摘要：建立了變指數(shù)Herz-Morrey空間上的外插定理，并通過此定理得到了參數(shù)型Marcinkiewicz積分算子、幾何極大算子及極小算子在該空間上的映射性質．

關鍵詞：外插定理；變指數(shù)Herz-Morrey空間；參數(shù)型Marcinkiewicz積分；幾何極大算子；極小算子

中圖分類號：O 174.2""" 文獻標志碼：A""" 文章編號：1001-988Ⅹ（2024）05-0089-08

Extrapolation and applications for Herz-Morrey spaces

with variable exponents

ZHANG Zheng，CHEN Xi-juan，LU Guang-hui

（College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，Gansu，China）

Abstract：The extrapolation theorem for Herz-Morrey space with variable exponents is established，and then the mapping properties are given for the parametric Marcinkiewicz integral，the geometric maximal operator and the minimal operator on Herz-Morrey spaces with variable exponents.

Key words：extrapolation theorem;Herz-Morrey space with variable exponents;parametric Marcinkiewicz integral;geometric maximal operator;minimal operator

為了研究橢圓偏微分方程解的正則性，1938年，Morrey［1］首次提出了Morrey空間．此后，不同形式的Morrey空間被廣泛地關注和研究［2-5］．另一方面，為了研究傅里葉級數(shù)和傅里葉變換，Herz［6］引入了Herz空間．作為經(jīng)典Lebesgue空間的延伸，Herz空間也受到了很多的關注．例如，Izuki［7］引入了變指數(shù)Herz空間，并得到了次線性算子在變指數(shù)Herz空間上的有界性［8］;2022年，王盛榮等［9］得到了次線性算子在變指數(shù)雙權Herz空間上的有界性．近來，王立偉［10］證明了參數(shù)型Marcinkiewicz積分算子在變指數(shù)Herz空間上是有界的．更多研究可見文獻［11-14］．

經(jīng)典的外插定理是由Rubio de Francia［15，16］引入的．近年來，不同函數(shù)空間上的外插定理得到了廣泛的研究，例如，文獻［4，13，17-19］相應建立了Morrey空間、變指數(shù)Lebesgue空間、Banach空間及Herz-Morrey空間上的外插定理，并通過此定理得到了線性和非線性算子在其函數(shù)空間上的有界性和一些調和分析中重要的不等式．

受上述結果啟發(fā)，本文首先引入二進變指數(shù)Herz塊空間，并說明二進變指數(shù)Herz塊空間是變指數(shù)Herz-Morrey空間的前對偶空間，同時還得到了Hardy-Littlewood極大算子在二進變指數(shù)Herz塊空間上的有界性．其次，利用這些結果，建立變指數(shù)Herz-Morrey空間上的外插定理．最后，證明了參數(shù)型Marcinkiewicz積分算子、幾何極大算子及極小算子在變指數(shù)Herz-Morrey空間上的有界性．

全文中，AB指的是對某個常數(shù)Cgt;0，A≤CB成立，A～B意味著AB和BA同時成立．對于任意的x∈Rn和rgt;0，定義B（x，r）={y∈Rn：｜y-x｜lt;r}和B={B（x，r）：x∈Rn，rgt;0}．設M和L1loc分別表示Rn上的Lebesgue可測函數(shù)空間和局部可積函數(shù)空間，P（Ω）表示所有滿足p-gt;1且p+lt;∞的函數(shù)p（x）所構成的集合，其中Ω表示Rn上的開集．對于任意的k∈Z，定義Bk=B（0，2k），Rk=Bk＼Bk-1，χk=χRk．設0lt;plt;∞和正函數(shù)ω∈L1loc，定義加權Lebesgue空間Lpω（Rn）是所有f∈M（Rn）且滿足

fLpω=∫Rnf（x）pω（x）dx1plt;∞

的函數(shù)構成的空間.記p′（x）為p（x）的共軛函數(shù)，即

1p（x）+1p′（x）=1．

1 預備知識

定義1［11］ 設p（·）：Rn（0，∞］為Lebesgue可測函數(shù)，變指數(shù)Lebesgue空間Lp（·）（Rn）由所有

f∈M且滿足

fLp（·）（Rn）=inf{λgt;0：ρp（·）（f/λ）≤1}lt;∞

的函數(shù)組成，其中

Rn∞={x∈Rn：p（x）=∞}，

ρp（·）（f）=∫Rn＼Rn∞f（x）p（x）dx+ess supRn∞f（x）.

