數(shù)列求和問題的命題形式多種多樣，其解法也各不相同，常用的求和方法有公式法、倒序相加法、裂項相消法、錯位相減法、分組求和法、并項求和法等.下面主要介紹求數(shù)列和的三種方法.

一、倒序相加

當(dāng)題目中出現(xiàn)am+an-m=k（k為常數(shù)），f（am）+f（an-m）=c（c為常數(shù)）的式子時，我們通常采用倒序相加法來求數(shù)列的和.如果這類問題中數(shù)列的首末兩項之和為定值，且與首末兩項等距的兩項之和也為定值，即可將數(shù)列的正序和式與倒序和式中的對應(yīng)項相加，便可快速求得數(shù)列的和.

例1.已知fx=2（3）x（x）--1（2）x≠2（1），求f 20119+f 201（2）9+???+f 2019（2018）.

解：fx+f1-x=2（3）x（x）--1（2）+2（3）1（1）--x（x）--1（2）=3，設(shè)Sn=f 20119+f 201（2）9+???+f 2（2）0（0）1（1）9（7）+f 2019（2018），則Sn=f 2（2）0（0）1（1）9（8）+f 2（2）0（0）1（1）9（7）+???+f 201（2）9+f 20119，

將上述兩式相加，得：

2Sn=3+3+…+3+3=3×2018=6054，

得Sn=3027.

由題意可知 f （x） + f （1 - x） = 3 ，而 1 2019 + 2018 2019 = 1， 2 2019 + 2017 2019 = 1 ，……，于是將數(shù)列的正序和式與倒序和式中的對應(yīng)項相加，即可運用倒序相加法快速求得數(shù)列的和.

二、裂項相消

有時數(shù)列的通項可以拆分成相鄰兩項之差的形式，如 1 n（n + 1） = 1 n - 1 n + 1 、 1 n（n + k） = 1 k ? è ? ? 1 n - 1 n + k 、 1 （2n - 1）（2n + 1） = 1 2 ? è ? ? 1 2n - 1 - 1 2n + 1 ，就可以采用裂項相消法來求數(shù)列的和.在求和時中間的一些項可以相互抵消，簡化剩余的項即可達(dá)到求和的目的.

例2.若數(shù)列是以-1為首項，-為公差的等差數(shù)列.設(shè)bn=，求數(shù)列bn的前n項和bn.

解：

本題中數(shù)列{bn}的通項公式為 bn = 4n2 4n2 - 1 ，可將其變形為 bn = 1 + 1 2 ? è ? ? 1 2n - 1 - 1 2n + 1 ，這樣求和時中間的一些項就會抵消，用裂項相消法便可快速求得數(shù)列的和.

三、錯位相減

若an、bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，則通?？刹捎缅e位相減法來求數(shù)列an?bn的前n項和.首先將數(shù)列的和式乘以等比數(shù)列的公比，然后將其中的各項與原數(shù)列和式中的各項錯開一位作差，再運用等比數(shù)列的前n項和公式進(jìn)行求和即可.

例3.已知數(shù)列bn的通項公式bn=，求數(shù)列bn的前n項和Sn．

解：

數(shù)列bn的通項公式bn=中的n可視為等差數(shù)列的通項公式，為等比數(shù)列的通項公式，本題可以采用錯位相減法求解.在數(shù)列和式的左右同時乘以等比數(shù)列的公比，即可得到Sn的表達(dá)式，然后將其與Sn的表達(dá)式作差即可.

可見，上述三種求數(shù)列和方法的特點、適用情形、解題思路等都不相同.同學(xué)們在解題時要對各種求和方法進(jìn)行研究、歸納，掌握并學(xué)會靈活運用這些求和方法，以便在解題時能根據(jù)題目中數(shù)列或通項公式的特點選擇與之相應(yīng)的方法.

（作者單位：西華師范大學(xué)）