初中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題中會(huì)涉及到多種基本圖形，圓就是其中比較特殊的一種.在解答與圓有關(guān)的幾何問(wèn)題時(shí)，常常需要構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線，在已知條件與結(jié)論之間構(gòu)建起“一座橋梁”，從而方便求解.下面就結(jié)合幾道例題談?wù)勅绾螛?gòu)造輔助線來(lái)解答有關(guān)圓的問(wèn)題.

作法一：遇到直徑，作圓周角

如果題目中出現(xiàn)“直徑”或者是要求角的度數(shù)時(shí)，一般來(lái)說(shuō)，要結(jié)合圓中直徑的性質(zhì)來(lái)作圓周角.在圓中，直徑所對(duì)應(yīng)的圓周角為直角，反之亦成立.在利用直徑構(gòu)造出直角三角形后，還要結(jié)合勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)一步思考，從而得到問(wèn)題的答案.

例1如圖1所示，線段AB是圓O的直徑，在弦AC的延長(zhǎng)線取一點(diǎn)D，滿足CD=AC，線段DB的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)E.

（1）求證：CD=CE；

（2）連接AE，若∠D=25°，求∠BAE的度數(shù).

（1）證明：如圖1所示，連接BC.

∵AB是圓O的直徑，依據(jù)圓中直徑所對(duì)的圓周角為直角的性質(zhì).

∴∠ACB=90°，即BC⊥AD，CD=AC，

∴AB=BD，

∴∠BAC=∠D，

∵∠CEB=∠BAC∴∠CEB=∠D

∴∠BAE=90°-50°=40°.

評(píng)析：在圓中，直徑所對(duì)的圓周角為直角.利用此定理構(gòu)造出直角三角形后，可以將要求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化.

作法二：遇到圓中弦，作弦心距

當(dāng)題目所給條件或要求的問(wèn)題涉及圓中弦時(shí)，常添加弦心距為輔助線，作垂直于弦的半徑或者直徑，同時(shí)連接過(guò)弦端點(diǎn)的半徑，這樣就可以利用“垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧”進(jìn)行分析，或利用弦心距和半徑構(gòu)造直角三角形、矩形等特殊圖形，運(yùn)用勾股定理等知識(shí)來(lái)求解.

例2

解：

評(píng)析：在遇到與弦有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常規(guī)思路就是作弦心距，從而構(gòu)造出直角三角形.此直角三角形的三條邊分別是：圓的半徑、弦心距、弦，由此建立起三者之間的聯(lián)系，利用勾股定理、垂徑定理來(lái)解題.

作法三：遇到直線與圓相切，作過(guò)切點(diǎn)的半徑

遇到題目中已知有切線時(shí)，常把直線的切點(diǎn)與圓心連接起來(lái)，得到過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用該半徑與切線的垂直關(guān)系來(lái)建立題設(shè)與結(jié)論之間的聯(lián)系.然后利用切線的性質(zhì)定理，得到直角三角形，再利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解題.

例3如圖3所示，在△ABC中，AB=2，AC=2.以點(diǎn)A為圓心，半徑大小為1的圓與邊BC相切，則∠BAC的度數(shù)為.

解：設(shè)切點(diǎn)為D，連接AD，由切線的性質(zhì)可得AD⊥BC.

在Rt△ABD中，由銳角三角函數(shù)的定義

可得cos∠BAD==，所以∠BAD=60°.

在Rt△ACD中，

同理得cos∠CAD===22，

所以∠CAD=45°.

所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°.

評(píng)析：過(guò)切點(diǎn)作半徑是在直線與圓相切問(wèn)題中常見(jiàn)的作輔助線的方法.通過(guò)添加輔助線，可以構(gòu)造出平行線、直角三角形、相似三角形等，再運(yùn)用相關(guān)知識(shí)來(lái)求解.

作法四：遇到兩圓相切，作公切線

若題目中出現(xiàn)兩個(gè)圓，且這兩個(gè)圓滿足相切的位置關(guān)系時(shí)，常常過(guò)兩圓的切點(diǎn)作它們的公切線，得到弦切角，然后利用弦切角定理，即弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù)，得到與之相等的角，從而為解題創(chuàng)造條件.一般來(lái)說(shuō)，作公切線有兩種情況：一是若兩圓外切，則作兩圓的外公切線；若兩圓內(nèi)切，則作兩圓的內(nèi)公切線.

例4如圖4所示，已知圓O1，O2外切于點(diǎn)P，點(diǎn)A是圓O1上的一點(diǎn)，直線AC與圓O2相切于點(diǎn)C，且與O1相交于點(diǎn)B，直線AP交圓O2于點(diǎn)D.

（1）求證：PC平分∠BPD；

（2）將“圓O1，O2外切于點(diǎn)P”的條件改為“圓O1，O2內(nèi)切于點(diǎn)P”，其它條件不發(fā)生改變.（1）中的結(jié)論是否仍然成立？作出相應(yīng)的圖形并據(jù)此證明你的結(jié)論.

（1）證明：如圖4所示，過(guò)點(diǎn)P作兩圓的公切線MP，交AC于點(diǎn)M.

根據(jù)切線的性質(zhì)可以得到∠BPM=∠A，∠MPC=∠C.

∴∠BPC=∠BPM+∠MPC=∠A+∠C=∠CPD，

∴PC平分∠BPD；

（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立.

如圖5所示，過(guò)點(diǎn)P作兩圓的公切線MP，

∴∠MPB=∠A，∠MPC=∠BCP=∠PDC，

∴∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA，

∴PC平分∠BPD.

評(píng)析：兩圓相切時(shí)，過(guò)公共切點(diǎn)作出公切線可以構(gòu)造弦切角，利用弦切角便可把兩圓的圓周角聯(lián)系起來(lái)便于我們解題.

總之，在解答與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，添加輔助線的方法是多種多樣的，關(guān)鍵是根據(jù)題目已知條件和圓的有關(guān)性質(zhì)，以及圓與圓之間的關(guān)系進(jìn)行合理的選擇.恰當(dāng)?shù)妮o助線可以幫助我們找到已知量和未知量之間的關(guān)系，從而為解題帶來(lái)便利條件.