稱p（x）為Lp（·）（Rn）的指數(shù)函數(shù)．

當1≤p（x）≤∞時，變指數(shù)Lebesgue空間是Banach函數(shù)空間，見文獻［11］定理3.2.13．關于Banach函數(shù)空間的定義，可參考文獻［11］定義2.7.7．此外，Lp（·）（Rn）的相伴空間在文獻［11］定理3.2.13中給出．

定理1［11］ 設1lt;p（x）lt;∞，則Lp（·）（Rn）的相伴空間為Lp′（·）（Rn），其中p′（x）滿足

1p（x）+1p′（x）=1．

當supx∈Rnp（x）lt;∞時，Lp（·）（Rn）的對偶空間與Lp（·）（Rn）的相伴空間相等，見文獻［11］定理3.4.6．

定義2［11］ Rn上的連續(xù)函數(shù)g是局部log-Hlder連續(xù)的，若存在cloggt;0使得

g（x）-g（y）≤

cloglog（e+1/x-y），x，y∈Rn.

用Clogloc（Rn）表示局部log-Hlder連續(xù)函數(shù)類．

一個連續(xù)函數(shù)g是全局log-Hlder連續(xù)的，若g∈Clogloc（Rn）且存在g∞∈R和c∞gt;0使得

g（x）-g∞≤c∞log（e+x），x∈Rn.

