摘 要 1926年薛定諤找到了一個(gè)一維諧振子薛定諤方程含時(shí)演化解析解。這個(gè)解并不是能量本征態(tài)波函數(shù)級(jí)數(shù)求和形式。這可以讓我們從新的角度理解量子系統(tǒng)的隨時(shí)間演化行為。本文主要對(duì)該含時(shí)演化解析解進(jìn)行了分析，給出了兩種推導(dǎo)方法，然后繼續(xù)推廣得到了更多的含時(shí)演化非級(jí)數(shù)解析解，找到了這些解析解的遞推關(guān)系，最后討論了這些解析解的教學(xué)意義及應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 薛定諤方程;諧振子;含時(shí)演化;解析解

一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)是物理學(xué)中簡(jiǎn)單卻極其重要的物理問題之一。這是因?yàn)樵谧匀唤缰袕V泛存在著簡(jiǎn)諧振動(dòng)。任何物體在平衡位置處的小振動(dòng)，如分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)等，在適當(dāng)選擇坐標(biāo)系之后，一般都可以分解為獨(dú)立的一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)還往往是復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的解也是求解復(fù)雜問題的出發(fā)點(diǎn)。在量子力學(xué)中，由簡(jiǎn)諧振子問題求解而產(chǎn)生的算子代數(shù)、產(chǎn)生和湮滅算符是量子力學(xué)形式體系的基本內(nèi)容，也是表述量子力學(xué)的重要手段，特別在相對(duì)論量子場(chǎng)論中，諧振子自由場(chǎng)的產(chǎn)生和湮滅是進(jìn)一步表達(dá)場(chǎng)相互作用的基礎(chǔ)。諧振子系統(tǒng)也是物理學(xué)理論中少有的能夠有嚴(yán)格解析解的物理系統(tǒng)。經(jīng)典力學(xué)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，量子力學(xué)的諧振子波函數(shù)，以及路徑積分解析形式對(duì)理解諧振子及其相關(guān)物理機(jī)制有著重要意義，因此諧振子問題的探討是經(jīng)典力學(xué)、量子力學(xué)以及量子場(chǎng)論的重要內(nèi)容。