空間角主要包括異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角.空間角問題對同學(xué)們的空間想象和邏輯思維能力有較高的要求.解答此類問題有多種方法，如向量法、定義法、轉(zhuǎn)化法等.不同的方法有不同的適用條件.下面結(jié)合實(shí)例，談一談下列兩種解答空間角問題的路徑.

一、采用向量法

運(yùn)用向量法求解空間角問題，需先給圖形中的線段賦予方向，或者建立空間直角坐標(biāo)系，并用坐標(biāo)表示各個點(diǎn)或者向量；然后通過向量運(yùn)算求得各條直線的方向向量、平面的法向量，即可根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得空間角的余弦值.運(yùn)用向量法求空間角，需注意各個角的取值范圍.

例1.四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∠APD=90°，且AD=PB，若AD⊥PB，求二面角D-PB-C的余弦值.

解：取AD的中點(diǎn)O，連接PO、BO，

因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠BAD=60°，

所以AD=AB=BD，

又因?yàn)辄c(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，所以BO⊥AD.

設(shè)AD=PB=2a，所以BO=a，PO=OA=a.因?yàn)镻O⊥BO，所以PO⊥平面ABCD，

則OP、OA、OB兩兩相互垂直，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)P、OA、OB為z、x、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AD=2，所以點(diǎn)A（1，0，0），D（-1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1），

所以=（-1，0，-1），=（0，，-1），==（-2，0，0）.

設(shè)平面DPB和PBC的法向量分別為，，可得=（-，1，），=（0，1，）.

設(shè)二面角D-PB-C為α，且α是銳角，

所以cosα=coslt;，gt;==.

解答本題主要運(yùn)用向量法.解題的關(guān)鍵是尋找到互相垂直的三條直線OP、OA、OB，并據(jù)此建立空間直角坐標(biāo)系.

二、運(yùn)用三余弦公式

設(shè)O為平面ABC外一點(diǎn)，斜線AO在平面內(nèi)的射影為AB，那么cos∠OAC=cos∠BAC·cos∠OAB（∠OAB為銳角），該式被稱為三余弦公式.在求解空間角時，若可以直接找到斜線在平面內(nèi)的射影，則可以將共起點(diǎn)的三個角的余弦值建立聯(lián)系，從而快速求得空間角.

例2.如圖所示，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，沿著DF將△DFC折起，使點(diǎn)C與點(diǎn)P重合，并且PF⊥BF.

（1）求證：平面PEF⊥平面ABFD.

（2）求直線DP與平面ABFD所成角的正弦值.

解：（1）略；（2）作PH⊥EF，垂足為點(diǎn)H，

由（1）可得PH⊥平面ABFD，DE⊥PE，

設(shè)DP=2，DE=1，得PE=，

又因?yàn)镻F=1，EF=2，所以PE⊥PF，

得PH=，EH=，

所以∠PDE=60°，因?yàn)閏os∠EDH=D（E）H（D）=213（1）3，

設(shè)DP與平面ABCD所成角為α，

利用三余弦公式得到cosα?cos∠EDH=cos 60°，

則cosα=，得sinα=，

所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.

在證明平面PEF⊥平面ABFD后，可以找到DP在平面ABFD的射影，作出輔助線，構(gòu)造出三個角，便可運(yùn)用三余弦公式得cos∠PDH?cos∠EDH=cos∠PDE，進(jìn)而求得DP與平面ABFD所成角的余弦值.

上述兩種方法都是求解空間角問題的重要方法.只是向量法和三余弦公式的適用情形有所不同.同學(xué)們在解題時，需根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標(biāo)系，或作出平面的垂線，構(gòu)造共起點(diǎn)的三個角.

（作者單位：廣西北海市第七中學(xué)）