全局log-Hlder連續(xù)函數(shù)類記為Clog（Rn）．

對任意Lebesgue可測函數(shù)p（x）：Rn（-∞，∞］，定義p-=infx∈Rnp（x）和p+=supx∈Rn p（x）．

定理2［11］ 若p（·）∈Clog（Rn）且1lt;p-≤p+lt;∞，則Hardy-Littlewood極大算子

（Mf）（x）=suprgt;01B（x，r）∫B（x，r）f（y）dy

在Lp（·）（Rn）上有界．

定義3［7］ 設p（·）∈P（Rn），α∈R，0lt;qlt;∞．齊次變指數(shù)Herz空間

α，qp（·）（Rn）定義為

α，qp（·）（Rn）=f∈Lp（·）loc

（Rn＼{0}）：

fα，qp（·）（Rn）lt;∞，

其中

fα，qp（·）（Rn）=

∑∞k=-∞2kαqfχkqLp（·）1/q．

引理1［8］ 設p（·）∈P（Rn）且p（·）∈Clog（Rn），α∈R，0lt;qlt;∞．若

-np+lt;αlt;n1-1p-，（1）

則M在α，qp（·）（Rn）上有界．

由文獻［18］可知，當α+n/p+gt;0時χB∈α，qp（·）（Rn）.因此，M在α，qp（·）（Rn）上有界保證了χB∈α，qp（·）（Rn）．

引理2［8］ 設p（·）∈P（Rn），α∈R，1lt;qlt;∞.則

α，qp（·）（Rn）的對偶空間為-α，q′p′（·）（Rn）且范數(shù)fα，qp（·）（Rn）具有如下形式：

sup∫Rnf（x）g（x）dx：g-α，q′p′（·）（Rn）≤1．

根據(jù)引理2，不難得到如下變指數(shù)Herz空間上的Hlder不等式．

引理3 設p（·）∈P（Rn），α∈R，1lt;qlt;∞，則

∫Rnf（x）g（x）dx≤fα，qp（·）g-α，q′p′（·）．

引理4 設p（·）∈P（Rn）且p（·）∈Clog（Rn），α∈R滿足（1）式，1lt;qlt;∞，則

χBα，qp（·）χB-α，q′p′（·）≤CB．

證明 設p（·）和α滿足（1）式，則χB∈α，qp（·）（Rn）．由于

（p′（·））+=（p-）′， （p′（·））-=（p+）′，

-np+lt;αlt;n1-1p-

等價于

-n（p′（·））+lt;-αlt;n1-1（p′（·））-，

因此χB∈-α，q′p′（·）（Rn）．

對于任意的g∈L1loc和B∈B，定義

PB g（y）=1B∫Bg（x）dxχB（y）， y∈Rn．

存在獨立于B∈B的常數(shù)Cgt;0，使得對任意的g∈L1loc和B∈B，有

PBg≤CM（g）．（2）

由于χB∈-α，q′p′（·）（Rn），根據(jù)引理3，α，qp（·）L1loc．因此，（2）式對任意的g∈α，qp（·）（Rn）成立．

根據(jù)引理1可知M在α，qp（·）（Rn）上有界，即

supB∈BPBα，qp（·）→α，qp（·）≤CMα，qp（·）→α，qp（·）．

由引理2可以得到

χBα，qp（·）χB-α，q′p′（·）=

sup∫Bg（x）dxχBα，qp（·）：

g∈α，qp（·），‖g‖α，qp（·）≤1≤

BPBα，qp（·）→α，qp（·）≤CB

對于一些Cgt;0成立．" 】

定義4［20］ 設p（·）∈P（Rn），α∈R，0lt;qlt;∞，0≤λlt;∞．齊次變指數(shù)Herz-Morrey空間Mα，λq，p（·）（Rn）定義為

Mα，λq，p（·）（Rn）=

f∈Lp（·）loc（Rn＼{0}）：fMα，λq，p（·）（Rn）lt;∞，

其中

fMα，λq，p（·）（Rn）=

supL∈Z2-Lλ∑Lk=-∞2kαqfχkqLp（·）1/q．

引理5 設p（·）∈P（Rn），0lt;qlt;∞，α∈R，α+n/p+gt;λ≥0，則對于任意的l∈Z有χBl∈Mα，λq，p（·）（Rn）．

證明 由于α+n/p+gt;λ≥0，從而α+n/p-gt;λ≥0．

情形1 對于任意的L∈Z滿足L≤l，有

2-Lλ∑Lk=-∞2kαqχBlχkqLp（·）1/q=

2-Lλ∑Lk=-∞2kαqχkqLp（·）1/q．

當Llt;llt;0時，有

2-Lλ∑Lk=-∞2kαqχkqLp（·）1/q

2-Lλ∑Lk=-∞2kαqB（0，2k）qp（0）1/q

2-Lλ∑Lk=-∞2kα+np+～

2Lα+np+-λ2lα+np+-λ，

其中用到以下事實（見文獻［11， 推論4.5.9］）：

χB（0，r）Lp（·）≈

B（0，r）1p（0）， B（0，r）≤2n;

B（0，r）1p∞，B（0，r）gt;1．

當Llt;0lt;l時，討論與Llt;llt;0相同．當0lt;Llt;l時，有

2-Lλ∑Lk=-∞2kαqχkqLp（·）1/q

2-Lλ∑-1k=-∞2kαqB（0，2k）qp（0）1/q+

2-Lλ∑Lk=02kαqB（0，2k）qp∞1/q

2-Lλ∑-1k=-∞2kα+np++

2-Lλ∑Lk=02kα+np-

1+2Lα+np--λ2lα+np--λ.

情形2 對于任意的L∈Z滿足Lgt;l，有

2-Lλ∑Lk=-∞2kαqχBlχkqLp（·）1/q=

2-Lλ∑lk=-∞2kαqχkqLp（·）1/q．

當llt;Llt;0時，有

2-Lλ∑lk=-∞2kαqχkqLp（·）1/q

2-Lλ∑lk=-∞2kαqB（0，2k）qp（0）1/q

2-Lλ∑lk=-∞2kα+np+～

2-Lλ2lα+np+2-α+np+

2lα+np+-λ.

當llt;0lt;L時，討論與llt;Llt;0相同．當0lt;llt;L時，有

2-Lλ∑lk=-∞2kαqχkqLp（·）1/q

2-Lλ∑-1k=-∞2kαqB（0，2k）qp（0）1/q+

2-Lλ∑lk=02kαqB（0，2k）qp∞1/q

2-Lλ∑-1k=-∞2kα+np++

2-Lλ∑lk=02kα+np-～

2-Lλ2-α+np+1-2-α+np++2-Lλ1-2（l+1）α+np-1-2α+np-

2lα+np--λ.

