絕對值是數(shù)學(xué)中常見的概念,它表示一個(gè)數(shù)與零的距離.含有絕對值符號(hào)的數(shù)學(xué)問題是同學(xué)們在學(xué)習(xí)初中代數(shù)時(shí)的難點(diǎn)之一,一般要利用絕對值的性質(zhì)和幾何意義來求解.下面舉例說明解答絕對值問題的幾種常用途徑
一、利用絕對值的性質(zhì)解題
由絕對值的概念,我們可以得出絕對值的以下重要性質(zhì):(1)非負(fù)性:任何數(shù)的絕對值都大于或等于0,即|m|≥0;(2)正負(fù)性:若mgt;0,則|m|=m;若mlt;0,則|m|=-m,(3)乘除性:若m,n為任意實(shí)數(shù),則|mn|=|m|·|n|,||=(n≠0).在解答絕對值問題時(shí),同學(xué)們?nèi)裟芮捎媒^對值的性質(zhì),能起到事半功倍的作用.
例1
分析:所求目標(biāo)代數(shù)式含有絕對值,根據(jù)絕對值的非負(fù)性和已知條件,很容易得到|x-y|=0,|y-z|=1,或|x-y|=1,|y-z|=0,而|x+y-2z|=|x-y+2y-2z|=|x-y+2(y-z)|,分別代入求值即可使問題迎刃而解.
解:
評注:絕對值的概念和性質(zhì),是解答絕對 值問題的重要依據(jù).本題考查了有理數(shù)的乘 方和絕對值的性質(zhì),由已知條件,得出|x - y| 29 和|y - z| 29 必須一項(xiàng)為0,一項(xiàng)為1是解題的關(guān)鍵.
二、利用絕對值的幾何意義解題
絕對值的幾何意義即數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù) 的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,|a| 表示數(shù) a 的點(diǎn)到原點(diǎn) 的距離;|a - b| 表示數(shù) a,數(shù) b 的兩點(diǎn)間的距離.|x-a|+|x-b|表示數(shù)x的點(diǎn)與數(shù)a、b兩點(diǎn)之間的距離之和.利用絕對值的幾何意義,可以將絕對值問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離問題,實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換,將抽象復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為直觀簡捷的問題求解.
例2若m,n為整數(shù),且m,n滿足(|m-1|+|4-m|)(|n+1|+|n-3|)=12,則m+n的最大值為.
分析:本題涉及絕對值,利用絕對值的幾何意義,容易推出|m-1|+|4-m|≥3,|n+1|+|n-3|≥4,再結(jié)合已知條件,求出m,n的可能取值,即可解題.
解:因?yàn)閨m-1|是數(shù)軸上表示m的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)之間的距離,|4-m|是數(shù)軸上表示m的點(diǎn)與表示4的點(diǎn)之間的距離,|n+1|是數(shù)軸上表示n的點(diǎn)與表示-1的點(diǎn)之間的距離,|n-3|是數(shù)軸上表示n的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離,所以通過兩點(diǎn)間的距離,可知|m-1|+|4-m|≥3,|n+1|+|n-3|≥4.
又因?yàn)椋▅m-1|+|4-m|)(|n+1|+|n-3|)=12,
所以|m-1|+|4-m|=3,|n+1|+|n-3|=4,
所以整數(shù)m可以取1,2,3,4,整數(shù)n可以取-1,0,1,2,3,
所以當(dāng)m=4,n=3時(shí),m+n有最大值,此時(shí)m+n=7.
評注:對于含絕對值的最值問題,求解時(shí)常借助絕對值的幾何意義來確定字母的取值范圍,再結(jié)合已知條件分析絕對值符號(hào)內(nèi)m,n的可能取值,全面考慮即可正確解題.
三、利用零點(diǎn)分段討論解題
利用零點(diǎn)分段討論是解答絕對值問題的重要“利器”,其解答步驟是:第一步,求出式子的所有零點(diǎn);第二步,在數(shù)軸上把求出的所有零點(diǎn)標(biāo)記出來,將數(shù)軸分段;第三步,分別對每一段進(jìn)行討論,在各個(gè)區(qū)域內(nèi)分別去掉絕對值符號(hào);第四步,將各區(qū)域內(nèi)的情形綜合起來,合并同類項(xiàng),得到問題的最終答案.
例3化簡:||x-1|-2|+|x+1|.
分析:觀察式子,不難看出本題含有雙重絕對值符號(hào),可先令外側(cè)絕對值里面的數(shù)為零,再計(jì)算每一段絕對值為零時(shí)x的值,易確定零點(diǎn)為3和±1,接著將數(shù)軸劃分為xlt;-1、-1≤xlt;1、1≤xlt;3、x≥3這四段進(jìn)行分類討論.
解:令|x-1|-2=0,則有|x-1|=2,可得x=3或x=-1;
令x-1=0,可得x=1;
令x+1=0,可得x=-1,
所以||x-1|-2|+|x+1|的零點(diǎn)為3和±1.
如圖,將數(shù)軸進(jìn)行分段,有如下幾種情況:
①當(dāng)xlt;-1時(shí),||x-1|-2|+|x+1|=-x-1-x-1=-2x-2;
②當(dāng)-1≤xlt;1時(shí),||x-1|-2|+|x+1|=x+1+x+1=2x+2;
③當(dāng)1≤xlt;3時(shí),||x-1|-2|+|x+1|=3-x+x+1=4;
④當(dāng)x≥3時(shí),||x-1|-2|+|x+1|=x-3+x+1=2x-2.
綜上所述,
(-2x-2(xlt;-1),
||x-1|-2|+|x+1|=〈||l1-
評注:利用零點(diǎn)分段法求解絕對值問題時(shí),要注意求出所有式子的零點(diǎn),不可遺漏;當(dāng)絕對值符號(hào)中的式子也含有絕對值時(shí),一般先去掉最外側(cè)的絕對值,再對里面的絕對值找“零點(diǎn)”.
絕對值是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的概念,在化簡求值問題、解方程或不等式問題中都會(huì)涉及.同學(xué)們要透徹理解絕對值的概念、性質(zhì)以及幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí),并注意歸納總結(jié)有關(guān)絕對值問題的解答方法,這樣,才能在解題時(shí)得心應(yīng)手.