奇偶性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，常用于解答函數(shù)求值問題、函數(shù)最值問題、函數(shù)不等式問題、函數(shù)單調(diào)性問題等.而運用函數(shù)的奇偶性解題的前提是判斷出函數(shù)的奇偶性，這就要求我們能夠靈活運用多種方法來快速判斷出函數(shù)的奇偶性.下面，筆者結(jié)合幾道例題，談一談判斷函數(shù)奇偶性的三種方法，供讀者參考.

方法一：定義法

一般來說，對于定義域內(nèi)的任意一個變量x，如果函數(shù)f（x）都滿足f（-x）=f（x），那么函數(shù)f（x）就是一個偶函數(shù)；若對于定義域內(nèi)的任意一個變量x，函數(shù)f（x）都滿足f（-x）=-f（x），則函數(shù)f（x）就是一個奇函數(shù).在運用定義法判斷函數(shù)的奇偶性時，要先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；然后令x=-x，判斷f（x）與f（-x）、-f（-x）之間的關(guān)系.

例1.判斷函數(shù)f（x）=+1的奇偶性.

解：函數(shù)f（x）=+1的定義域為{x|x≠0}.

所以函數(shù)f（x）=+1是奇函數(shù).

值得注意的是，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱是關(guān)鍵的一步，若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則此函數(shù)就是非奇非偶函數(shù).

方法二：性質(zhì)法

由具有奇偶性的函數(shù)組合起來的函數(shù)很多.在判斷這類函數(shù)的奇偶性時，需靈活運用性質(zhì)法.一般地，若函數(shù)g（x）、f（x）的定義域為D，則①奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)；②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；③偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)；④偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù).在解題時，需將函數(shù)式拆分為兩個具有奇偶性的函數(shù)，再利用性質(zhì)法進行判斷.

例2.若函數(shù)f（x）（x∈R）是奇函數(shù)，函數(shù)g（x）（x∈R）是偶函數(shù)，則下列說法中正確的是（）.

A.函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）是奇函數(shù)

B.函數(shù)h（x）=f（x）·g（x）是奇函數(shù)

C.函數(shù)h（x）=f[g（x）]是奇函數(shù)

解：

四個選項中的函數(shù)均是由 f （x） 、g（x） 組合成的函數(shù)，需運用性質(zhì)法求解.根據(jù)組合函數(shù)式中的運算符號，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進行判斷，即可解題.

方法三：借助函數(shù)的圖象

借助函數(shù)的圖象來判斷函數(shù)的奇偶性比較直觀、便捷.首先需根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象；然后判斷y軸和原點兩側(cè)的函數(shù)圖象之間的關(guān)系，若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù).

例3

解：由題意可知函數(shù)的定義域是 x ∈ （-∞，0） ? （0，+∞） ，關(guān)于原點對稱.

在直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，如圖所示.

觀察此圖象可知，該分段函數(shù)是關(guān)于 y 軸對稱的，所以此函數(shù)是一個偶函數(shù).

此問題中的圖象較為簡單，便于畫出.而對于一些較為復雜的復合函數(shù)和抽象函數(shù)來說，往往很難畫出其圖象，這時就無法借助函數(shù)的圖象判斷出函數(shù)的奇偶性.所以圖象法只適用于判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性.

總的來說，上述三種方法都是判斷函數(shù)奇偶性的有效方法，只不過每種方法的適用范圍不同.前兩種方法是判斷函數(shù)奇偶性的常用方法，最后一種方法的適用范圍較窄.但無論使用哪種方法判斷函數(shù)的奇偶性，都不能忘記對定義域進行檢驗.

（作者單位：甘肅省臨夏回族自治州廣河縣廣河中學）