綜上，有

supL∈Z2-Lλ∑Lk=-∞2kαqχBlχkqLp（·）1/q

2lα+np--λlt;∞.

因此，χBl∈Mα，λq，p（·）（Rn）．" 】

為了研究函數(shù)空間上的外插理論，需要用到以下經(jīng)典Ap（Rn）權的定義．

定義5［21］ 設1lt;plt;∞，稱一個正的局部可積函數(shù)ω是Ap（Rn）權，若

［ω］Ap=supB∈B1B∫Bω（x）dx×

1B∫Bω（x）-p′pdxpp′lt;∞.

一個正的局部可積函數(shù)ω是A1（Rn）權，若

1B∫Bω（x）dx≤Cω（x）， a.e.x∈B

對于某些常數(shù)Cgt;0成立．所有這樣的C的下確界用［ω］A1表示．用A∞（Rn）表示所有Ap（Rn）（1≤plt;∞）權的并集．

關于Ap（Rn）權的更多性質可見文獻［21］．

2 變指數(shù)Herz-Morrey空間的前對偶

定義6 設0lt;qlt;∞，p（·）∈P（Rn），α∈R， 0lt;λlt;∞．函數(shù)b∈M（Rn）稱為二進（λ，α，qp（·））塊，若b支集在球Bl（l∈Z）中且

bα，qp（·）（Rn）≤12lλ．

定義Bλ，α，qp（·）（Rn）為

Bλ，α，qp（·）（Rn）=

∑∞k=1λkbk：∑∞k=1λklt;∞，

任意bk 均為二進λ，α，qp（·）塊．

空間Bλ，α，qp（·）（Rn）具有范數(shù)

fBλ，α，qp（·）（Rn）=

inf∑∞k=1λk：f=∑∞k=1λkbk，

任意bk 均為二進λ，α，qp（·）塊．

稱Bλ，α，qp（·）（Rn）為與α，qp（·）（Rn）相關的塊空間，或稱為二進變指數(shù)Herz塊空間．用bλ，α，qp（·）（Rn）表示所有二進（λ，α，qp（·））塊．

下面的定理3表明，變指數(shù)Herz-Morrey空間的前對偶空間可以看作上面定義的二進變指數(shù)Herz塊空間．

定理3 設1lt;qlt;∞，p（·）∈P（Rn），α∈R， 0lt;λlt;∞，則

B*λ，α，qp（·）（Rn）=M-α，λq′，p′（·）（Rn），

其中B*λ，α，qp（·）（Rn）為Bλ，α，qp（·）（Rn）的對偶空間．

定理3推廣了文獻［19］中Herz-Morrey空間的對偶結果，證明過程與文獻［19］定理3.1相似，主要依賴于α，qp（·）（Rn）和-α，q′p′（·）（Rn）之間的對偶性（引理2）和Hlder不等式（引理3），可參考文獻［19］對定理3進行證明．

命題1 設1lt;qlt;∞，p（·）∈P（Rn），α∈R，0lt;λlt;∞，f∈Bλ，α，qp（·）（Rn）．若｜g｜≤｜f｜，則g∈Bλ，α，qp（·）（Rn）且gBλ，α，qp（·）≤fBλ，α，qp（·）．

命題1意味著Bλ，α，qp（·）（Rn）是Banach格．命題1的證明方法與文獻［5］命題2基本一致，可參考文獻［5］對命題進行證明．

定理4 設1lt;qlt;∞，p（·）∈P（Rn），α∈R，-α+n/（p-）′ gt;λgt;0，則Bλ，α，qp（·）（Rn）L1loc（Rn）且Bλ，α，qp（·）（Rn）為Banach空間．

定理4說明Bλ，α，qp（·）（Rn）L1loc（Rn）且Bλ，α，qp（·）（Rn）為Banach空間，證明過程與文獻［19］相同．定理4為證明M在Bλ，α，qp（·）（Rn）上有界提供了前提條件．

