C.f（-1）=f（4）D.g（-1）=g（2）

解：因?yàn)楹瘮?shù)f（-2x），g（2+x）均為偶函數(shù)，所以f（-2x）=f（+2x）①，由結(jié)論1可知x=的對(duì)稱(chēng)軸，故C正確；

而g（2+x）=g（2-x）②，由結(jié)論1可知x=2為g（x）的對(duì)稱(chēng)軸.

對(duì)①求導(dǎo)可得-2?g（-2x）=2?g（+2x），化簡(jiǎn)得 g（+2x）+g（-2x）=0③.由結(jié)論3可知（，0）為"""""" g（x）的對(duì)稱(chēng)中心，且g（）=0；由②可得f（2+x）+""""" f（2-x）=2m④成立（其中m為常數(shù)），由結(jié)論3可知（2，m）為f（x）的對(duì)稱(chēng)中心，且f（2）=m.

因?yàn)閤=，所以f（2-x）=f（1+x），將其代入④式，得f（2+x）+f（1+x）=2m⑤.

再令x=x-1，可得f（1+x）+f（x）=2m⑥.由⑤⑥得f（2+x）=f（x），由結(jié)論4可知2為f（x）的周期，從而可得f（0）=f（2）=m，所以A項(xiàng)不正確；

因?yàn)椋ǎ?）為g（x）的對(duì)稱(chēng)中心，所以g（1+x）+g（2-x）=0，即g（2-x）=-g（1+x），由②得g（2+x）=-g（1+x）⑦.

再令x=x-1，可得g（1+x）=-g（x）⑧，由⑦⑧得g（2+x）=g（x）.由結(jié)論4可知2為g（x）的周期，從而可得g（-）=g（）=0，所以B項(xiàng)正確.

令x=-1，由g（2+x）=g（x）可得g（-1）=g（1）.令x=0，由⑦可得g（2）=-g（1），從而可得g（-1）=-g（2），所以D項(xiàng)不正確.

綜上所述，本題的正確答案為BC.

該題中關(guān)系較為復(fù)雜，涉及了導(dǎo)函數(shù)，重點(diǎn)考查了函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用.需靈活運(yùn)用結(jié)論1、結(jié)論3、結(jié)論4，才能順利解題.一般地，用結(jié)論1、結(jié)論3來(lái)判斷復(fù)雜函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，用結(jié)論2、結(jié)論4來(lái)判斷函數(shù)的周期性.

總之，解答關(guān)系復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題，需要：（1）綜合運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性以及相關(guān)的結(jié)論；（2）明確函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性與周期性之間的關(guān)聯(lián)，并進(jìn)行合理的賦值和代換，以求得函數(shù)的周期.

（作者單位：江西省贛州市第三中學(xué)）