2019年人教A版《數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)》81頁的“閱讀與思考”欄目中給出了一元三次方程的韋達(dá)定理及其推導(dǎo)過程.設(shè)實(shí)系數(shù)一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0（a3≠0）（1），在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為x1，x2，x3，則方程（1）可變形為a3（x-x1）（x-x2）（x-x3）=0，將其展開得：a3x3-a3（x1+x2+x3）x2+a3（x1x2+x1x3+x2x3）x-a3x1x2x3=0（2）.

比較（1）（2）兩式可得：

這三式即為一元三次方程的韋達(dá)定理.通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，該式與一元二次方程的韋達(dá)定理類似，都涉及了根與系數(shù)之間的關(guān)系，幾個(gè)根的和與積，區(qū)別在于根的個(gè)數(shù)不同，且表達(dá)式不同.根據(jù)一元三次方程的韋達(dá)定理，可以快速用方程的系數(shù)表示出三個(gè)根的和與積，這樣便能直接建立方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)方程的根求方程的系數(shù)，根據(jù)方程的系數(shù)求根的和與積.

例1.（2023年貴州省數(shù)學(xué)競(jìng)賽）已知函數(shù)f（x）=x3-2x2-3x+4，若f（a）=f（b）=f（c），其中alt;blt;c，則a2+b2+c2=.

解：設(shè)f（a）=f（b）=f（c）=m，g（x）=f（x）-m，

則a，b，c是方程g（x）=0，

即x3-2x2-3x+4-m=0的三個(gè)根.

由一元三次方程的韋達(dá)定理可知a+b+c=2，ab+bc+ca=-3.

故a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=22-2×（-3）=10.

由于a、b、c不是定值，所以直接計(jì)算a2+b2+c2的值難度很大，于是構(gòu)造方程g（x）=f（x）-m，將a、b、c視為一元三次方程x3-2x2-3x+4-m=0的根，然后根據(jù)一元三次方程的韋達(dá)定理，即可得到a+b+c和ab+bc+ca的值，從而得到a2+b2+c2的值.

例2.已知f（θ）=cos4θ+cos 3θ，且θ1，θ2，θ3是f（θ）在（0，π）內(nèi)的三個(gè)不同零點(diǎn)，則（）.

A.

B.θ1+θ2+θ3=π

C.cosθ1?cosθ2?cosθ3=-

D.cosθ1+cosθ2+cosθ3=

解：由題意知θ1，θ2，θ3是方程cos4θ+cos 3θ=0的三個(gè)根，

由cos4θ+cos 3θ=0可得cos4θ=cos（π+3θ），

所以4θ=π+3θ+2kπ或4θ+π+3θ=2kπ，k∈Z，解得θ=π+2kπ或θ=-+，k∈Z.

因?yàn)棣取剩?，π），所以θ=π+2kπ不成立.

當(dāng)θ=-+，k∈Z時(shí)，

取k=1，解得θ=∈（0，π）；

取k=2，解得θ=∈（0，π）；

取k=3，解得θ=∈（0，π）；

取k=4，解得θ=π?（0，π）（舍）.

故θ1=，θ2=，θ3=，θ1+θ2+θ3=，所以選項(xiàng)A正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤.

cos4θ+cos 3θ=2 cos22θ-1+4 cos3θ-3 cosθ

=2（2 cos2θ-1）2-1+4 cos3θ-3 cosθ

=（cosθ+1）8 cos3θ-4 cos2θ-4 cosθ+1.

因?yàn)棣取剩?，π），所以cosθ+1≠0，所以cosθ1，cosθ2，cosθ3是方程8x3-4x2-4x+1=0的三個(gè)根，

所以cosθ1 cosθ2 cosθ3=-，cosθ1+cosθ2+cosθ3

=1故CD正確

綜上可知，本題的答案是ACD三項(xiàng).

根據(jù)題意，通過計(jì)算可得到θ1=、θ2=、θ3=，據(jù)此可直接判斷AB選項(xiàng)的正確性.但要計(jì)算cosθ1 cosθ2 cosθ3和cosθ1+cosθ2+cosθ3的值，并非易事.需先利用二倍角公式和三倍角公式對(duì)f（θ）進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到關(guān)于cosθ的四次函數(shù)；然后分解因式，可知cosθ1、cosθ2、cosθ3是方程8x3-4x2-4x+1=0的三個(gè)根，這時(shí)只需利用一元三次方程的韋達(dá)定理即可求出cosθ1 cosθ2 cosθ3和cosθ1+cosθ2+cosθ3的值.

例3.（2023年深圳一模）已知函數(shù)f（x）=x（x-3）2，若f（a）=f（b）=f（c），其中alt;blt;c，則（）.

A.1lt;alt;2 B.a+b+c=6

C.a+bgt;2 D.abc的取值范圍是（0，4）

解：因?yàn)閒（x）=x（x-3）2，

所以f′（x）=3x2-12x+9=3（x-3）（x-1），

令f′（x）=0，解得x=1或x=3.

由f′（x）gt;0得xgt;3或xlt;1，所以f（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上單調(diào)遞增；

由f′（x）lt;0得1lt;xlt;3，所以f（x）在（1，3）上單調(diào)遞減，

且f（3）=0，f（1）=f（4）=4，故f（x）的圖象如圖所示.

設(shè)f（a）=f（b）=f（c）=t，

則0lt;tlt;4，0lt;alt;1lt;blt;3lt;clt;4，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

設(shè)g（x）=f（x）-t，則a，b，c是函數(shù)g（x）的零點(diǎn)，

即a，b，c是方程x3-6x2+9x-t=0的根，

由一元三次方程的韋達(dá)定理可知：

a+b+c=6，abc=t∈（0，4），故選項(xiàng)BD正確.

因?yàn)?lt;clt;4，所以3lt;6-（a+b）lt;4，

解得2lt;a+blt;3，故選項(xiàng)C正確.

綜上可知，本題的答案為BCD.

我們先利用導(dǎo)數(shù)法求出f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值，并作出f（x）的圖象，即可判斷出a、b、c的大致范圍；再構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-t，將a、b、c視為方程x3-6x2+9x-t=0的三個(gè)根，就能根據(jù)一元三次方程的韋達(dá)定理求得三個(gè)根的和與積.

高考題“源于”教材，而“高于”教材，這不僅僅要求我們重視教材，更要深度解讀教材，提煉出重要而有用的數(shù)學(xué)思想、方法與結(jié)論，從而形成解題的方法，提高學(xué)習(xí)效率和解題速度.

（作者單位：安徽省宿州市靈璧中學(xué)）