定理5 設1lt;qlt;∞，p（·）∈P（Rn）且p（·）∈Clog（Rn），α∈R且滿足（1）式，-α+n/（p-）′gt;λgt;0，則Hardy-Littlewood極大算子M在Bλ，α，qp（·）（Rn）上有界．

證明 由定理4可知Bλ，α，qp（·）（Rn）L1loc（Rn），因此M在Bλ，α，qp（·）（Rn）上有定義．

對于任意的f∈Bλ，α，qp（·）（Rn）有

f=∑∞k=1λkbk， 要證明M在Bλ，α，qp（·）（Rn）上有界，即證明

MfBλ，α，qp（·）≤CfBλ，α，qp（·）．

若對于任意的b∈Bλ，α，qp（·）（Rn），MbBλ，α，qp（·）≤C，則

MfBλ，α，qp（·）≤∑∞k=1｜λk｜MbkBλ，α，qp（·）≤

CfBλ，α，qp（·）.

因此，只要證明對于任意的b∈Bλ，α，qp（·）（Rn），均有MbBλ，α，qp（·）≤C即可．

對于任意的l∈Z，b∈Bλ，α，qp（·）（Rn），b的支集為Bl．對于任意的k∈N，定義mk=χBk+l+1＼Bk+lMb，k∈N＼{0}，m0=χBl+1Mb，從而有suppmkBk+l+1＼Bk+l，Mb=∑∞k=0mk．

由引理1可知M在α，qp（·）（Rn）上有界，

m0α，qp（·）Mbα，qp（·）bα，qp（·）12lλ12（l+1）λ，

這說明m0是二進λ，α，qp（·）塊的常數(shù)倍．

根據(jù)引理3可知，

mk=χBk+l+1＼Bk+lMb

χBk+l+1＼Bk+l2（k+l）n∫Blb（x）dx

χBk+l+1＼Bk+l2（k+l）nbα，qp（·）χBl-α，q′p′（·）.

在上述不等式中取α，qp（·）（Rn）范數(shù)，再由引理4和二進（λ，α，qp（·））塊的定義可知

mkα，qp（·）

χBk+l+1＼Bk+lα，qp（·）2（k+l）nbα，qp（·）χBl-α，q′p′（·）

χBk+l+1α，qp（·）2（k+l）n12lλχBl-α，q′p′（·）

χBl-α，q′p′（·）χBk+l+1-α，q′p′（·）12lλ

χBl-α，q′p′（·）χBk+l+1-α，q′p′（·）2kλ12（k+l+1）λ.

令mk=σkbk，其中

σk=χBl-α，q′p′（·）χBk+l+1-α，q′p′（·）2kλ.

根據(jù)定義6可知，每個bk是二進（λ，α，qp（·））塊的常數(shù)倍．

考慮到-α+n/（p+）′gt;-α+n/（p-）′gt;λgt;0，且

∑∞k=0χBl-α，q′p′（·）χBk+l+1-α，q′p′（·）2kλ～

∑∞k=0

2l-α+n（p+）′2（k+l+1）-α+n（p+）′2kλ～

∑∞k=0

2kλ+α-n（p+）′1

在l∈Z中一致成立．因此，有∑∞k=0σklt;∞， 進一步得到∑∞k=0σkbk∈Bλ，α，qp（·）（Rn）．

通過M的次線性，發(fā)現(xiàn)

Mb≤∑∞k=0σkbk．

因此，∑∞k=0σkbk∈Bλ，α，qp（·）（Rn）和命題1保證了Mb∈Bλ，α，qp（·）（Rn）和MbBλ，α，qp（·）≤C成立．" 】

3 變指數(shù)Herz-Morrey空間上的外插理論及其應用

設0lt;p0lt;qlt;∞，0lt;p0lt;p-≤p+lt;∞，（p（·）/p0）′∈Clog（Rn），λgt;0，λ-n/p+lt;αlt;n（1/p0-1/p-）．由定理5可知Hardy-Littlewood極大算子M在B

p0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′（Rn）上有界．定義

D=MBp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′

→Bp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′.

