排列組合是高中數(shù)學中的重要板塊.解答排列組合問題，需靈活運用兩個計數(shù)原理：分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理.解答排列組合問題的方法有很多種，那么如何根據(jù)題目選擇合適的方法進行求解呢？下面筆者結合幾道典型例題，來談一談解答排列組合問題的三種方法：畫樹形圖法、捆綁法、插空法.

一、畫樹形圖法

當問題中某個事件可能出現(xiàn)的情況不多時，我們就可以根據(jù)題意將可能出現(xiàn)的情況用樹形圖展示出來，這樣便能通過樹形圖一目了然地知曉所有可能出現(xiàn)的情況，以及各個元素之間的組合、排列情況，從而快速獲得問題的答案.

例1.小明和他的3個朋友聚在一起寫新年祝?？ㄆF(xiàn)規(guī)定每個人都只能寫一張卡片，然后收集起來，之后每一個人從中隨機抽出一張卡片，那么從中抽到別人的新年祝福一共有多少種可能？

解：假設小明和他的3個朋友分別為甲、乙、丙、丁，將4個人所寫的卡片分別記為A、B、C、D，根據(jù)題意可得如圖所示的樹形圖.

由圖可知，從中抽到別人的新年祝福卡片一共有9種可能.

我們采用畫樹形圖的方式將所有可能的情況一一羅列出來，就能根據(jù)樹形圖將所有可能的情況統(tǒng)計出來.在畫圖時，要注意按照一定的順序去連線，避免重復或者遺漏任何可能的情況.

二、捆綁法

若要求某幾個元素必須相鄰，就可以使用捆綁法來求這些元素的排列組合數(shù).捆綁法是指將要求相鄰的元素捆綁起來，看作是一個整體，然后將這一個整體與其他的元素一起進行排列.如果題目中對于相鄰的元素的排列順序有要求，還需要對這幾個相鄰的元素進行排序.

例2.小明一家8口人坐在一排觀看某個電視節(jié)目，小明爸爸、小明媽媽和小明3個人中有2個人必須坐在一起，但是他們3個人不能同時坐在一起，請問一共有多少種坐法？

解：因為小明爸爸、小明媽媽和小明3個人中有2個人必須坐在一起，所以可以使用捆綁法，先將他們3個人中的任意2個人捆綁起來，有C3（2）?A2（2）種坐法；然后將這2人看作是一個整體，與剩下的5個人一起排列，有A6（6）?C3（2）?A2（2）種坐法；再對小明、小明的爸爸媽媽3個人的座位進行分析，需要將3個人中未捆綁的那個人插入到6個元素的5個間隙中，有C5（1）種排法.根據(jù)分步計數(shù)原理可得一共有A6（6）?C3（2）?A2（2）?C5（1）=21600種坐法.

在運用捆綁法解答問題時，一般要分兩個步驟進行：第一步是排相鄰元素以外的元素的順序；第二步則是排相鄰元素內(nèi)部元素的順序；最后利用分步計數(shù)原理進行計算，即可得到答案.

三、插空法

與捆綁法相反，插空法主要用于解答不相鄰問題.插空法是將不相鄰的元素分別插入到其他元素的間隙之中.在運用此方法解答問題時，需要優(yōu)先處理不作要求的元素；之后再將需要插空的元素放在不作要求的元素的間隙中，進行排列.

例3.有7個學生，現(xiàn)在站成一排，其中有3個男生不能站在一起，一共有幾種排列方法？

解：題目中對于女生并沒有提出站位要求，所以先分析女生可能的站位.題目中有4個女生，所以可能的排列方法有A4（4）種.之后分析女生站位之間存在的間隙，4個女生之間有3個空位，加上首尾兩端的位置，總共有5個間隙.最后，將所有的男生插入到這5個間隙中，所以男生的站位方法有A5（3）種.因此共有A5（3）?A4（4）=1440種排列方法.

在運用插空法解題時，要明確哪些元素是不相鄰的，哪些元素是沒有要求的.同時還要準確算出沒有要求的元素之間的間隙數(shù).

總的來說，解答排列組合問題，同學們要仔細讀題，明確以下幾點：（1）元素是否相鄰；（2）各種可能出現(xiàn)的情況，合理進行分類、畫圖；（3）明確要完成一件事情，需要分多少步，合理進行分步.只有選用合適的方法進行求解，才能快速得到正確的答案.

（作者單位：江蘇省建湖縣第一中學）