對于任意的非負函數(shù)h∈L1loc，定義Rubio de Francia迭代算子Rh，為

Rh=∑∞k=0Mkh2kDk．

由于M：

Bp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′

→Bp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′

有界，

所以MBp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′有定義，

其中Mk=MM…M是M的k次迭代，M0是恒等算子．

算子R滿足

h（x）≤Rh（x），（3）

RhBp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′≤

2hBp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′，（4）

［Rh］A1≤2D.（5）

不等式（3）和（4）是算子Rh的定義和M在

Bp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′

（Rn）上有界的直接結果．由于

M（Rh）≤∑∞k=0Mk+1h2kDk≤

2D∑∞k=1Mkh2kDk≤2DRh，

根據(jù)A1權的定義可得（5）式．

用F表示一族非負Lebesgue可測函數(shù)對（f，g），其中f，g均不為0．給定這樣一個族T，pgt;0和權ω∈Aq（1≤q≤∞）．若說

∫Rnf（x）pω（x）dx≤C∫Rng（x）pω（x）dx，

（f，g）∈F，

即意味著這個不等式對所有的（f，g）∈T成立，使得左邊是有限的，且常數(shù)C僅取決于q和［ω］Aq．

定理6 設0lt;p0lt;∞．T是一族非負Lebesgue可測函數(shù)對．若對于任意

ω∈Rh：h∈

Bp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′

：

hBp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′≤1，

有

∫Rnf（x）p0ω（x）dx

∫Rng（x）p0ω（x）dxlt;∞，

（f，g）∈T.（6）

若p0lt;qlt;∞，p0lt;p-≤p+lt;∞，（p（·）/p0）′∈Clog（Rn），λgt;0，λ-n/p+lt;αlt;n（1/p0-1/p-），則對于任意的（f，g）∈T，其中g∈Mα，λq，p（·）（Rn），有

fMα，λq，p（·）（Rn）gMα，λq，p（·）（Rn）．（7）

同時，對于任意1lt;rlt;∞和（fi，gi）∈T，i∈N滿足（6）式，有

∑i∈Nfir1rMα，λq，p（·）

∑i∈Nfir1rMα，λq，p（·）（8）

成立，若該不等式右邊是有限的．

證明 使用Rubio de Francia迭代算法來證明（見文獻［17］）．我們僅需對不等式（7）進行證明，不等式（8）的證明方法類似（見文獻［18］）．

在（6）式中令ω=Rh，再使用（3），（4）式和定理3，有

∫Rnf（x）p0h（x）dx

∫Rnf（x）p0Rh（x）dx

∫Rng（x）p0Rh（x）dx

gp0Mp0α，p0λ（q/p0），（p（·）/p0）

RhBp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′

gp0Mα，λq，（p·）

hBp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′.

在上述不等式兩邊對

h∈Bp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′，

hBp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′

≤1取上確界，根據(jù)定理3，有

fp0Mα，λq，（p·）=

fp0Mp0α，p0λ

qp0，p（·）p0

sup∫Rnf（x）p0h（x）dx

gp0Mα，λq，（p·）.

由此，得到（7）式．" 】

定理7 設0lt;p0lt;∞，p0lt;qlt;∞，p0lt;p-≤p+lt;∞，（p（·）/p0）′∈Clog（Rn），λgt;0，λ-n/p+lt;αlt;n（1/p0-1/p-），若對于任意的

ω∈Rh：h∈

Bp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′

：

hBp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′≤1，

算子T：Lp0ω（Rn）Lp0ω（Rn）滿足

∫RnTf（x）p0ω（x）dx

∫Rnf（x）p0ω（x）dx，（9）

則對任意的f∈Mα，λq，p（·）（Rn），有

TfMα，λq，p（·）（Rn）fMα，λq，p（·）（Rn）．（10）

同時，對于任意1lt;rlt;∞

及所有的{fi }i∈N，若

∑i∈Nfir1rMα，λq，p（·）（Rn）lt;∞，

則

∑i∈NTfir1rMα，λq，p（·）

∑i∈Ngir1rMα，λq，p（·）.

定理7與文獻［19］定理4.2的證明類似，在此不再詳細證明．

下面建立參數(shù)Marcinkiewicz積分、幾何極大算子及極小算子在變指數(shù)Herz-Morrey空間上的映射性質．先回顧參數(shù)Marcinkiewicz積分的定義．

設Sn-1是Rn（n≥2）上的單位球面，其上有正規(guī)化Lebesgue測度dσ．設Ω是Rn上零次齊次函數(shù)滿足Ω∈L1（Sn-1）和

∫Sn-1Ω（x′）dσ（x′）=0，

其中，x′=x/｜x｜且x≠0．

對于0lt;ρlt;n，Hmander［22］定義高維參數(shù)型Marcinkiewicz積分算子μρΩ為

μρΩf（x）=∫∞0FρΩ，t（x）2dtt2ρ+112，

其中

FρΩ，t（x）=∫｜x-y｜lt;tΩ（x-y）｜x-y｜n-ρf（y）dy．

當ρ=1時，算子μ1Ω首先由Stein［23］引入．

1998年，Sato［24］建立了μρΩ對所有0lt;ρlt;n的加權Lp（Rn）有界性．

定理8［24］ 設0lt;ρlt;n，Ω∈L∞（Sn-1）．若ω∈Ap（Rn），1lt;plt;∞，則μρΩfLpωfLpω.

利用定理7，可以建立參數(shù)型Marcinkiewicz積分在變指數(shù)Herz-Morrey空間上的有界性．

定理9 設0lt;ρlt;n，Ω∈L∞（Sn-1）．若存在1lt;p0lt;∞，使得p0lt;qlt;∞，p0lt;p- ≤p+lt;∞，（p（·）/p0）′∈Clog（Rn），λgt;0，λ-n/p+lt;αlt;n（1/p0-1/p-），則對于任意的f∈Mα，λq，p（·）（Rn），有

μρΩfMα，λq，p（·）fMα，λq，p（·）.

接下來，回顧幾何極大算子和極小算子的定義．對于任意的f∈M（Rn），幾何極大算子M*0f定義為

（M*0f）（x）=limr→0（M（｜f｜r））1/r（x）.

f的極小函數(shù)由下式給出：

（mf）（x）= infI∫I｜f（y）｜dy，

其中上確界取所有包含x的方體I．

幾何極大算子和極小算子不是線性、次線性或擬線性的．然而，定理7并不依賴于算子的線性性質．因此，定理7同樣適用于幾何極大算子和極小算子．從文獻［25］定理1.7和3.1可得到M*0和m的加權范數(shù)不等式．

定理10［25］ 設ω：Rn（0，∞）是Lebesgue可測函數(shù)，則ω∈A∞（Rn）當且僅當對于任意的0lt;plt;∞和f∈LPω（Rn），有

∫Rn（M*0f（x））pω（x）dx∫Rn｜f（x）｜pω（x）dx.

定理11［25］ 設pgt;0，ω∈A∞（Rn），則對于任意的f∈M（Rn），1/f∈Lpω（Rn），有

∫Rn1（mf（x））pω（x）dx∫Rn1｜f（x）｜pω（x）dx.

定理12 若存在0lt;p0lt;∞，使得p0lt;qlt;∞，p0lt;p-≤p+lt;∞，（p（·）/p0）′∈Clog（Rn），λgt;0，λ-n/p+lt;αlt;n（1/p0-1/p-），則對于任意的f∈Mα，λq，p（·）（Rn），有

M*0fMα，λq，p（·）fMα，λq，p（·）.

定理13 若存在0lt;p0lt;∞，使得p0lt;qlt;∞，p0lt;p-≤p+lt;∞，（p（·）/p0）′∈Clog（Rn），λgt;0，λ-n/p+lt;αlt;n（1/p0-1/p-），則對于任意的f∈M（Rn），1/f∈Mα，λq，p（·）（Rn），有

1mfMα，λq，p（·）

1fMα，λq，p（·）.

定理10和定理11分別保證M*0和m滿足（9）式，應用定理7可得到M*0和m在Mα，λq，p（·）（Rn）上的有界性．

參考文獻：

［1］ MORREY C.On the Solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations［J］.Trans Am Math Soc，1938，43（1）：126．

［2］ 趙毅春，周疆．帶Dini核的多線性Calderro’n-Zygmund算子及其交換子的一些估計［J］.西北師范大學學報（自然科學版），2021，57（3）：1．

［3］ 陶雙平，陳轉轉．Marcinkiewicz積分及其交換子在加權λ-中心Morrey空間上的有界性［J］.西北師范大學學報（自然科學版），2019，55（4）：1．

［4］ DUOANDIKOETXEA J，ROSETHAL M.Extension and boundedness of operators on Morrey spaces from extrapolation techniques and embeddings［J］.J Geom Anal，2018，28（4）：3081．

［5］ YEE T L，HO K P，CHEUNG K L，et al.Local sharp maximal functions，geometrical maximal functions and rough maximal functions on local Morrey spaces with variable exponents［J］.Math Inequal Appl，2020，23（4）：1509．

［6］ HERZ C S.Lipschitz spaces and Bernstein’s theorem on absolutely convergent Fourier transforms［J］.J Math Mech，1968，18（4）：283．

［7］ IZUKI M.Herz and amalgam spaces with variable exponent，the Haar wavelets and greediness of the wavelet system［J］.East J Approx，2009，15（1）：87．

［8］ IZUKI M.Boundedness of sublinear operators on Herz spaces with variable exponent and application to wavelet characterization［J］.Anal Math，2010，36（1）：33．

［9］ WANG S R，XU J S.Boundedness of sublinear operators on two-weighted Herz spaces with variable exponents［J］.Adv Math（China），2022，51（1）：125．

［10］ WANG L W.Parametrized Marcinkiewicz integrals on Herz spaces with variable exponents［J］.Complex Anal Oper Theory，2023，17（6）：1．

［11］ DIENING L，HARJULEHTO P，HstP，et al .Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents［M］.Berlin：Springer-Verlag，2011．

［12］ LU G H，TAO S P.Estimate for bilinear Calderón-Zygmund operator and its commutator on product of variable exponent spaces［J］.Bull Korean Math Soc，2022，59（6）：1471．

［13］ CRUZ-URIBE D，F(xiàn)IORENZA A，MARTELL J M，et al.The boundedness of classical operators on variable Lp spaces［J］.Ann Acad Sci Fenn Math，2006，31（1）：239．

［14］ LIU D L，ZHAO J M.Multilinear Hausdorff operators on weighted Herz and Morrey-Herz spaces with variable exponent［J］.J Pseudo-Differ Oper Appl，2023，13（1）：1．

［15］ RUBIO de FRANCIA J.Factorization and extrapolation of weights［J］.Bull Am Math Soc，1982，7（2）：393．

［16］ RUBIO de FRANCIA J.Factorization theory and Ap weights［J］.Am J Math，1984，106（3）：533．

［17］ CRUZ-URIBE D，MARTELL J M，PREZ C.Weights，Extrapolation and the Theory of Rubio de Francia［M］.Berlin：Springer Science amp; Business Media，2011．

［18］ HO K P.Extrapolation to Herz spaces with variable exponents and applications［J］.Rev Mat Complut，2020，33（2）：437．

［19］ WEI M Q.Mapping properties for operators on Herz-Morrey and Herz-Morrey-Hardy spaces［J］.J Pseudo-Differ Oper Appl，2023，14（1）：1．

［20］ IZUKI M.Boundedness of vector-valued sublinear operators on Herz-Morrey spaces with variable exponent［J］.Math Sci Res J，2009，13：243．

［21］ MUCKENHOUPT B.Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function［J］.Trans Amer Math Soc，1972，165：207．

［22］ HRMANDER L.Estimates for translation invariant operators in Lp spaces［J］.Acta Math，1960，104（1）：93．

［23］ SREIN E M.On the functions of Littlewood-Paley，Lusin，and Marcinkiewicz［J］.Trans Am Math Soc，1958，88（2）：430．

［24］ SATO S.Remarks on square functions in the Littl ewood-Paley theory［J］.Bull Aust Math Soc，1998，58（2）：199．

［25］ CRUZ-URIBE D，NEUGEBAUER C J.Weighted norm inequalities for the geometric maximal operator［J］.Publ Mat，1998，42（1）：2393．

（責任編輯 馬宇鴻）